-2-360~1

m= 12кНм = 1 ∙106Нм; а = 3 м = 3 ∙ 103 мм;

F = 40KH = 40∙103H:

q = 4 кН/ м = 4 Н/мм; l=5 м = 5∙103 мм.

Для двутавра № 45 ГОСТ 8239-89 Jx = 27696 см4 S 27,7 -107 мм4. Тогда

21,33 < 25 — условие жесткости выполняется. Максимальный прогиб не превышает допускаемого значения.

181

2.6. Растяжение (сжатие) и изгиб бруса большой жесткости 2.6.1. Совместное действие изгиба и растяжение (сжатия) бруса большой жесткости

Рассмотрим сочетание пространственного изгиба и растяжения (или сжатия) прямого бруса (рисунок 2.44, а). Если в числе действующих на брус нагрузок есть силы, направления которых не совпадают ни с одной из главных центральных осей, их следует разложить на составляющие по этим осям, т. е. привести схему нагружения к аналогичной схеме, представленной на рисунке 2.44, б.

Рисунок 2.44Сочетание изгиба и растяжения прямого бруса.

В произвольном поперечном сечении бруса возникают пять внутренних силовых факторов (рисунок 2.44, б): продольная сила Nz (N ) ; поперечные силы Qx и Qy ; изгибающие моменты M x и M y . В частных случаях некоторые из указанных величин могут быть равны нулю. Например, если равны нулю поперечная сила Qx и изгибающий момент M y будет сочетание прямого изгиба в главной плоскости zOy с растяжением или сжатием. Влияние поперечных сил учитывать не будем.

Для определения положения опасного поперечного сечения следует построить эпюры Nz , M x и M y ; при этом может оказаться, что эти внутрен-

ние силовые факторы достигают своих наибольших значении не в одном и том же сечении. Следовательно, и расчет на прочность приходится выполнять для двух, а иногда и большего числа предположительно опасных сечений.

182

Линейные перемещения определяют путем геометрического суммирования перемещений в трех взаимно перпендикулярных направлениях - вдоль осей х, у, z.

Применение принципа независимости сил при определении перемещений (а также внутренних силовых факторов и, следовательно, напряжении) допустимо лишь при условии, что, рассчитываемый брус обладает достаточно большой жесткостью. Для бруса малой жесткости было бы ошибочным определять прогибы только от нагрузки q, не учитывая влияния сжимающей силы F. Точно также, определяя изгибающий момент в каком-либо сечении, например в заделке, следует учесть, что в результате деформации бруса сила F кроме сжатия вызывает и изгиб - дает в заделке изгибающий момент, равный Ff , который суммируется с моментом от нагрузки q .

Будем считать, что рассчитываемый брус всегда имеет настолько большую жесткость что, можно не учитывать изменений, происходящих в расположении сил при его деформировании (так называемый принцип начальных размеров), и вести расчет на основе принципа независимости действия сил.

При нагружении бруса внеценренно приложенной силой, параллельной его продольной оси (рисунок 2.45, а), также получается сочетание изгиба с растяжением или сжатием (в зависимости от направления силы). Применив метод сечений, легко установить, что в любом поперечном сечении бруса возникают три внутренних силовых фактора (рисунок 2.45, б):

Nz F ; M x FyF ; M y FxF

где yF и xF - координаты полюса (точки, приложения силы) в системе главных центральных осей.

Рисунок 2.45Нагружении бруса внеценренно приложенной силой

Таким образом, в общем случае внецентренного растяжения (сжатия) получается сочетание чистого косого изгиба с центральным растяжением или сжатием.

Чистый косой изгиб, в свою очередь, сводится к двум частым прямым

183

изгибам во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Конечно, определение каждого из изгибающих моментов как произведения силы на соответствующую координату полюса допустимо лишь при условии достаточно большой жесткости бруса, позволяющей пренебрегать изменениями расстояний от силы до главных осей какого-либо сечения, вызванными деформацией бруса.

Вотличие от схемы нагружения на рисунке 2.44, а при внецентренном растяжении (сжатии) значения внутренних силовых факторов не зависят от положения поперечного сечения по длине бруса. Они одинаковы во всех поперечных сечениях (силу тяжести бруса не учитываем). Это обстоятельство упрощает расчет на прочность, так как вопрос об определении опасного сечения отпадает - здесь все сечения равноопасны.

Вчастных случаях, когда полюс находится не одной из главных центральных осей сечения (рисунок 2.46, а, б), получается сочетание чистого прямого изгиба с растяжением или сжатием. По схеме, данной на рисунке 2.46, а,- чистый изгиб относительно оси х и растяжение, а на рисунке 2.46, б - чистый изгиб относительно оси у и также растяжение.

Рисунок 2.46Сочетание чистого прямого изгиба с растяжением или сжатием

Изгиб бруса будет прямым (независимо от положения полюса) также в случаях, когда форма поперечного сечения такова, что все его центральные оси - главные (круг, кольцо и т. п.).

Нормальные напряжения, возникающие в поперечном сечении бруса, нагруженного, как показано на рисунках 1 или 2, можно на основе принципа независимости действия сил рассматривать как результат наложения трех систем напряжений: определяемых его растяжением или сжатием ( Nz ), напря-

жений от прямого изгиба в главной плоскости zOy ( M x ), то же, прямого изгиба в главной плоскости zOx ( M y ).

Эпюры нормальных напряжений Nz , M x , M y изображены на рисунке

184

2.47. Напряжения Nz распределены по сечению равномерно, и соответству-

ющая эпюра может быть расположена произвольно, но удобнее, когда ось этой, эпюры параллельна одной из главных центральных осей сечения, как показано на рисунке 2.47. Знаки на эпюрах поставлены в соответствии с направлениями внутренних силовых факторов, показанных на рисунках

2.45,б и 2.46, б.

Рисунок 2.47Эпюры нормальных напряжений

Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения определяется как алгебраическая сумма трех указанных напряжений:

Каждое из слагаемых должно быть подставлено в эту формулу со своим знаком, определяемым по соответствующим эпюрам нормальных напряжений или, что то же самое, по характеру деформации бруса.

Для бруса из пластичного материала опасной будет точка, наиболее удаленная от нейтральной линии и условие прочности запишется в виде

Для бруса из материала, различно сопротивляющегося растяжению и сжатию, условия прочности записываются в виде

185

Деформированное состояние, являющееся сочетанием плоского изгиба с растяжением или сжатием, образуется при нагружении бруса силами, действующими в главной плоскости, но не перпендикулярно к его оси. Например, при нагружении бруса силой F (рисунок 2.48) ее можно разложить на

две составляющие: Fz и Fy .

Осевая составляющая Fz растягивает брус, поперечная составляющая

Fy его изгибает.

Рисунок 2.48

Брус может быть нагружен поперечными и осевыми силами так, как показано на рисунке 2.49. В этом случае поперечные нагрузки F1 и F2 изги-

бают брус, а осевая F3 - сжимает.

Рисунок 2.49

Считая, что брусья обладают большой жесткостью на изгиб, согласно принципу независимости действия сил можно утверждать, что в любом сечении от действия осевых нагрузок возникают напряжения растяжения или

186

Таким образом, суммарные напряжения в любом сечении бруса опре-

При расчетах на прочность исходят из наибольших напряжений, возникающих в сжатом сечении. В частности, если сечение бруса симметрично

При определении напряжений по формулам (1) и (2) значения напряжений следует подставлять с их знаками.

Задача

Стальной брус квадратного поперечного сечения нагружен, как показано на рисунке 2.50 . Проверить прочность бруса при adm = 160 МПа.

Рисунок 2.50Расчетная схема

Решение:

1. Находим реакции опор балки. Горизонтальная составляющая реакции неподвижного шарнира RA = F2 = 4000 Н, вертикальные реакции опор

RAY RB = 400 Н.

2. Продольная сила в любом сечении бруса N = RA = - 4000 Н (осевая

нагрузка F2 сжимает брус); площадь поперечного сечения А =а2= 100 мм2; изгибающий момент достигает наибольшего значения в сечении С (под си-

3. Подставляя найденные в п. 2 значения величин в формулу (2), находим максимальные напряжения в опасном сечении бруса, расположенном в центре пролета:

Для большей наглядности последующих действий построим эпюры нормальных напряжений, возникающих в опасном сечении (рисунок 2.51).

лежит в зоне сжатия, а нижняя — в зоне растяжения. При этом наибольшие напряжения растяжения возникают в нижних крайних точках сечения:

ному значению напряжение в опасном сечении не превышают adm = 160 МПа.

Эпюра суммарных напряжений построена на рисунке 2.51, в. Заметим, что нейтральная ось в сечении бруса не совпадает с центральной осью инерции.

Рисунок 2.51Эпюры

188

2.7. Изгиб с кручением; кручение с растяжением (сжатие) 2.7.1. Теории прочности

Напряженное состояние в точке тела определяется совокупностью нормальных и касательных напряжений, возникающих в любом сечении, проведенном через эту точку.

Наглядной моделью, характеризующей напряженное состояние в точке, служит вырезанный из тела элемент в виде прямоугольного параллелепипеда с исследуемой точкой внутри. При уменьшении размеров параллелепипеда он стягивается в точку, и можно считать, что любая из граней параллелепипеда проходит через данную точку.

В общем случае на трех любых взаимно перпендикулярных гранях элемента возникают различные полные напряжения р, которые можно разложить на три составляющие (рисунок 2.52): одну, направленную по нормали к площадке, и две, лежащие в ее плоскости. Индексы нормальных напряжений соответствуют осям, перпендикулярным к данным площадкам, а касательные напряжения имеют два индекса — первый соответствует оси, перпендикулярной к площадке, а второй — оси, вдоль которой направлен вектор данной касательной составляющей.

Рисунок 2.52 – Напряженное тело

Таким образом, напряженное состояние в точке тела в общем случае характеризуется девятью компонентами. Такие же девять составляющих напряжений, но противоположно направленные, возникают на трех невидимых гранях элемента (для упрощения на рисунке не показаны). В соответствии с законом парности касательных напряжений, вытекающим из условия равновесия выделенного элемента, имеем: xy = yx ; yz = zy ; zx = xz , т. е.

на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательные напряжения, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены обе либо к ребру, либо от ребра.

Следовательно, из девяти компонентов независимы друг от друга лишь

189

шесть. И если эти независимые друг от друга напряжения заданы, то можно определить напряжения в любой другой плоскости, проходящей через данную точку. Поэтому три взаимно перпендикулярные грани выделенного элемента иначе называют исходными площадками. Таким образом, напряженное со-

стояние в точке известно, если определены напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через эту точку.

Оказывается, что через заданную точку напряженного тела всегда возможно провести три взаимно перпендикулярные плоскости, в которых ка-

сательные напряжения равны нулю, а возникают только нормальные

уменьшения в алгебраическом смысле значений главных напряжений, т. е.

1 2 3 .

Рисунок 2.53 –Главные напряжения

Виды напряженного состояния классифицируют обычно по главным напряжениям (рисунок 2.54):

1)Если все три главных напряжения отличны от нуля, напряженное состояние, называют трехосным или объемным (рисунок 2.54 а, 6, в). Оно может быть а) трехосное растяжение; б) трехосное сжатие, в) трехосное смешанное состояние.

2)Если два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю, то напряженное состояние называют плоским или двухосным (рисунок 2.54 г,д,е). Оно может быть г) двухосное растяжение; д) двухосное сжатие, е) двухосное смешанное состояние.

3)Если лишь одно из главных напряжений не равно нулю, напряженное состояние называется линейным или одноосным (рисунок 2.54ж,з), оно может быть: ж) одноосное растяжение; з) одноосное сжатие.

Площадки свободные от напряжений называют нулевыми главными площадками (на рисунке 2.54 они покрыты точками).

190