Физика. В 4 ч. Ч. 3. Электродинамика
.pdf
б) Металлический слой заземлен.
Потенциал любой заземленной проводящей по-
верхности равен нулю. |
|
q |
|
Напряженность электрического поля в метал- |
|
q2 |
|
R |
0 q1 |
||
лическом слое также равна нулю, но заряды на |
1 |
|
|
|
r |
|
|
поверхностях сфер радиусами R1 и R2 будут не- |
|
R2 |
|
одинаковыми. В отличие от случая (а) заряды мо- |
|
|
|
гут стекать с оболочки или набегать на нее. Пред-
положим, что на внутренней поверхности слоя появится заряд – q1, а на внешней – заряд + q2. Учитывая то, что потенциал заземленной поверхности слоя радиуса R2(x = R2) равен нулю, т. е.
kq |
|
kq1 |
|
kq2 |
0 |
, то q = q1 |
– q2. |
(1) |
R2 |
|
R2 |
|
R2 |
||||
|
|
|
|
|
|
И тот факт, что напряженность поля внутри слоя также равна нулю, то
k | q | |
k | q1 |
| |
0 |
, а модуль заряда q1 |
= q. |
(2) |
|
x2 |
|
x2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
Сравнивая (1) и (2), приходим к выводу, что q2 = 0, т. е. на внешней поверхности заземленного слоя заряд отсутствует, а на внутренней поверхности распределен заряд q1 = – q.
Таким образом, задача сводится к нахождению результирующего поля двух заряженных концентрических сфер, радиусы которых r и R1, с зарядами + q и – q соответственно. Итак,
1) 0 x r (внутри шарика).
E = 0, |
|
|
. |
||
2) r |
|
x |
|
R (между шариком и слоем). |
|
E |
kq |
, |
. |
||
x |
2 |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
3) R1 |
|
x |
(за пределами внутренней поверхности слоя). |
||
E = 0, = 0 – поле отсутствует.
в) Слой из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью .
При внесении в поле заряженного шарика сферического слоя диэлектрика происходит поляризация слоя, и на внутренней и внешней поверхностях слоя появляются связанные заряды – qсв и + qсв. Определить эти заряды можно, рассчитав напряженность поля внутри диэлектрика. С одной
61
стороны, электрическое поле, создаваемое заряженным шариком, в диэлектрике ослаблено в 
раз и равно на расстоянии х от центра шарика
E k |
q |
, |
(1) |
|
а с другой стороны, согласно принципу суперпозиции электрических полей напряженность можно найти как результат наложения поля шарика и поля связанных зарядов внутренней поверхности слоя:
E |
kq |
|
kqсв |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Приравняв (1) и (2): |
kq |
|
kq |
|
kqñâ |
, получим |
q |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
ñâ |
|
|
Теперь задача сводится к нахождению напряженности и потенциала электрического поля, создаваемого тремя концентрическими сферами
радиусам r, R1 и R2 |
с зарядами q, |
|
и |
|
соответственно. |
|||||
|
|
|||||||||
1) 0 |
|
x |
|
|
r |
|
|
|
|
|
E = 0, |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
2) r |
|
x |
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
E |
k |
q |
, |
|
. |
|
|
|||
x |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) R1 |
x |
|
R2 |
|
|
|
|
|
||
E |
k |
q |
|
, |
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
4) R2 |
x . |
|
|
|
|
|
||||
E |
k |
q |
, |
q . |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.2.27. Три концентрические тонкие проводящие сферы расположены в вакууме. Внутренняя и внешняя сферы заземлены, средней сообщен заряд q. Радиусы сфер – R1, R2 и R3. Определить напряженность и потенциал электрического поля в зависимости от расстояния от центра сфер.
Решение:
62
R3
R2 R1
0
q
При сообщении средней сфере заряда q на поверхностях внутренней и внешней сфер индуцируются заряды q1 и q3. Заземление сфер приводит к тому, что на них устанавливается потенциал равный нулю. Исходя из принципа суперпозиции для потенциала на поверхности внутренней заземленной сферы, ее потенциал
|
|
|
kq |
kq |
kq |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||
|
|
|
R1 |
R2 |
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
потенциал внешней зазмеленной сферы |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
k(q |
q |
q ) |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||
|
|
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из (1) и (2) имеем систему уравнений |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
q1 |
|
q |
|
q3 |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
R2 |
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
q1 |
q q3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение этой системы относительно q1 |
и q3 |
позволяет определить заряд |
|||||||||||||
на внутренней сфере q q |
R1 (R 2 |
R3 ) |
; |
q |
q |
R3 (R1 R2 ) |
(т. к. R |
< R , |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
R2 (R 3 |
R1 ) |
3 |
|
R2 (R 3 R1 ) |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R1 < R2, то q1 < 0 и q3 < 0) .
Потенциал внутри сферы равен потенциалу на ее поверхности, а вне сферы изменяется подобно потенциалу точечного заряда, помещенного в центр сферы.
При 0 < r < R1 (внутри первой сферы)
|
kq |
kq |
kq |
(сфера заземлена); |
||
|
R1 |
R2 |
R3 |
|||
|
|
|
|
|||
при R1 |
r < R2 (между первой и второй сферами) |
|||||
|
kq |
kq |
kq |
kqR (R |
|
|
|
r R2 |
R3 |
R2 R3 |
R1 |
R2 R3R2 R3 R1 |
|
|
kq(r R1 )(R3 |
R2 ) |
; |
|
|
|
|
rR2 (R3 R1 ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
при R2 |
r < R3 (между второй и третьей сферами) |
|||||
|
kq kq kq |
q(R r)(R2 |
R1 ) ; |
|||
|
r |
r2 |
R3 |
rR2 R3 |
R1 ) |
|
при r R3 (за пределами сфер)
63
k(q |
. |
|
|
r |
r |
Напряженности электрического поля, создаваемого сферами на различных расстояниях от их центра, будут иметь следующие значения:
при 0 |
r < R1: |
при R1 |
r < R2: |
при R2 |
r < R3: |
при r |
R3: |
E4 |
k(q |
|
r |
||
|
E1 = 0;
E |
kq1 |
|
kqR1 |
(R2 |
R3 ) ; |
|
|
|
2 |
r2 |
|
r2 R (R |
R ) |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
E |
k( |
| q | | q |) |
kqR (R |
R ) ; |
||||
3 |
|
|
r |
|
r R2 |
R3 |
R1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
r R2 R3 |
R1 |
. |
||
|
|
|
|
|
||||
1.2.28. Три проводящих шара радиуса R расположены в воздухе так, что их центры совпадают с вершинами равностороннего треугольника
со стороной а, причем а R. Каждый шар поочередно на некоторое
время заземляли. Определить заряды, оставшиеся после этого на шарах, если первоначально каждый шар имел заряд q.
Решение:
После заземления первого шара его потенциал становится равным нулю. Этот потенциал равен алгебраической сумме потенциалов, созда-
ваемых каждым шариком в отдельности: заземленным шаром 
и двумя оставшимися |
. |
q |
2 |
R |
|
a |
|
|
a |
q 2q q1 = 2qR . q1 1 3 q
a |
a |
|
Заземлив второй шар, аналогично получаем
2qR |
q |
q |
q2 |
2 |
|
|
|
|
2qR2 qR . q2 a2 a
После заземления третьего заряда
a |
|
a |
q1 1 |
a |
3 q |
|
|
q2 |
2 |
64 |
a |
|
a |
q3 |
q1 1 |
a |
3 |
||
|
|
|
|
|
q |
2qR |
2qR2 |
qR |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
q |
3qR2 |
2qR3 |
. |
|
|
a2 |
a3 |
|
|
|||
|
3 |
|
2qR2/a2 – qR/a; 3qR3/a2 – 2qR3/a3. |
|||
|
|
|
Ответ: –2qR/a; |
|||
1.2.29. Две одноименно заряженные частицы массами m1 = 10 мг и m2 = 20 мг начинают двигаться из бесконечности навстречу друг другу
со скоростями 1 = 5 км/с и 2 = 4 км/с соответственно. Определить минимальное расстояние между частицами в процессе их движения, если заряды частиц q1 = 20 мкКл, q2 = 30 мкКл.
Решение:
m1 , q1 |
m2 , q2 |
Fк1 |
F |
|
к2 |
r1 
X
а
Минимальное расстояние, на котором окажутся частицы, будет тогда, когда относительная скорость движения частиц станет равной нулю, т. е. в момент наибольшего сближения частицы будут иметь одинаковые скорости (рис. а). Опишем процесс движения частиц. Силы кулоновского отталкивания меняются с изменением расстояния между частицами, но в каждый момент времени они равны по модулю и проти-
воположно направлены (Fк1 |
Fк2 ) (см. рис. а). Эти силы препятствуют |
движению частиц. Из второго закона Ньютона частица, у которой масса меньше, имеет большее по модулю ускорение. Так как m1 < m2, то скорость первой частицы в какой-то момент становится равной нулю (см. рис. б), и она начинает движение в противоположную сторону. В момент, когда скорости частиц станут одинаковыми, достигается наибольшее сближение частиц (рис. в).
65
Так как система двух частиц замкнутая, воспользуемся законами сохранения импульса в проекции на ось Ох:
rmin
X
б
|
–m1 1 + m2 2 = (m1 + m2) |
|
энергии |
m1 , q1 |
|
|
и |
|
|
||
m |
|
m )u2 |
kq q |
. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
rmin |
|
в |
|
Из (1) скорость частиц в момент наибольшего сближения
m |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
m1 m2 |
||
Подставив в (2) (3), получим
(1)
(2)
(3)
kq1q2 |
m |
|
|
. |
r |
m |
m ) |
||
min |
1 |
2 |
|
|
Отсюда минимальное расстояние rmin между частицами окажется рав-
ным rmin 2kq q (m m ) 20 · 10–3 м = 2,0 см. m1m2
Ответ: 2 см.
1.2.30. Два диэлектрических шара равномерно заряжены одинаковым зарядом 3 мкКл. Масса первого шара 6 г, второго 12 г, радиус каждого шара 1 см. Вначале шары удерживают так, что они касаются друг друга, а затем отпускают. Определить конечные скорости шаров.
Решение:
Система замкнутая.
Rm1 m2
R
X
Используем законы сохранения импульса (ЗСИ) и энергии (ЗСЭ):
ЗСИ, Ох: 0 = –m1 1 + m2 2, т. е. импульсы шаров равны P1 = P2 = P;
ЗСЭ: |
kq2 |
|
P2 |
|
P2 |
, где |
P2 |
и |
P2 |
– кинетические энергии шаров. |
2R |
|
2m |
|
2m |
2m |
2m |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
||
66
|
kq2 |
|
P2 (m m ) |
P |
|
kq2m m |
. |
|||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2R |
|
2m1m2 |
|
|
|
|
R m1 |
m2 |
|
||
Тогда скорость первого шара |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kq2m |
|
|
30 м/с; |
|
|
|
|
||
|
|
|
R m1 m2 |
m1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
скорость второго |
|
|
kq2m |
|
|
15 м/с. |
||||||
|
R m1 |
m2 |
m2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: 30 м/с; 15 м/с.
1.2.31. Два маленьких шарика массой m1 = m2 = m = 150 г, лежащие на гладкой горизонтальной плоскости, соединены недеформированной пружиной длиной 40 см и жесткостью 10 Н/м. После сообщения шарикам одинаковых зарядов длина пружины стала равна 80 см. Определить минимальную одинаковую скорость, которую необходимо сообщить шарикам навстречу друг другу, чтобы они сблизились до прежнего расстояния.
Решение:
m l0 m
X
1) После сообщения шарикам одинаковых зарядов, они расходятся до тех пор, пока | Fк | не станет равной | Fупр | :
q2 |
q2 |
|
|
(1) |
|
4 |
||
|
m, q
l
X
2) Силы, действующие на заряженные шарики консервативные, следовательно, можно воспользоваться законом сохранения энергии:
q2 |
m |
l )2 |
q2 |
|
|
|
|
. |
(2) |
4
С учетом (1) выражение (2) примет вид
67
|
kl2 (l |
|
|
|
|
|
|
. |
(3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
l0 |
|
3) Из (3) |
m |
kl2 |
(l l ) |
k(l l )2 |
|
||||||
|
|
|
l0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
kl2 (l |
|
|
|
|
|
|
|
4 м/с. |
||
|
l0m |
|
|
|
2m |
|
|
m |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: 4 м/с.
1.2.32. На горизонтальной поверхности на расстоянии l = 10 см друг от друга удерживаются два одинаковых маленьких бруска массой m = 10 г и зарядом q = 1 мкКл каждый. Коэффициент трения брусков о поверх-
ность = 0,01. Определить максимальную скорость, которую разовьют бруски, и расстояние, которое пройдет каждый брусок до остановки, если их освободить.
Решение:
Как только бруски освободили, они начинают удаляться друг от друга, причем вдоль горизонтальной оси Ох на каждый брусок действует
сила трения скольжения Fтр = N = mg и уменьшающаяся по величине в процессе движения сила кулоновского отталкивания, начальное значе-
|
|
q2 |
|
|
ние которой Fê1 |
|
|
. Пока сила кулоновского отталкивания Fк не |
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
станет равной силе |
трения Fтр, бруски будут двигаться ускоренно. |
|||
В момент, когда Fк станет равной Fтр, ускорение станет равным нулю, |
||||
бруски достигнут максимальной скорости. Изменение энергии |
W = W2 |
|||
– W1 системы двух брусков равно работе силы трения W = W2 |
– W1 = |
|||
Атр. |
|
|
|
|
|
|
m, q |
|
|
N |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Fтр |
|
Fк1 Fтр |
|
Fк2 |
X |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
l |
|
x |
mg |
|
|
68
Энергия в начальный момент времени |
W |
|
|
kq2 |
, в момент макси- |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мальной скорости брусков |
W 2 |
m |
|
|
|
2 |
|
, работа силы трения |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
l |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Атр = –2Fтрx = –2 mgx, где х – расстояние, которое проходит каждый брусок, увеличивая свою скорость до максимального значения max. Таким образом
2 |
m |
2 |
kq2 |
. |
(1) |
|
|
|
|||
2 |
l x |
l |
|
|
|
Расстояние х определим из условия, что силы трения и кулоновского взаимодействия в момент, когда скорости брусков максимальны, равны
Fк2 = Fтр или |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
kq2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
kq2 ; |
(2) |
|
|
(l |
2x)2 |
|||||||||||
|
|
|
|
mg |
|
||||||||
|
x |
|
|
kq2 |
|
l |
. |
|
(3) |
||||
|
|
4 mg |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из выражения (1) с учетом (2) и (3) получим |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
kq2 |
|
kq2 |
|
||||
|
max = |
|
|
|
|
|
|
|
|
2,9 м/с. |
|
||
|
|
|
lm |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
kq |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mg |
|
|
Расстояние S, которое пройдет каждое тело до остановки (конечная |
|||||||||||||
скорость |
к = 0), определим из условия, что изменение полной энергии |
||||||||||||
системы равно работе силы трения, действующей на тела системы: |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
kq2 |
|
kq2 |
. |
|
||||||||
|
l |
2S |
|
|
l |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
kq2 2S |
|
|
|
kq2 |
|
||||||
l l
.
Расстояние, пройденное брусками до остановки
69
S |
kq2 |
|
l |
45 м. |
mgl |
2 |
|||
Ответ: 2,9 м/с; 45 м.
1.2.33. Два небольших тела массой m1 = m2 = m = 5 г каждое, заряженные одинаковым зарядом q1 = q2 = q = 10 мкКл, находятся на горизонтальной плоскости на расстоянии l = 10 м друг от друга. Коэффи-
циент трения тел о плоскость равен = 0,5. Определить минимальную начальную скорость, которую следует сообщить одному из тел, чтобы сдвинуть с места второе тело.
Решение:
Fтр = |
mg; k |
1 |
9 |
Í |
ì 2 |
|
||||||||
|
|
|
9 10 |
|
. |
|||||||||
4 |
|
Êë2 |
||||||||||||
1) |
|
kq2 |
|
|
kq2 |
|
m |
|
|
|
|
|||
|
l x |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
Fк |
|
Fтр |
или |
|
|
|
|
||||||
|
|
kq2 |
|
|
|
|
|
|
|
kq2 |
; x l |
|||
|
(l x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
mg |
|
|
|||
3) |
|
m |
|
|
|
|
2 |
|
kq2 |
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
kq |
l |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mg |
|
|
|
|
||
4) |
|
min |
= |
|
2 |
0,16 |
|
8 м/с. |
|
|
|
|||
|
|
5 10 3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m, q
X
1 |
2 |
x |
2 |
|
|
l |
|
kq2 |
; x = 4 м; l – x = 6 м. |
|
mg |
||
|
0,16 (Дж).
Ответ: 8 м/с.
1.2.34. На высоте Н = 3 м над землей закреплен заряд q0 = – 4 мкКл, а под ним на высоте h = 2,2 м находится частица массой m1 = 0,9 г с зарядом q = 1 мкКл. Определить скорость, которую необходимо сообщить частице вертикально вниз, чтобы она достигла поверхности земли.
Решение:
Рассчитав силу тяжести mg = 9 · 10–3 Н и силу Кулона в положении I
70