Физика. В 4 ч. Ч. 3. Электродинамика

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

A = W2 — W1 =

A = W2 — W1 =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

6.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 406 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

которая не только изменила направление, но и величину. Аналогично предыдущему случаю воспользуемся вторым законом Ньютона

mg + Fн2 + Fк2 = maц2 .

Ось Оу направим вертикально вверх. Проекции сил на эту ось:

Оу: – mg + F

н2

+ mg – F

к2

ê 2

í 2

Вновь из закона сохранения энергии mgl + q 0 =

+ q 2 определим

m 2 = 2mgl + 2q(

0 –

2) = 2mgl – 2qEl = 2l(mg – qE)

= 2(mg

– qE). Сила натяжения нити при прохождении ею

вертикального положения

Fн2 = 2(mg – qE) + (mg – qE) = 3(mg – qE) = 60 · 10–3 Н = 60 мН. Ответ: 30 мН; 60 мН.

1.2.19. В однородном электрическом поле напряженностью Е0 перпендикулярно его направлению расположен заряженный плоский конденсатор, напряженность поля между обкладками которого равна Е (рис. а). Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы расположить пластины конденсатора параллельно внешнему полю (рис. б)? Площадь каждой обкладки конденсатора равна S, расстояние между ними d.

Решение:

Электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора. Сам конденсатор не вносит никаких изменений в окружающее пространство. Поэтому, как бы конденсатор ни располагался во внешнем электриче-

ском поле напряженностью E0 , энергия окружающего пространства не меняется, а энергия внутри конденсатора будет различной.

Работа в данном случае определится как разность энергий конденсатора после и до его разворота.

В случае а: объемная плотность энергии конденсатора

w1	2	2

энергия конденсатора W1			w1V				( E1	E0 E или
энергия конденсатора W1			w1V	2			( E1	E0 E или
				2
E1 E0 E – напряженность результирующего поля в конденсаторе).
В случае б: E2	E2	E2 ( E	E	E или	E2	E2	E2	– напряжен-
2	0	2	0		2	0

ность результирующего поля в конденсаторе), тогда

1.2.20. Три точечных одноименных заряда помещены в вершинах куба, длина ребра которого равна а. Определить напряженность электрического поля в точке А.

Решение:
Напряженность электростатического по-
ля, создаваемого системой точечных заря-
дов q, 2q и 3q в одной из вершин куба –			3q
точке А, определится согласно принципу
суперпозиции векторной суммой напря-
женностей полей, создаваемых каждым
зарядом в отдельности EA	E1	E2 E3 ,
где E1 – напряженность поля,		создавае-
мого в точке А зарядом q, расположенным			M
в вершине В куба, вектор	E1 направлен
вдоль ребра АВ; E2 – напряженность по-
ля, создаваемого в точке А зарядом 2q,			D
расположенным в вершине	С куба, вектор
			3q

0SdE0E.

Ответ: 0SdE0E.

E1 E2

B q

C2q

E2 направлен вдоль диагонали СА грани куба; E3 – напряженность поля, создаваемого в точке А зарядом 3q, расположенным в вершине D куба, вектор E3 направлен вдоль диагонали DA куба. Как видно из ри-

сунка, все три вектора исходят из точки А и ориентированы в пространстве в различных плоскостях. Поэтому для нахождения результирующе-

го вектора E напряженности электрического поля определим его проекции на оси выбранной декартовой системы координат с началом в точке А и направлениями осей вдоль ребер куба, как показано на рисун-

ке. Проекции вектора E
на ось X: Еx = Е1x + Е2x + Е3x;						(1)
на ось Y: Еy = Е1y + Е2y + Е3y;						(2)
на ось Z: Еz = Е1z + Е2z + Е3z,						(3)
позволят определить модуль вектора E
						(4)
E					.	(4)
			z	E2
			z
		E1			y
			45	45	E3
			45	45
	K				x
			A
	M	L
	M		a
			a

			45
				B
	N		45a	q
	N
D
D
3q	a	C	2q
Рассмотрим все составляющие вектора E .				Как видно из рисунка
напряженность	E поля, создаваемого зарядом q, имеет проекции Е1x =

0, Е1y = 0 и Е1z =	kq	. Вектор напряженности E2 поля, создаваемого за-
0, Е1y = 0 и Е1z =	2	. Вектор напряженности E2 поля, создаваемого за-
	a
рядом 2q лежит в плоскости yAz и имеет составляющие Е2x = 0,
Е2y = E cos45		k 2q	k		q	,
Е2y = E cos45			k			,
2		( 2a)		2a2
		( 2a)		2a2
аналогично Е2z =		Е2 sin 45	k 2q			q	,
аналогично Е2z =		Е2 sin 45	( 2a)			2a	,
			( 2a)			2a

где 2a CA – расстояние от заряда 2q до точки A, равное диагонали грани куба ALCB. Напряженность E3 поля, создаваемое зарядом 3q, распо-

ложенным в вершине D, имеет все три составляющие Е3х, Е3у, Е3z, причем точка А находится от заряда 3q (точки D) на расстоянии, равном диагонали куба

DA =

| AB |2

a2 2a2

, которая составляет с плоскостью BCDN угол ,

cos

sin

. Направление вектора

состав-

ляет с плоскостью хАу угол

, тогда проекции E3

на оси равны:

Е3х = Е3 cos

· cos 45 =

k3q

cos

· cos 45

;

( 3a)2

3a2

Е3y =

k3q

cos

· sin 45

= k

;

( 3a)2

3a2

Е3z =

k3q

sin

( 3a)2

3a2

Воспользуемся выражениями (1)–(3), получим

Ех = Е3х = k

;

(1 )

3a2

Еy = Е2y + Е3y = k

(2 )

3a2

Еz = Е1z + Е2z + Е3z =

(3 )

3a a

С учетом выражений (1 )–(3 ) и (4) получаем модуль напряженности
электрического поля в точке А:
E
	kq	1				.
	a					.
	a
		Ответ:		kq	1					.
				a2	3
1.2.21. Две параллельные одинаковые пластины на-								A	q	3q
ходятся на расстоянии d друг от друга и имеют площадь									B
S каждая. На одной пластине равномерно распределен								N	B
S каждая. На одной пластине равномерно распределен								N
заряд +q, на другой – +3q. Определить силу взаимодей-
ствия пластин; напряженность электрического поля, создаваемого сис-
темой пластин, работу по перемещению заряда q0 в электрическом поле
пластин из точки А в точку В, если АВ = l и угол между АВ и нормалью к
пластинам (см. рис.).
Решение:
а) Каждая равномерно заряженная пластина со-							q		3q
здает	по	обе стороны однородное поле, модуль					E1	E1
напряженности первого поля			E	q	, второго –		E1	E1
напряженности первого поля			E	q	, второго –				E2	E2
			1	2					E2	E2
				2			I		II	III
	3q	( = 8,85 · 10–12 ф/м – электрическая					I		II	III
E	3q	( = 8,85 · 10–12 ф/м – электрическая
2	2
	2						1			2
постоянная).							1			2
постоянная).
Таким образом, распределенный на первой пластине заряд q оказы-
вается в электрическом поле другого E2						и наоборот заряд 3q находится
в электрическом поле E1 . Если разбить заряд каждой пластины на бес-
конечное множество точечных зарядов						qi, то на каждый такой заряд
будет действовать сила Fi =			qiE2.
На заряд всей пластины будет действовать сила

		3q		3q2
F			q		.
F			q		.
ê1		2
i	i	2

Аналогично поступим со второй пластиной, разбив ее заряд на бес-

конечное множество точечных зарядов		qj. Тогда
F		3q2
F		.
ê2
j	j

По третьему закону Ньютона Fк1 = Fк2. Между пластинами действует

сила отталкивания	F	3q2	.

	ê	2

б) Согласно принципу суперпозиции электрических полей напряженность результирующего поля в любой точке пространства

E E1 E2 .

Для точек поля слева от пластины 1:

E	q	3q	2q ;
I
между пластинами EII					q		3q



справа от пластины 2:						2q	.
		E	E	E		2q
		E	E	E
		III	1	2

в) Работа электростатического поля по перемещению заряда q0 из точки А в точку В зависит только от начального и конечного положений

заряда, т. е. Аэл = q0( A – N). Точки А и N поля являются точками равного потенциала A = B,

тогда

qE A

l B N

Аэл = q0( N – B).

(1)

Потенциал электростатического поля убывает в направлении сило-

вых линий поля: N <	B. Разность потенциалов
B – N = EI · \|NB\| = EIl cos .			(2)
С учетом (2) выражение (1) примет вид
Аэл = –q0EIl cos	2q0q	l cos .
Аэл = –q0EIl cos		l cos .
56

Если заряды q и q0 одного знака, то Аэл < 0, следовательно при перемещении заряда из точки А в точку В необходимо совершать работу

против сил электростатического поля А = –Aэл = 2q0q .

1.2.22. N = 1 000 маленьких проводящих сферических капелек с потенциалом 1 = 3,0 В каждая при слиянии образовали большую сферическую каплю. Определить ее потенциал.

Решение:

Заряды в проводниках распределяются по поверхности. В данном случае распределение заряда будет равномерным по поверхности и маленьких, и больших капель.

Потенциал одной маленькой капли	q	,	(1)

где q1 – заряд, сосредоточенный на поверхности капли радиусом r. Потенциал большой капли

q	,	(2)

где q = Nq1 –

заряд большой капли, R – ее радиус.

Радиус определим из условия, что объем сумме объемов V1 маленьких капель NV1:

4	4	.
3		.
3

Запишем (2) с учетом (3) и (4):

Nq	3	N 2	q .
4

Сравнив (1) и (5), получим

300 В.

(3)

V большой капли равен

(4)

(5)

Ответ: 300 В.

1.2.23. Металлический шар радиусом		r	= 10 см	R	q
окружен	тонкостенной металлической	сферической
					r
оболочкой радиусом R = 20 см, имеющей общий центр с

шаром.	Шар через отверстие в оболочке		заземлен.

ш, если

Определить потенциал 0 оболочки, если ей сообщен и по ней равномерно распределен заряд q0 = 10 н Кл.

Решение:

Поскольку шар заземлен, его потенциал равен нулю или, согласно принципу суперпозиции полей, алгебраической сумме потенциалов шара и сферы:

q	q	.
		.
Отсюда следует, что на шаре сосредоточен заряд			q	q	r	.
Отсюда следует, что на шаре сосредоточен заряд			q	q		.
			ш	0	R

Используя принцип суперпозиции, определим потенциал сферической оболочки

	q	q	r
1				1 q (R r)
	0	0			225 В.

Ответ: 225 В.

1.2.24. Металлический шар радиусом r = 10 см, имеющий заряд qш = 1 нКл, окружен тонкостенной сферической проводящей оболочкой

радиуса R = 20 см. Определить, каким станет потенциал шара оболочку заземлить.

	Решение:
	Поскольку оболочка заземлена, ее потенциал равен
нулю или складывается из потенциалов полей, создавае-						R
мых заряженным шаром и зарядом заземленной сферы:						O r
		q		q	,

		R		R

где	k	1	.
		4

Отсюда видно, что заряд на оболочке q0 = – qш.

Потенциал шара ш согласно принципу суперпозиции равен алгебраической сумме потенциалов на самом шаре и на поверхности сферы:

1 ) 45 В.

Ответ: 45 В.

1.2.25. Металлический шар радиусом r = 10 см, заряженный до потенциала ш = 100 В, окружен незаряженной сферической оболочкой

радиуса R = 20 см. Определить потенциал шара

после того, как он

будет соединен с оболочкой тонкой металлической проволокой.

Решение:
После соединения шара с оболочкой весь						R		q
заряд распределится по поверхности оболоч-						O r		O r
ки и потенциалы шара					и оболочки об ста-	O r	q	O r
ки и потенциалы шара					и оболочки об ста-		q
нут одинаковыми:
=	об =	q		.				(1)

		4
До соединения			шара		с оболочкой потенциал		шара был равен

q	. Отсюда заряд q = 4 0r ш.

Тогда потенциал шара и оболочки окажется равным

4	r	50 В.
	R	50 В.

1.2.26. Металлический шарик радиусом r, имеющий заряд q, помещен в центр незаряженного сферического слоя, внутренний и внешний радиусы которого R1 и R2. Определить напряженность и потенциал электрического поля, создаваемого системой, если а) слой металлический; б) металлический слой заземлен; в) слой из диэлектрика.

Ответ: 50 В.

R1 q r

Решение:

а) В металлическом сферическом слое под действием электрического поля, создаваемого заряженным шариком, произойдет перераспределение зарядов, и на поверхностях слоя появятся индуцированные заряды. Перераспределение зарядов будет происходить до тех пор, пока результирующее поле внутри металлического слоя не станет равным нулю. На рисунке показано: на внутренней сфере индуцируется заряд –q1, на внешней – заряд противоположного знака +q1. В результате следует рассматривать три концентрические сферы радиусами r, R1 и R2 с зарядами

q, –q1 и +q1.

Сразу же отметим, что напряженность электрического поля между второй и третьей сферами равна нулю, поэтому на расстоянии R1 x R2 от общего центра согласно принципу суперпозиции полей и формулы для

напряженности поля, создаваемого сферической заряженной поверхностью на расстоянии х от ее центра

k	\| q \|	k	\|	q1 \|	0 , где k		1	.
k	x2	k		x2	0 , где k	4		.

Отсюда |–q1| = |q|. Мы учли, что вторая сфера радиусом R1 создает снаружи такое поле, как если бы заряд – q1 находился в центре сферы радиуса х, а поле третьей сферы радиуса R2 в ее внутренней области отсутствует.

Заряд на поверхности сферического слоя найден, определим напряженность и потенциал электрического поля в различных точках пространства:

1) 0 x r (внутри шарика).

Заряды сосредоточены на поверхности сфер, внутри шарика заряда нет, поэтому напряженность электрического поля E = 0.

Потенциал внутри шарика равен алгебраической сумме потенциалов поверхностей всех заряженных концентрических сфер

		q		kq	kq		.
		r		R1	R2

2) r		x		R1 (между шариком и металлическим слоем).
E	k	q		,	q	q	q .
		x	2
					x	R	R

						1	2
3) R1		x		R2 (внутри сферического слоя).
E = 0,				q	q	q	q .
				x	x	R2	R2
4) R2		x			(за пределами системы).
E	k	q		,	q .
			2
		x			x

График зависимости E = f(x).

k q

0	r	R1	X
			R2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 406 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.11.20251.14 Mб1Физика и химия торфа.pdf
#
30.11.20251.87 Mб0Физика нано- и микросистем.pdf
#
30.11.20251.97 Mб0Физика электромагнетизма. Раздел 1. Введение в предмет и содержание электродинамики.pdf
#
30.11.20251.73 Mб0Физика. В 3 ч. Ч. 1. Механика, статистическая физика и термодинамика. Контрольные задания и учебные материалы.pdf
#
30.11.20252.85 Mб0Физика. В 3 ч. Ч. 2 Электричество и магнетизм.pdf
#
30.11.20256.83 Mб0Физика. В 4 ч. Ч. 3. Электродинамика.pdf
#
30.11.20259.28 Mб0Физика. В 4 ч. Ч. 4. Колебания и волны.pdf
#
30.11.20251.57 Mб0Физика. Оптика, атомная и ядерная физика контрольные задания и учебные материалы.pdf
#
30.11.2025579.67 Кб0Физика. Фазовые переходы в сплавах и твердых растворах.pdf
#
30.11.2025877.82 Кб0Физика.pdf
#
30.11.20251.08 Mб1Физико-механические свойства строительных материалов.pdf