Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Физика. В 4 ч. Ч. 3. Электродинамика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

6.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 405 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

q	q	\| q \|
1	180 · 103 В = 180 кВ.

Ответ: 450 кВ/м, 180 кВ.

1.2.11. Три тонкие металлические пластины, имею- q 3q 2q щие заряды +q, –3q и +2q, расположены параллельно

друг другу так, как показано на рисунке. Площадь каждой пластины – S, электрическое поле, создаваемое каждой пластиной – однородное. Определить силу, действующую на среднюю пластину.

Решение:

На пластину с зарядом –3q будет действовать сила F | 3q | E , где

E – напряженность электрического поля, в котором находится средняя пластина, которое создается двумя другими, окружающими ее. Согласно

принципу суперпозиции E E1 E3 , где E1 – напряженность электри-

ческого поля, создаваемого левой пластиной, E3 Направления полей E1 и E3 указаны на рисунке.

Величины	E	\| q \|	,	E	\| 2q \|	.

	1	2		3
					2

Величина результирующего поля E = |E3 – E1| =

– правой пластиной.

			q	3q	2q


				E1
\|	q \|	и			E3
			1	2	3
2			1	2	3
2

направлена в сторону большей напряженности поля. Тогда сила, дей-

ствующая на среднюю пластину, будет равна F	3q2	и направлена в
	2

сторону, противоположную результирующему полю E , т. е. вправо. Примечание. Эта сила не изменится по величине, если средняя пла-

стина будет положительной или если все пластины будут отрицатель-

ными, изменяются только направления векторов E1 и

1.2.12. В вершинах равностороннего треугольника расположены положительные заряды: в вершине А заряд q1, в вершинах В и С по заряду q2. Определить отношение k = q2/q1, если напряжен-

E3 .

A q1

B C

q2	D	q2	41

ность электрического поля, создаваемого всеми зарядами в точке О, расположенной на середине высоты AD, равна нулю.

Решение:

Согласно принципу суперпозиции напряженность электрического

поля, создаваемого системой зарядов в какой-либо

точке пространства, равна векторной сумме напря-

женностей послей, создаваемых каждым зарядом в

E B

отдельности. Поэтому

точке

О напряженность

результирующего

поля

E EA

(см.

E A

рис.).

Напряженность поля, создаваемого зарядом q1, расположенным в

точке А,

, где r1 – расстояние от точки А до точки О, равное

a cos30

(а – сторона равностороннего треугольника).

Напряженности полей, создаваемых зарядами q2, расположенными в

точках В и С, EB

где r2

3a2

Из рисунка видно, что результирующее поле равно нулю при условии

a 3

или

Отсюда искомое отношение равно

1,78 .

2 3

Ответ: 1,78.

1.2.13. По тонкому проволочному кольцу радиусом R равномерно распределен положительный заряд q. Определить зависимость напряженности и потенциала электрического поля на оси кольца на расстоянии х от центра кольца.

Решение:

Разобъем кольцо на бесконечное множество точечных зарядов вели-

чиной q каждый. Согласно принципу суперпозиции напряженность

электрического поля в точке А определится как EA


Разложим вектор	на две составляющие:		Y
вертикальную Еiy и горизонтальную		Еix. Сум-	0
ма горизонтальных составляющих		,

т. к. на каждый i-й участок найдется симметричный ему участок кольца. Тогда напряженность поля

X A A

E			.					(1)
	i	i
Напряженность поля точечного заряда						.		(2)
Напряженность поля точечного заряда						.		(2)
Выразим r2		R2	x2 ,					(3)
cos	x	x		.				(4)
	r

		R	x
Результирующая напряженность
E							qx		.

	i				4
	i				4

Потенциал электрического поля в точке А определится как алгебраическая сумма потенциалов, создаваемых всеми точечными зарядами qi в точке А на расстоянии r:

	q		.


i	i
i	i
	Ответ:			qx	;		q	.

		4				4
		4				4

1.2.14. Шарик массой m = 10 г и зарядом q = 0,8 мкКл бросают горизонтально в вакуумной камере с высоты h = 64 см над основанием камеры. В камере создается вертикальное однородное электрическое поле

напряженностью E = 100 кВ/м. Определить скорость

броска шарика,

если при перемене направления поля на противоположное, дальность

полета шарика по горизонтали увеличивается на	x = 53 см.
Решение:
Тело брошено горизонтально так, что	и	. Это значит,

что горизонтальная составляющая скорости в любой мо-

мент времени. Уравнения движения заряженного тела по оси Оx в обоих случаях имеют вид x1 = x0 + t1, x2 = x0 + t2.


Отсюда			x = x2 – x1 = 0(t2 – t1).
Очевидно, что t2 >					t1. Из	m, q		m, q
уравнений перемещения тела								m, q
уравнений перемещения тела
по вертикали для двух случа-							g	E
ев h	a t2		и h	a t2	опре-		g	g
	1 1			2 2				X
	2			2		x0	x1	X
	2			2		x0	x1	x0
делим время падения тела. Ког-						Y		Y
да поле E сонаправлено с ускорением свободного падения

t		2h	,
1		a1
		a1

когда поле E противоположно направлению ускорения g , то

(1)

(2)

t2		2h	,							(3)
		a2
(t2 > t1, a2 < a1).									и а2
Для нахождения ускорений тела а1									и а2	воспользуемся вторым зако-
ном Ньютона в проекции на ось Оy (на тело действуют в каждом случае
силы тяжести mg и электрическая qE ):
ma1	= mg + qE			a1 = g +		qE		;		(4)
ma1	= mg + qE			a1 = g +				;		(4)
						m
ma2	= mg – qE			a2 = g –	qE		.			(5)
ma2	= mg – qE			a2 = g –			.			(5)
						m

Воспользуемся выражениями (2)–(5) и приведем (1) к виду

Отсюда искомая начальная скорость заряженного тела равна

= 1м/с.

Ответ: 1 м/с.

1.2.15. Вдоль силовой линии однородного электрического поля с напряженностью Е = 70 кВ/м движутся два заряженных шарика, связанные непроводящей нитью. Массы шариков m1 = 500 г, m2 = 200 г, заряды шариков q1 = 2 мкКл, q2 = 5 мкКл соответственно. Определить силу натяжения нити, если ее длина l = 30 см.

Решение:

а) Выберем направление электрического поля слева направо, рассмотрим силы, действующие на каждый заряд, – это силы натяжения Fн ,

кулоновского отталкивания Fк и со стороны электрического поля qE.

				E
F к2	F н2		F н1		q1 E
m , q		q E	m1, q1 F к1
m , q		q E	m1, q1 F к1			X
2	2	2

Следует отметить: по третьему закону Ньютона равны по модулю

силы натяжения Fн1			Fн2 Fн и силы кулоновского отталкивания между
одноименно заряженными шариками F				F	F	k \| q1 \|\| q2 \| ,
			к1	к2	к	l2
где k	1	9 · 109	Н · м2/Кл2. Расчет показывает, что сила Кулона Fк = 1 Н.
где k	4	9 · 109	Н · м2/Кл2. Расчет показывает, что сила Кулона Fк = 1 Н.
	4

Запишем второй закон Ньютона для каждого шарика отдельно для

проекций сил на ось Ох:
Fк – Fн + q1E = m1a;	(1)
–Fк + Fн + q2E = m2a.	(2)

Сложив (1) и (2), определим ускорение a, с которым движутся шарики:

(q1 + q2)E = (m1 + m2)a a =	q1	q2	E = 0,7 м/с2.
	m1
		m2

Вычитая из (1) (2):

2Fк – 2Fн + (q1 – q2)E = (m1 – m2)a,

выразим силу натяжения Fн =		2Fк	(q1	q2 )E (m1		m2)a		= 0,79 Н.
выразим силу натяжения Fн =				2				= 0,79 Н.
б) Поменяем направление поля.				2
б) Поменяем направление поля.
				E
F к2						F к1
F к2	F н2		F н1			F к1
q2 E m , q			q1 E	m , q
q2 E m , q			q1 E	m , q			X
2	2			1	1
2	2			1	1

Воспользовавшись теми же рассуждениями, запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Ох:

Fí	F ê q1E		m1a	(1)
Fí	F ê	q2 E	m2a	(2)
	q	q
	m1	m2

Вычтем (2) из (1): 2Fн – 2Fк + (q1 – q2)E = (m1 – m2)a. Тогда искомая сила

натяжения в данном случае Fн =	2Fк	(q1	q2 )E (m1	m2)a	= 1 Н.
натяжения в данном случае Fн =			2		= 1 Н.
			2

Ответ: 0,79 Н, 1 Н.

1.2.16. Шар массой m = 1 кг и зарядом q = 2 · 10–4 Кл подвешен на изолирующей нити в однородном электрическом поле напряженностью

E = 3 · 104 В/м, причем вектор напряженности E перпендикулярен силе тяжести и направлен влево. Шарик отвели вправо так, что нить откло-

нилась на угол = 30				от вертикали. Определить силу натяжения нити
при прохождении ею вертикального положения (g = 10 м/с2).
	Решение:				При прохождении нитью вертикального
					При прохождении нитью вертикального
g	F		l		положения на тело действуют силы: тяжести
		н	l	Y	mg, натяжения нити Fн и электрическая си-
		н		Y
			aц
			aц		ла qE , которые	согласно второму закону
					ла qE , которые	согласно второму закону
E	qE		q		Ньютона сообщают телу центростремитель-
E	qE		mg
			mg		ное ускорение aö			,


							l

где – скорость шара в момент прохождения нитью вертикального по-

ложения, l – длина нити, равная в данном случае радиусу кривизны траектории движения шара:

mg + Fн + qE = maц			в проекции на вертикальную ось Оу:
Fн – mg =	m	Fн = m		(1)
	l

Так как работа сил электростатического поля и поля гравитации (сил тяжести) не зависит от формы траектории, а определяется начальным и конечным положениями тела, то скорость шара при прохождении поло-

жения равновесия определим из закона

сохранения энергии.

Примем положение вертикального рас-

положения нити II за нулевой уровень по-

II q

тенциальной энергии гравитационного взаи-

модействия, тогда в положении I на высоте

h = l (1 – cos ) шар обладал энергией WI =

= mgh + q I, где

– потенциал электриче-

ского поля в положении I, q I

– потенци-

альная энергия электростатического взаи-

модействия.

В положении II:

WII

где

– кинетическая энергия шара, q II – электростатическая энергия.

С учетом, что WI = WII или mgh + q I = =

+ q II, получим:

= mgh + q(

I –

II),

(2)

где выражение q(

–

II) = Аэл

– работа сил однородного электростати-

ческого поля по перемещению шара зарядом q. Разность потенциалов I – II = U – напряжение, связанное с напряженностью E однородного

поля соотношением U = Ed, где d = l sin – расстояние между точками

поля с потенциалами			I и II.
Выражение (2) примет вид
	m	= mgl (1 – cos	) + qEl sin	m 2 = 2l (mg (1 – cos ) + qE sin .

Подставив (3) в (1), получим

Fн = mg + 2mg (1 – cos ) + 2qE sin = mg (3 – 2 cos ) + 2qE sin .

Решая полученное уравнение, находим:

Fн = 1 · 10		+ 2 · 2 · 10–4 · 3 · 104 · 0,5 = 18,7 Н.
Fн = 1 · 10		+ 2 · 2 · 10–4 · 3 · 104 · 0,5 = 18,7 Н.
		Ответ: 18,7 Н.

1.2.17. Шарик массой m = 1 кг и зарядом q = 0,2 мКл подвешен на изолирующей нити в однородном электрическом поле напряженностью

E = 30 кВ/м, причем вектор E g . Шарик отводят вправо так, что нить

отклоняется от вертикали на угол = 30 . Определить силу натяжения нити при прохождении ею вертикального положения, если вектор

напряженности поля E направлен вправо.

Решение:						На шарик при прохождении
						На шарик при прохождении
						нитью вертикального положения
				E		действуют силы: тяжести mg ,
Y		Fн	l	I		направленная вертикально вниз,
Y		Fн	d	I		натяжения (упругости) нити Fí ,
	l
	l
		aц		h		направленная вертикально вверх,
					нулевой
		II	qE		уровень	электрическая qE, направленная
		mg				вдоль поля вправо. Согласно вто-
						рому закону Ньютона результи-

рующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение:


mg			н	ц . Рассмотрев проекции этих сил на вертикальную ось
Оу: –mg + Fн = maц, получаем
	Fн = m(aц + g) = m				,	(1)
	Fн = m(aц + g) = m				,	(1)
где				= aц – центростремительное ускорение.
где		l		= aц – центростремительное ускорение.
	Необходимо определить скорость шарика,					который находится в

потенциальных полях (гравитационном и электростатическом). В таких полях выполняется закон сохранения энергии W1 = W2. В начальном состоянии энергия

W1 = mgh + q 1,

(2)

где h = l (1 – cos ) – высота, на которой находится шарик относительно нулевого уровня, mgh – потенциальная энергия гравитационного взаимо-

действия шарика; q

1 – потенциальная электрическая энергия.

В положении II шарик обладает энергией

W2 =

+ q 2,

(3)

где

– кинетическая энергия шарика при вертикальном положении

нити, q

2 – потенциальная электрическая энергия. В направлении противо-

положном направлению поля E потенциал поля увеличивается (

2 >

1).

Приравняем правые части (2) и (3): mgl (1 – cos ) + q

1 =

+ q

m 2 = 2mgl (1 – cos ) + 2q(

1 – 2).

(4)

Разность потенциалов для однородного электростатического поля

2 –

1 = Ed = Elsin .

(5)

Выражение (4) с учетом (5) примет вид

= 2mg(1 – cos ) – 2qE sin .

(6)

Тогда сила натяжения из (1) с учетом (6) равна

Fн

= 2mg(1 – cos

) – 2qE sin

+ mg = mg(3 – 2 cos

) – 2qE sin .

Fн

= 6,7 Н.

Ответ: 6,7 Н.

1.2.18. Тело массой m = 3 г и зарядом q = 10 мкКл подвешено на невесомой непроводящей нити в однородном электростатическом поле напряженностью E = 1 кВ/м, направленном вертикально вверх. Тело с

нитью отклонили от вертикали на угол = 90и отпустили. Определить силу натяжения нити в моменты, когда нить составляет с вертикалью угол = 60и когда нить направлена строго вертикально.

Решение:

Рассмотрим положение тела, когда нить с вертикалью составляет

угол = 60 .
Силы, действующие на тело,					0	0	X
указаны на рисунке:	mg –	сила			0
указаны на рисунке:	mg –	сила
тяжести, Fк1 qE –	сила,	дей-				Fí 1	h
тяжести, Fк1 qE –	сила,	дей-		Fк1		l	h
				Fк1		l
			E	I		aц	нулевой
				I			уровень
							49

ствующая на заряженное тело в вертикальном поле напряженностью E , Fн1 – искомая сила натяжения нити.

Второй закон Ньютона (или основное уравнение динамики) для данного тела имеет вид

	mg + Fн1 + Fк = maц1 ,			(1)
где	aö1		– центростремительное ускорение,	направленное к центру

		l

кривизны, радиус кривизны l – длина нити.

Выберем ось Ох вдоль нити и запишем проекции сил на выделенную ось:

Ох: Fк1 cos	+ Fн1		– mg cos =	m	сила натяжения нити в этом
Ох: Fк1 cos	+ Fн1		– mg cos =	l	сила натяжения нити в этом
				l
положении Fн1 =		m	+ (mg – qE) cos .		(3)
положении Fн1 =		l	+ (mg – qE) cos .		(3)
		l

Задача сводится к нахождению выражения m 2. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии в состояниях 0 и I (этот закон применим, так как все действующие на заряженное тело силы – консервантивные, поля потенциальные).

mgh	m	m	2 = 2mgh + 2q( 0 – I),	(4)

где q 0 и q	1 – потенциальные электрические энергии заряда, h = l cos			–

тело находится на данной высоте относительно нулевого уровня (см. рис.), mgh – потенциальная гравитационная энергия тела.

q( 0 –	I) = –qEh = –qEl cos ,
где 0 <	I – потенциалы поля в начальном и конечном положениях.
Тогда	m 2 = 2mglcos	– 2qElcos	= 2(mg – qE)lcos	m	=

				l
				l
= 2(mg – qE) cos .
Подставим это выражение в (3), получим
Fн1 = 2(mg – qE) cos		+ (mg – qE) cos	=

= 3(mg – qE) cos = 30 · 10–3 Н = 30 мН.

Рассмотрим случай, когда нить примет вертикальное положение (II). Изобразим на рисунке силы, действующие на тело: сила тяжести

mg, сила Кулона Fê 2 qE и сила натяжения Fí 2 ,		l
		Y	l F
50	E		Fк2 II н2
50

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 405 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.11.20251.14 Mб0Физика и химия торфа.pdf
#
30.11.20251.87 Mб0Физика нано- и микросистем.pdf
#
30.11.20251.97 Mб0Физика электромагнетизма. Раздел 1. Введение в предмет и содержание электродинамики.pdf
#
30.11.20251.73 Mб0Физика. В 3 ч. Ч. 1. Механика, статистическая физика и термодинамика. Контрольные задания и учебные материалы.pdf
#
30.11.20252.85 Mб0Физика. В 3 ч. Ч. 2 Электричество и магнетизм.pdf
#
30.11.20256.83 Mб0Физика. В 4 ч. Ч. 3. Электродинамика.pdf
#
30.11.20259.28 Mб0Физика. В 4 ч. Ч. 4. Колебания и волны.pdf
#
30.11.20251.57 Mб0Физика. Оптика, атомная и ядерная физика контрольные задания и учебные материалы.pdf
#
30.11.2025579.67 Кб0Физика. Фазовые переходы в сплавах и твердых растворах.pdf
#
30.11.2025877.82 Кб0Физика.pdf
#
30.11.20251.08 Mб1Физико-механические свойства строительных материалов.pdf