-2-360~1

1.1.3.6. Условия и уравнения равновесия ПрСПРС и параллельных сил.

1. Условия и уравнений равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил (6 уравнений)

Пространственная система сил в общем случае нагружения приводится к одной силе FГЛ (главный вектор) и одной паре сил с главным моментом M ГЛ M O . Здесь точка О – центр приведения, расположенный в начале системы координат.

Необходимое и достаточное условие равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил состоит в том, чтобы главный вектор и главный момент системы сил были равны нулю, т.е. FГЛ 0

; M O 0 .

момента пространственной системы сил относительно т. О - выбранного центра приведения (приводится без доказательства):

M O M x Fi 2 M y Fi 2 M z Fi 2 ,

где M x Fi ; M y Fi ; M z Fi - алгебраические суммы моментов всех сил

системы относительно трех любых взаимно перпендикулярных осей с началом координат в центре приведения.

Тогда условия равновесия пространственной системы можно запи-

сать в следующем виде:

FГЛ Fix 2 Fiy 2 Fiz 2 0 ;

M O M x Fi 2 M y Fi 2 M z Fi 2 0 ,

т.е. для равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил системы на каждую из трех произвольно выбранных, но не лежащих в одной плоскости координатных осей, и алгебраические суммы моментов всех сил системы относительно каждой из трех таких осей были равны нулю:

Таким образом, шести степеням свободы тела соответствуют шесть уравнений равновесия.

61

2. Условия и уравнений равновесия пространственной системы параллельных сил (3 уравнения)

Если на свободное тело действует пространственная система параллельных сил (например, параллельных оси z, см. рисунок 1.58), то условия равновесия принимают вид:

Остальные три условия равновесия будут представлять тождества, так как проекции всех сил такой системы на оси x и y равны нулю и моменты всех сил относительно оси z равны нулю.

Рисунок 1.58-Пространственная система параллельных сил

Статически неопределимые задачи

Задачи, в которых число неизвестных величин не превышает числа независимых уравнений равновесия, предлагаемых статикой твердого тела для данного случая расположения сил, называются статически определимыми,

впротивном случае статически неопределимыми.

Кчислу статически неопределимых балок относятся не только балки, лежащие на трех и более опорах, но и, например, балка, лежащая на двух шарнирно-неподвижных опорах и нагруженная силами, не перпендикулярными к оси балки (рисунок 1.59). Число неизвестных реакций - четыре, а уравнений статики для сил, произвольно расположенных на плоскости, - три.

Другой пример, груз подвешен на трех нитях, расположенных в одной плоскости (рисунок 1.60). Неизвестных по модулю сил – три, а независимых уравнений для плоской системы сходящихся сил – два.

Рисунок 1.59 – Статически неопределимая задача

Рисунок 1.60Статически неопределимая задача

62

1.1.3.7. Применение уравнений равновесия для определения опорных реакций статически определимых плоско нагруженных балок.

Задачи на равновесие произвольной плоской системы сил должны содержать не более трех неизвестных (по числу уравнений), а для плоской системы параллельных сил – не более двух неизвестных.

Алгоритм решения задач на определения реакций опор:

1) выполняем расчетную схему балки с указанием величин нагрузок и длин участков;

2) распределенную нагрузку заменяем равнодействующей силой

Qq l ;

3)мысленно выбираем координатные оси: ось х вдоль оси балки, ось y перпендикулярно к ней (на схеме не указываем);

4)опоры заменяем их реакциями;

5)составляем и решаем уравнения равновесия для балки:

6) проверка: составляем уравнение из числа неиспользованных в ходе решения задачи.

Пример решения задач Задача 1. Для балки, изображенной на рисунке 1.61, а, определить ре-

акции опор.

Решение:

1. Заменяем равномерно распределенную нагрузку равнодействующей:

и получаем действующую на балку уравновешенную систему сил (см. рису-

нок 1.62,б).

3. Направляем ось х вдоль оси балки и составляем уравнения равновесия:

Рисунок 1.62 – Двухопорная балка

64

1.1.4. Связи с трением. Трением скольжения и качения 1.1.4.1. Трение скольжения и качения

При решении многих задач механики возникает необходимость в учете реальных связей. Ранее мы рассматривали идеальные связи. Реальные связи, в отличие от идеальных, имеют силы трения, которые препятствуют взаимному перемещению тел, контактирующих между собой. Реакция идеальной связи всегда направлена по нормали к поверхности или к кривой, ограничивающей свободу движения тела, а реакция реальной связи отклоняется от нормали на некоторый угол под действием возникающей силы трения.

Рассмотрим некоторые виды трения.

Трение скольжения.

Пусть тело весом G покоится на поверхности. Сила веса уравновешивается реакцией связи N . Эту силу еще называют силой нормального давления. Приложим к телу незначительную по модулю силу P , которая стремился сдвинуть тело в направлении касательной к поверхности связи, и начнем ее плавно увеличивать (рисунок 1.63). Движение тела начнется, когда сила P достигнет некоторого значения, а дальнейшее движение будет продолжаться

уже при меньшем значении силы. И в первом случае (до момента начала движения) и во втором (когда движение началось при условии движения с постоянной скоростью) сила P будет уравновешиваться силой трения : в

первом случае — это сила трения покоя, во втором — сила трения движения. Отметим, что сила трения покоя больше силы трения движения:

Pтр.пок. Pтр.движ. .

Рисунок 1.63Трение скольжения

Остановимся на силе трения покоя, которая появляется при действии активных сил, стремящихся сдвинуть тело. Эту силу будем называть силой трения скольжения. Сила трения скольжения является компонентой реакции связи в направлении касательной к поверхности и направлена в сторону, противоположную возможному движению. Величина силы трения может изменяться от нуля до некоторого предела в зависимости от величины и направ-

65

ления активных сил.

Явление трения в теоретическом плане изучено недостаточно и для определения максимальной силы трения скольжения, соответствующей переходу от покоя к движении, пользуются эмпирической формулой Амонтона— Кулона Pтр f N,

где f —коэффициент трения скольжения.

Коэффициент трения скольжения безразмерен и находится экспериментально. Для трения скольжения можно сформулировать некоторые закономерности, установленные в разное время Амонтоном, Кулоном, Мореном:

1.Сила трения скольжения действует в касательной плоскости к контактирующим поверхностям соприкасающихся тел и направлена в сторону, обратную их взаимному скольжению.

2.Сила трения покоя пропорциональна силе нормального давления (компоненте реакции в направлении нормали к контактирующим поверхностям);

3.Сила трения покоя не зависит от размеров соприкасающихся поверхностей (трущихся поверхностей).

4.Коэффициент трения покоя зависит от материала соприкасающихся тел, физического состояния (температуры, влажности, степени загрязнения и т. п.) и качества обработки поверхности.

Законы трения не относятся к числу точных. В некоторых случаях можно наблюдать значительное отличие действительной силы трения от величины, найденной по соотношению.

Как отмечено выше, формулой Амонтона—Кулона пользуются для определения силы трения в критическом случае (переход от состояния покоя

ксостоянию движения). Во всех остальных случаях для определения силы трения используют уравнение равновесия.

Рассмотрим тело, находящееся на шероховатой поверхности. Будем считать, что в результате действия активных сил и сил реакции тело находится в предельном равновесии. На рисунке 1.64 показана предельная реакция R и ее составляющие: N - сила нормального давления; Pтр. - сила трения. При

изменении направления активных сил будет изменяться направление силы трения и реакция R будет поворачиваться, описывая конус.

Угол между реакцией и нормалью к поверхности называется углом трения, а конус, образованный вращением R , - конусом трения. Определим

P

угол : tg Nтр. или Pтр Ntg .

66

Рисунок 1.64Конус трения

Отсюда видно, что вместо коэффициента трения можно задавать угол трения.

Рассмотрим случай, когда на тело действуют активные силы, которые

Касательная составляющая силы Pk P sin стремится сдвинуть тело и сдвинет его, если будет больше силы трения. Равновесие же тела будет выполнено в случае, когда Pk Pтр , P sin tg P cos .

Отсюда следует, что если tg tg , или , то состояние покоя обеспечено при любом значении силы Р.

Если равнодействующая активных сил находится внутри конуса трения, то тело находится в покое при любом значении силы. Для того чтобы сдвинуть тело, нужно приложить такую систему активных сил, равнодействующая которой находится вне конуса трения.

Трение качения

Рассмотрим цилиндрический каток на поверхности (рисунок 1.65), на который действует сила P , нормальная к поверхности.

Поскольку рассматриваемая поверхность реальная, то в результате действия силы она будет деформироваться.

Реакция поверхности представляет собой симметрично распределенное давление в зоне контакта. Линия действия равнодействующей R совпадает с линией действия силы P .

Приложим к катку дополнительную силу Q , которая параллельна касательной к плоскости в зоне контакта (рисунок 1.65, б). В результате этого дополнительного воздействия зона и распределение давления контакта становятся несимметричными. Возникающая реакция должна проходить через точку пересечения линий действия сил P и Q (равновесие тела при действии

трех сил). Разложим реакцию R на нормальную N и касательную T компо-

67

ненты. Составим уравнения равновесия катка: Q T 0, N P 0, Qr Nh 0, где r — радиус катка; h — величина, характеризующая смещение

точки приложения реакции от плоскости симметрии.

Определяем Т = Q, N = Р. Из третьего уравнения находим h QrP . Как

видим, с увеличением модуля силы Q величина h растет, но величина h связана с величиной зоны контакта и, следовательно, не может неограниченно увеличиваться. Обозначим величину наибольшее смещения точки приложения силы реакции буквой δ.

Условие равновесия будет выполняться, если h .

Моментом трения качения называется наибольшее значение момента Nh, который препятствует перекатыванию катка, при h=δ: MT N ,

где δ — коэффициент трения качения, который имеет размерность длины и определяет наибольшую величину смещения силы нормального давления.

Таким образом, каток будет находиться в состоянии покоя, если момент пары меньше момента трения качения MT , а если момент пары

Q,T станет, больше МТ, то состояние покоя нарушится. При равенстве мо-

ментов имеем предельный случаи равновесия.

Для того чтобы имело место чистое качении (без скольжения), необходимо выполнить условие Q Fтр fN .

а) б) Рисунок 1.65Трение качения

68

1.1.5 Центр параллельных сил и центр тяжести. Устойчивость равновесия.

1.1.5.1. Центр параллельных сил и центр тяжести

Центром параллельных сил называется такая точка на линии действия равнодействующей системы параллельных сил, через которую проходит равнодействующая и в том случае, если все силы системы повернуть вокруг их точек приложения на один и тот же угол, сохраняя параллельность сил.

Покажем существование центра параллельных сил на системе двух сил F1 и F2 , так как при повороте их на один и тот же угол отношение плеч ВС И СА не изменится и равнодействующая пройдет через точку С (рисунок 1.66).

Рисунок 1.66 – Центр параллельных сил

Если дана система п параллельных сил, то равнодействующую этой системы можно найти, последовательно попарно складывая все силы. На линии действия равнодействующей системы параллельных сил также будет существовать точка, обладающая свойством параллельных сил. Формулы для определения координат центра параллельных сил имеют следующий вид:

Определение положения центра тяжести тела, плоской фигуры Силой тяжести называется сила, с которой тело притягивается к

Земле.

Элементарной частицей тела называется такая малая частица, положение которой в пространстве определяется координатами одной точки. Рассмотрим тело, состоящее из большого количества элементарных частиц. Силы тяжести каждой частицы, направленные к центру Земли, образуют систему сходящихся сил, но для тел размеры, которых малы по сравнению с размерами Земли, с достаточной степенью точности можно считать эти силы системой параллельных сил.

69

Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести

динаты частицы; Gi - сила тяжести всего тела.

Если тело представляет собой однородную пластину толщиной h, то сила тяжести элементарной частицы, выраженная через площадь Ai равна: Gi hA , где - удельная сила тяжести (для однородного тела величина постоянная), тогда координаты центра тяжести плоской фигуры определяют по

Методы нахождения центра тяжести.

1. Метод симметрии. Представим себе однородное тело, которое имеет плоскость симметрии. Выберем такую систему координат, чтобы оси х и z лежали в плоскости симметрии (рисунок 1.67), в этом случае каждой элемен-

Рисунок 1.67 – Метод симметрии

Следовательно, если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести лежит в этой плоскости. Кроме того, аналогично можно доказать:

1) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести лежит

70