-2-360~1

ж) з)

Рисунок 2.54 – Виды напряженного состояния

Максимальное касательное напряжение для данной точки тела воз-

никает на площадке, параллельной вектору 2 и делящей пополам прямой угол между площадками действия 1 и 3 . Оно равно полуразности максимального и минимального главных напряжений:

max 1 2 3 .

Площадка, на которой возникает отмечена штриховкой (рисунок 2.55), такое же напряжение возникает и на площадке, перпендикулярной отмеченной (она на рисунке не показана).

Напряженное состояние в какой-либо точке одного тела можно сравнивать с напряженным состоянием в точке другого тела только в том случае, если оба тела несут однотипные нагрузки, а напряженные состояния в этих точках подобны друг другу, т. е. характеризуются соответственно пропорциональными главными напряжениями, имеющими одинаковые знаки. Например, на ри-

191

сунке 5 показаны подобные напряженные состояния в точках А и В, но состояние в точке В в 2 раза опаснее.

Рисунок 2.55 – Возникновение максимального касательного напряжения

Назначение теорий прочности

До сих пор мы рассматривали случаи сочетания основных деформаций, когда в поперечных сечениях бруса возникают только напряжения, которые в каждой точке можно складывать алгебраически.

На практике чаще всего встречаются случаи сочетания основных деформаций, когда в поперечных сечения возникают напряжения, распределенные неравномерно и по разным законам, в этих случаях опытное определение величин, характеризующих прочность, невозможно, так как не всегда возможно воспроизвести в опытных условиях аналогичные напряженные состояния.

Поэтому при оценке прочности деталей конструкций приходится основываться на механических характеристиках данного материала, полученных из диаграммы растяжения.

В случае одноосного напряженного состояния оценка прочности в данной точке конструкции производится путем непосредственного сопоставления возникающего в ней рабочего напряжения либо с предельным, либо с допускаемым напряжением: adm .

ного напряжения к допускаемому коэффициенту запаса прочности.

Предельное напряжение определяют при механических испытаниях данного материала на одноосное растяжение.

Предельным напряжением для пластичного материала является предел текучести у , а для хрупкого — предел прочности u . Поэтому предельное напряженное состояние у пластичных материалов наступает при возник-

новении остаточных деформаций, а у хрупких — при начале разрушения.

Возникает вопрос, как подойти к оценке прочности в общем случае сложного (объемного или плоского) напряженного состояния. Разнообразие напряженных состояний безгранично, чрезвычайно велика и номенклатура применяе-

192

мых материалов, поэтому создать каждое из могущих встретиться на практике напряженных состояний в лабораторных условиях невозможно, как по технической, так и экономической причинам.

Это становится возможным с применением теорий прочности (тео-

рий предельных напряженных состояний).

Основная задача теорий предельных напряженных состояний состоит в разработке критерия, позволяющего сравнивать между собой разнотипные напряженные состояния с точки зрения близости их к предельному состоянию.

Сравнение разнотипных напряженных состояний производится с по-

мощью эквивалентного напряженного состояния, за которое берется наиболее изученное напряженное состояние при простом растяжении. Напряжение при одноосном растяжении, равноопасное заданному сложному напряженному состоянию, называется эквивалентным и обозначается red .

Два напряженных состояния называют равноопасными или эквивалентными, если они переходят в предельное состояние при увеличении соответствующих им главных напряжений в одно и то же число раз, что означает

равенство коэффициентов запаса прочности при эквивалентных напряженных состояниях.

Остается решить вопрос, что же является критерием равноопасности различных по характеру напряженных состояний. Решение этого вопроса дают теории прочности. Тогда для расчета на прочность в случае сложного напряженного состояния следует заменить его равноопасным (эквивалентным) ему одноосным растяжением и сравнить соответствующее напряжение с допускаемым (или предельным) для данного материала.

Таким образом, эквивалентное напряжение – это лишь некоторая условная расчетная величина, а не какое-либо реально возникающее напряжение. Его значение зависит те только от заданного напряженного состояния, но и от принятого для расчета признака равноопасности напряженного состояния, чем и занимаются теории прочности.

Тот или иной критерий эквивалентности может быть основой для практических расчетов лишь при условии, что для ряда частных случаев он проверен опытным путем и результаты эксперимента оказались достаточно близки к результатам теоретического расчета.

Независимо от приятой теории прочности после определения эквивалентного напряжения условие прочности можно представить в виде:

Основные теории прочности:

Первая гипотеза прочности была выдвинута Галлилеем в XVII в. и со-

193

стояла в том, что причиной разрушения материала является наибольшее нормальное напряжение растяжения t или сжатия c без учета двух других главных напряжений. Экспериментальная проверка не подтвердила этой гипотезы в отношении двухосного и трехосного напряженных состояний.

Вторая гипотеза была выдвинута в 1682 г. Мариоттом; согласно этой гипотезе, прочность материала в исследуемой точке достигает критического состояния при максимальном значении линейной деформации . Экспериментальная проверка и в этой гипотезе обнаружила ряд весьма существенных недостатков. В настоящее время эти теории не применяются.

Третья гипотеза, предложенная Кулоном в 1773. г., предполагает, что предельное напряженное состояние возникает в момент, когда в двух взаимно перпендикулярных сечениях, проведенных через исследуемую точку, наибольшие касательные напряжения достигают предельного значения, при котором возможно разрушение путем сдвига и скольжения одной части материала по другой. Эта гипотеза более совершенна, чем первые две, но применима лишь для пластичных материалов, т. е. при условии, если u,t u,c и для напряженных состояний, у которых 1 и 3 имеют разные знаки или одно из них равно нулю. Согласно этой гипотезе два напряженных состояния равноопасны, если максимальные касательные напряжения для них одинаковы т.е. максимальное касательное напряжение для заданного напряженного состояния и эквивалентного ему одноосного растяжения одинаковы:

Будем обозначать эквивалентное напряжение, указывая номер теории прочности римской цифрой.

Приравняв max и red , получим

redIII 1 3 .

Очевидный недостаток этой теории пренебрежение влиянием промежуточного напряжения 2 .

Четвертая гипотеза, предложенная Мором в 1900 г., базируется не на каком-либо одном факторе , или , а на двух и , а потому она более совершенна, чем предыдущие три. Экспериментальная проверка показала, что полученный на основе четвертой гипотезы критерий перехода от исследуемого напряженного состояния к эквивалентному, справедлив как для пластичных, так и для хрупких материалов и дает наилучшие результаты, ес-

194

ли 1 и 3 имеют разные знаки или одно из них равно нулю. Эквивалентное напряжение по четвертой теории:

допускаемых напряжений при одноосном растяжении и сжатии. При k 1 эта формула определения red тождественна с формулой (1) третьей теории прочности.

Пятая гипотеза прочности иначе называется гипотезой энергии фор-

моизменения, и критерий перехода от исследуемого напряженного состояния к эквивалентному состоянию основан на том, что предельное напряженное состояние возникает при некотором значении потенциальной энергии, накапливаемой элементом конструкции при изменении только его формы. Согласно этой гипотезе,

0,5 1 2 2 2 3 2 3 1 2 .

Экспериментальная проверка пятой гипотезы показала, что она справедлива только для пластичных материалов, у которых y,t y,c , но критерий перехода здесь точней, чем у третьей гипотезы.

Задача.

Сравнить опасность двух напряженных состояний (см. рисунок). Механические характеристики материалов имеют следующие значения: для первого

Решение.

В данном случае механические характеристики материалов сравниваемых элементов различны, поэтому сопоставление значений эквивалентных напряжений лишено смысла. Сравнивать надо коэффициенты запаса прочности, конечно, применяя в том и другом случае одну и туже гипотезу прочности. Так как в том и другом случае материал хрупкий (это следует из заданных значений механических характеристик), то расчет выполним по гипотезе Мора.

Для первого элемента (точки) главные напряжения имеют следующие значе-

195

ния:

Таким образом, nпчII nпчI , следовательно, второе из заданных напряженных состояний опаснее.

196

2.7.2. Расчет бруса круглого поперечного сечения на изгиб с кручением

Валы различных машин представляют собой в большинстве случаев прямые брусья круглого сплошного или реже кольцевого сечения, работающие на совместное действие изгиба и кручения.

Применение гипотез прочности позволяет рассчитывать валы, учитывая совместное действие изгиба и кручения.

При расчете валов, а также других элементов конструкций, испытывающих одновременное действии изгиба и кручения, влиянием поперечных сил, как правило, пренебрегают, так как соответствующие им касательные напряжения в опасных точках бруса невелики по сравнению с касательными напряжениями от кручения и нормальными напряжениями от изгиба.

На рисунке 2.56, а показан вал, на который насажены зубчатое колесе диаметром d1 и шкив ременной передачи диаметром d2 . На зубчатое колесо действуют окружная Ft и радиальная Fr , силы, на шкив – силы F1 и F2 натяжения ветвей ремня. Для составления расчетной схемы вала (рисунок 2.56, б) все силы должны быть приведены к его оси. При переносе силы Ft , к оси вала добавляется скручивающая пара с моментом M1 Ft d1 / 2 (рисунок 2.56,

в); аналогично, при приведении сил F1 и F2 получается скручивающая пара с моментом M2 F1 d2 / 2 F2 d2 / 2 F1 F2 d2 / 2 (рисунок 2.56, г).

Рисунок 2.56Вал При равномерном вращении вала (только такой случай и рассматрива-

197

ется) M1 M2 , что следует из основного уравнения динамики для вращательного движения.

Подшипники, на которое опирается вал, рассматриваются при его расчете как пространственные шарнирные опоры, т. е. связи, препятствующие линейным перемещениям, но не мешающие повороту поперечных сечений вала.

На основе расчетной схемы определяют опорные реакции и строят эпюры M z , M x и M y , по которым определяют опасное сечение вала. Как известно из предыдущего, расчет на изгиб бруса круглого поперечного сечения

ведется по результирующему изгибающему моменту Mu M x2 M y2 , следова-

тельно, для вала, диаметр которого по всей длине постоянен, опасным будет сечение, в котором одновременно возникают наибольшие крутящий M z и изгибающий Mu моменты. В рассматриваемом случае опасным будет сечение С под серединой шкива.

Проанализируем вопрос об опасных точках поперечного сечения. На рисунке 2.57, а показаны моменты в сечении, проведенном бесконечно близко слева от С. Применяя векторное изображение изгибающих моментов, найдем положение силовой и нулевой линий и построим зпюру нормальных напряжений Mu (рисунок 2.57, б). Касательные напряжения от кручения рас-

пределены вдоль любого радиуса по линейному закону и достигают максимального значения в точках контура сечения. Очевидно, опасными являются точки пересечения контура с силовой линией, в которых одновременно и нормальные напряжения от изгиба, и касательные напряжения от кручения имеют наибольшие значения.

Рисунок 2.57Моменты в сечении.

198

Для пластичного материала точки А и В равноопасны, для хрупкого или хрупкопластичного опаснее точка А, в которой от изгиба возникают нормальные напряжения растяжения.

На рисунке 2.57, в показан элемент, выделенный у опасной точки А, и возникающие на его гранях напряжения

z Mu max Mu Wu ; z Mu max Mz Wp .

В опасной точке возникает упрощенное плоское напряженное состоя-

ние.

Валы, как правило, изготовляют из среднеуглеродистой конструкционной или реже легированной стали. Их расчет выполняют на основе третьей и пятой гипотез прочности.

Составим расчетную зависимость по третьей, гипотезе прочности.

Внешне эта формула аналогична расчетной зависимости для определения максимальных нормальных напряжений при изгибе, поэтому величину, стоящую в числителе, называют эквивалентным (или приведенным) моментом, при этом условие прочности имеет вид

экв Mэкв Wu .

Таким образом, расчет бруса круглого поперечного сечения на изгиб с кручением ведется аналогично расчету на изгиб, но вместо изгибающего момента в расчетную формулу входит так называемый эквивалентный момент, который зависит от изгибающих и крутящего моментов, а также от принятой гипотезы прочности. По гипотезе наибольших касательных напряжений,

MэIII Mu2 M z2 M x2 M y2 M z2 .

Независимо от применяемой гипотезы прочности расчетную формулу можно привести к виду экв Mэкв Wu .

Если выполнить расчет по пятой теория прочности, то, воспользовавшись формулой эV z2 3 z2 ; , после преобразовании, аналогичных рассмотренным, подучим

MэV Mu2 0,75M z2 M x2 M y2 0,75M z2 .

199

При проектном расчете определяют требуемое значение момента сопротивлении поперечного сечении:

Wu Mэкв .

Учитывая, что для сплошного круглого сечения Wu d 3 / 32 0,1d 3 , получаем следующую формулу для определения требуемого диаметра вала:

Понятие «эквивалентный момент» не имеет смысла при изгибе с кручением бруса некруглого поперечного сечения. Неприменимо оно и в случае, если помимо изгиба и кручения брус круглого сечения испытывает растяжение или сжатие.

200