-2-360~1

согласно которой кривизна нейтрального слоя балки 1 прямо про-

порциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна жестко-

сти сечения при изгибе EJ x .

171

По условию прочности при изгибе выполняют три вида расчета:

1) проверочный 2) проектный

3) определение допускаемой нагрузки M adm Wx adm .

Задача

Для заданной балки построить эпюры изгибающих моментов.

Для опасного сечения определить, из расчета на прочность, требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки, принимая допускаемое напряжение [σ]=160 МПа.

Подобрать по таблицам ГОСТ 8239-89 и ГОСТ 8240-97 соответствующие требуемому моменту сопротивления номера профилей прокатной стали в двух вариантах: а) балка двутавровая; б) балка состоит из двух швеллеров.

Найти отношение массы балки, состоящей из двух швеллеров к массе двутавровой балки.

Дано: F1 10кН , F2 15кН , М 35кН м , l1 0, 2м , l2 1,8м , l3 0, 4м .

Решение:

1.Изображаем балку со всеми нагрузками.

2.Показываем направление осей у и z.

3.Опоры А и В заменяем реакциями опор RA и RВ , предварительно направив

их вверх.

4. Составляем уравнения равновесия и определяем величину реакции опор.

M A (Fn ) 0 : F1 0, 2 F2 (0, 2 1,8) M RB (0, 2 1,8 0, 4) 0 ;MB (Fn ) 0 : M F2 0, 4 F1 (0, 4 1,8) RA (0, 4 1,8 0, 2) 0 .

26, 25 10 15 1, 25 0 ;

0 0 .

Реакции опор определены верно. Реакция RВ получилась отрицательной, то есть направлена не вверх, а вниз, что и показываем на чертеже, перечеркивая

173

предварительно выбранное направление. Найденные значения RA и RВ проставляем на чертеже.

6. Применяя метод сечений, определяем величину изгибающего момента в характерных сечениях балки:

MC RA 0, 2 26, 25 0, 2 5, 25кН м ;

MD RA (0, 2 1,8) F1 1,8 26, 25 (0, 2 1,8) 10 1,8 34,5кН м ;

M D RA (0, 2 1,8 0, 4) F1 (1,8 0, 4) F2 0, 4

26, 25 (0, 2 1,8 0, 4) 10 (1,8 0, 4) 15 0, 4 35кН м.

Строим эпюру изгибающих моментов.

7. Из условия прочности балки при изгибе определяем размеры ее поперечного сечения. Расчет ведем для опасного сечения В, где Mmax 35кН м . Требуемый момент сопротивления сечения

8. Подбираем сечение балки в двух вариантах:

а) двутавр. По таблице сортамента ГОСТ 8239-89 принимаем двутавр №22, для которого Wx 232см3 , А 30, 6см2 .

б)швеллер. Требуемый момент сопротивления швеллера, т.к. швеллера два:

Wx1 Wx 218, 75 109,375см3 2 2

По таблице сортамента ГОСТ 8240-97 принимаем два швеллера №18, для ко-

2.5.6.Понятия о касательных напряжения. Формула Журавского

Впоперечных сечениях балок, как было установлено выше, при чистом изгибе возникают только нормальные, а при поперечном, изгибе - как нормальные, так и касательные напряжения.

Из закона парности касательных напряжений следует, что в продольных сечениях балки, параллельных нейтральному слою, также возникают касательные напряжения (рисунок 2.40). Для данной точки балки касательное напряжение zy , возникающее на площадке поперечного сечения, равно каса-

тельному напряжению yz , возникающему на площадке продольного сечения, проведенного через ту же точку.

Рисунок 2.40Напряжения в балке

Наличие касательных напряжений в продольных сечениях балок подтверждается также и результатами следующего опыта. Представим себе две одинаково нагруженные двухопорные балки (рисунок 2.41), одна из которых состоит из ряда отдельных положенных друг на друга и ничем не скрепленных брусьев. Каждый из этих брусьев деформируется независимо от других (влияние сил трения между брусьями не учитываем), имея собственный нейтральный слой. В результате деформации отдельные брусья, составляющие балку, взаимно сдвинутся. В целой балке взаимного сдвига ее продольных слоев не происходит; это и указывает на наличие в продольных плоскостях касательных напряжений, препятствующих этим сдвигам. Попутно заметим, что прогибы целой балки будут значительно меньше, чем балки, состоящей из отдельных брусьев.

Рисунок 2.41демонстрация опыта

175

Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения бруса ( zy ) при прямом поперечном изгибе определяется по формуле

zy yz Qy Sx / Jxb .

Здесь Qy - поперечная сила, возникающая в рассматриваемом поперечном сечении бруса; Sx - статический момент относительно нейтральной оси поперечного сечения его части, расположенной по одну сторону от прямой, проведенной через исследуемую точку параллельно нейтральной оси;

J x - момент инерции всего поперечного сечении относительно его нейтральной оси; b - ширина поперечного сечения — размер в направлении, параллельном нейтральной оси (при переменной ширине сечения значение b надо брать на уровне исследуемой точки).

Эту зависимость называют формулой Журавского.

В балке прямоугольного сечения максимальные касательные напряжения возникают в тех точках, где нормальные напряжения равны нулю (на нейтральной оси), и, наоборот, в крайних точках сечения, где нормальные напряжения максимальны, касательные напряжения равны нулю. Сказанное справедливо также для балок круглого сечения.

Результат, полученный для балки прямоугольного сечения, можно использовать для вычисления касательных напряжений в стенке двутавровой балки. Не останавливаясь на доказательствах, укажем, что в полках двутавровых балок возникают горизонтально направленные касательные напряжения zx , а вертикальные zy близки к нулю, при этом для вычисления послед-

них формула Журавского неприменима. На рисунке 2.42 показано направление касательных напряжений в полке и стенках двутаврового профиля и дана эпюра в стенке.

Рисунок 2.42Напряжения в двутавровой балке

Напряжения в верхней (нижней) точке стенки найдем, подставляя в

176

формулу zy yz Qy Sx / Jxb статический момент площади полки SxII относительно нейтральной оси и принимая ширину сечения равной толщине

стенки: K Qy SxII / Jx c .

Максимальное касательное напряжение (возникает в точках нейтральной оси) найдем из выражения max

где Sx1/ 2cеч - статический момент полусечения относительно нейтральной оси. В прокатной или сварной двутавровой балке, имеющей сравнительно

большую высоту, касательные напряжения могут быть значительны при условии, что балка нагружена большими сосредоточенными силами и длина ее невелика или эти силы приложены близко к опорам. В этом случае помимо основного расчета на прочность по нормальным напряжениям следует проверить максимальные касательные напряжения в том сечении, где поперечная сила имеет наибольшее значение. Обычно принимают (для стальных балок)

177

2.5.7. Условие жесткости и расчеты на жесткость при изгибе

Работающие на изгиб элементы строительных и машиностроительных конструкций во многих случаях должны быть рассчитаны не только на прочность, но и на жесткость. При этом зачастую оказывается, что требуемые размеры поперечного сечения бруса (балки), определенные из расчета на жесткость, получаются большими, чем требуемые по условию прочности.

В большинстве случаев условие жесткости выражается неравенством f f ,

т. е. максимальный прогиб (стрела прогиба f) не должен превышать допускаемого f . Значение допускаемого прогиба зависит от назначения и условий

работы рассчитываемой конструкции и колеблется в широких пределах. Обычно допускаемую стрелу прогиба указывают в долях пролета (межопорного расстояния l ) балки.

Для обеспечения нормальной работы подшипников скольжения и роликовых подшипников качения иногда ставится дополнительное условие жесткости — ограничение угла поворота опорных сечений:

оп max .

При этом допускаемый угол поворота составляет в среднем 0,001 рад. В тех случаях, когда конструктивные и технологические требования не накладывают особых ограничений на форму поперечных сечений проек-

тируемого элемента конструкции, следует применять такие сечения, которые обеспечивали бы возможно большую жесткость при наименьшем расходе материала. Жесткость балки прямо пропорциональна моменту инерции Jx ее поперечного сечения относительно нейтральной оси, а расход материала (масса балки) прямо пропорционален площади сечения А.

Для оценки рациональности формы поперечного сечения балки, размеры которой определяются из расчета на жесткость, удобна безразмерная характеристика

Для ускорения и упрощения расчетов на жесткость в таблице 1 приведены значения прогибов и углов поворота сечений для некоторых часто встречающихся балок.

178

Таблица 1- Формулы для определения прогибов и углов поворота сечений балок

179

Рисунок 2.43Проверка на жесткость двутавровой балки

Решение

Используем принцип независимости действия сил. По приведенным в таблице формулам рассчитываем прогиб балки в точке от каждого вида нагружения отдельно (рисунок 2.42 (1, 2, 3)).

Поскольку все действующие нагрузки прогибают балку вниз, результаты действия нагрузок можно сложить. Полученный суммарный прогиб сравним с допускаемым прогибом.

Допускаемый прогиб

[ ]

Суммарный прогиб

Исходные данные:

180