Физика. В 4 ч. Ч. 3. Электродинамика
.pdf
ской энергии W0 |
|
m |
. Возникшее электрическое поле напряженностью |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
E ( E |
B ) сообщает частице ускорение |
|
|
|
|
|
||||||||||||
a |
|
qE |
( a |
E , но a |
). |
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда скорость частицы через промежуток времени |
t станет равной |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
. Так как кинетическая энергия станет |
||||||||
равной, с одной стороны, |
W |
|
m |
, с |
другой по |
условию задачи |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||
W 2W |
|
|
2 |
m |
. Из этих двух формул видно, что |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
t |
|
. |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||
Подставим (1) и (2) в (3), получим время действия электрического поля |
||||||||||||||||||
t |
|
qBRm |
BR |
10–5 с = 10 мкс. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
mqE |
E |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: 10 мкс.
4.2.22. Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор па-
раллельно его пластинам со скоростью 0 = 20 Мм/с. Длина пластин
l = 0,1 м, напряженность электрического поля конденсатора E = 200 В/см. Из конденсатора электрон попадет в магнитное поле, линии магнитной индукции которого перпендикулярны вектору напряженности электрического поля конденсатора. Определить радиус и шаг винтовой линии, описываемой электроном в магнитном поле с индукцией B = 20 мТл.
Решение:
331
Вектор скорости , с которой электрон вылетает из конденсатора,
будет направлен под некоторым углом к линиям магнитной индукции,
поэтому дальнейшее движение электрона будет проходить по винтовой линии.
Шаг h винтовой линии определится h |
, где T |
2πm |
– период |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qB |
|
||
обращения электрона по окружности, |
– составляющая ско- |
|||||||||||||||
рости, параллельная индукции магнитного поля B . |
|
|
|
|
||||||||||||
h |
2πm |
|
36 · 10–3 м = 36 мм. |
|
|
|
|
|
||||||||
qB |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Радиус R |
m |
, где |
– перпендикулярная вектору B |
составля- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
qB |
|||||||||||||||
ющая скорости электрона |
, равная |
, где a |
|
qE |
|
– ускоре- |
||||||||||
|
m |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ние электрона, t |
|
|
l |
|
|
– время его движения в конденсаторе. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
R |
mqEl |
|
|
El |
|
|
0,005 (м) = 5 мм. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
qBm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 36 мм; 5 мм.
Магнитный поток. Явление электромагнитной индукции. ЭДС индукции
4.2.23. Проволочный контур, имеющий форму равностороннего треугольника со стороной a = 20 см, помещен в однородное магнитное поле с индукцией B = 1,0 Тл так, что нормаль к плоскости контура составляет угол
= 60
с направлением поля. В некоторый момент времени индукция маг-
нитного поля начинает равномерно уменьшаться до нуля. Определить время, в течение которого индукция магнитного поля уменьшается до нуля,
если в контуре за это время возникает ЭДС индукции |
i = 100 В. |
Решение: |
|
Из закона Фарадея для явления электромагнитной индукции |
|
где Ф – изменение магнитного потока, равное |
Ф = Ф2 – Ф1, t – |
время, в течение которого изменяется магнитный поток:
332
Ф1 = B1S cos |
|
, Ф2 = B2S cos |
, S – площадь проволочного контура в |
|||||||||||
виде равностороннего треугольника, равная |
S |
a2 |
cos30 |
|
|
. |
||||||||
|
2 |
4 |
||||||||||||
Из условия задачи B2 = 0 Ф2 = 0, тогда |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
B a2 |
|
cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B a2 |
|
|
cosα |
1 0,04 |
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 86 · 10–6 с = 86 мкс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: 86 мкс.
4.2.24. Плоский проволочный виток, имеющий площадь S и сопротивление R, находится в однородном магнитном поле с индукцией В. Направление вектора магнитной индукции перпендикулярно плоскости витка. Магнитное поле исчезает с постоянной скоростью за время t. Определить ЭДС индукции i, силу индукционного тока Ii, заряд q, прошедший по витку, количество теплоты Q, выделившееся в витке за это время.
Решение:
|
|
|
|
|
|
|
|
BS |
|
BS |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ii |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
R |
tR |
|
|
|
|
|
|
||||
qi |
Ii t |
|
BS |
; |
|
|
|
|
||||
|
R |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q |
Ii2 Rt |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
R |
|
|
Rt |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
BS |
; |
BS |
; |
BS |
; |
B2 S 2 |
|
t |
tR |
R |
Rt |
|||||
|
|
|
|
4.2.25. Проволочную катушку, содержащую N витков, помещают в однородное магнитное поле так, что линии индукции перпендикулярны плоскости витков. С помощью гибких проводников катушку подсоединяют к гальванометру. При быстром удалении катушки из магнитного поля по цепи протекает заряд qi, измеряемый гальванометром. Опреде-
333
лить индукцию магнитного поля В. Все витки имеют одинаковую площадь. Полное сопротивление цепи равно R.
Решение:
qi |
|
t |
NBS |
индукция магнитного поля B |
qi R |
. |
||
R |
tR |
R |
|
|
||||
|
|
NS |
||||||
|
|
|
|
Ответ: |
|
qi R |
|
|
|
|
|
|
|
NS |
|||
4.2.26. Из плоского проволочного витка, имеющего сопротивление R, один раз медленно, другой – в три раза быстрее выдвигают магнит. Одинаковую ли работу совершает внешняя сила, выдвигающая магнит?
Решение:
При изменении магнитного потока через проводящий контур в нем возникает ЭДС индукции, модуль которой прямо пропорционален ско-
рости изменения магнитного потока |
Φ . Следовательно, |
возникающие |
||
|
t |
|
|
|
ЭДС индукции отличаются в три раза. |
|
|
|
|
Работа внешних сил равна A = q |
i, где q – заряд, возникающий в вит- |
|||
ке, определяемый только изменением магнитного потока |
q |
Φ |
. От- |
|
|
||||
|
|
|
R |
|
сюда с увеличением скорости изменения магнитного потока в 3 раза увеличивается и работа внешних сил в 3 раза.
Ответ: неодинаковую
4.2.27. Плоская рамка в форме равностороннего треугольника со стороной a = 0,6 м помещена в однородное магнитное поле с индукцией B = 0,2 мТл так, что линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости рамки. Определить количество теплоты, выделяющееся в рамке, если ее преобразовать в квадрат. Рамка выполнена из медной проволоки сечением Sпр = 1 мм2. Считать, что за время изменения конфигурации
рамки t = 5 с тепло выделялось равномерно.
Решение:
334
При изменении конфигурации рамки длина (периметр) провода рамки не изменяется. Тогда 3a = 4l, где l – сторона полученного квадрата,
равная l |
3 a . Площадь поверхности, охватываемой треугольным кон- |
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
туром со стороной а, |
S |
a2 |
|
3 |
становится равной для квадратного |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
контура S2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как однородное магнитное поле не меняется, то магнитный поток
пронизывающий контур Ф = BScos |
(здесь = 0 или 180 , |cos |
| = 1) из- |
||||||||||||||||||||||||
меняется только за счет изменения площади контура |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
(9 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
S |
S |
2 |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменение магнитного потока |
|
|
a2 |
(9 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Φ |
B |
3) . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
||
Возникающая в этом контуре ЭДС индукции |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ba2 (9 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16Δt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Индукционный ток в замкнутом контуре из закона Ома Ii |
R , где |
|||||||||||||||||||||||||
R ρ |
3a |
|
– сопротивление контура, |
– удельное сопротивление медно- |
||||||||||||||||||||||
Sпр |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
го проводника.
Тогда количество теплоты Q, выделяющееся в рамке, согласно закону Джоуля-Ленца
335
|
|
|
|
a4 |
(9 |
4 |
|
|
|
Q |
|
3)2 S |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
R |
|
|
t |
a |
|
|
|||
B2a3 (9 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)2 S |
5,93 · 10–10 |
Дж |
0,6 нДж. |
||||||
t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: 0,6 нДж.
4.2.28. В однородном магнитном поле с индукцией B = 10 мТл вращается металлический стержень длиной l = 0,3 м с постоянной угловой
скоростью = 50 рад/с так, что ось вращения проходит через один из
концов стержня и параллельна линиям магнитной индукции. Определить разность потенциалов, возникающую на концах стержня.
Решение:
Разность потенциалов на концах стержня вызвана действием сил Лоренца на свободные заряды (электроны), находящиеся в металлическом стержне. Так как стержень вращается с постоянной угловой скоростью и пересекает линии магнитной индукции под прямым углом, то электроны под действием силы Ло-
ренца FЛ начинают перемещаться вдоль стержня к
одному из его концов (как показано на рисунке). Смещение электронов происходит до тех пор, пока напряженность возникшего электрического поля внутри проводника не достигнет такого значения, при котором силы электрического отталкивания уравновесят силы Лоренца.
В результате на одном из концов оказывается избыток электронов, на другом – недостаток, и между концами стержня возникает постоянная раз-
ность потенциалов 
, равная ЭДС индукции, т. е. , где
Ф – магнитный поток, пронизывающий поверхность площадью S, пересекаемую стержнем за время t. Вращение стержня происходит перпенди-
кулярно линиям индукции магнитного поля, поэтому |
Ф = B S. |
|||||||||
|
Как видно из рисунка, S равна площади сектора, описанной стержнем |
|||||||||
S |
|
|
|
|
|
t |
(угол поворота стержня |
= |
t). |
|
2 |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Тогда |
Φ |
|
Bωl2 t |
, а |
22,5 · 10–3 В = 22,5 мВ. |
||||
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
336 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 22,5 мВ.
4.2.29. Квадратную рамку со стороной a = 2 мм проносят с постоянной скоростью 
= 10
см/с через область магнитного поля с индукцией B = 1 Тл шириной l = 1 см. Сопротивление рамки R =
0,02 Ом. Построить график зависимости от времени ЭДС индукции, возникающей в рамке при ее движении, и определить количество теплоты, выделяющееся в рамке при движении.
Решение:
Рассмотрим процесс прохождения рамки через область магнитного поля с индукцией
В.
По мере вхождения в поле в течение
времени |
t |
t |
a |
магнитный поток через |
||
|
||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
рамку увеличивается. Далее в течение времени |
t2 |
l 2a |
магнитный |
|||
|
||||||
поток через рамку остается постоянным. Придя к границе поля, рамка
начинает в течение времени t |
|
a |
выходить из поля и магнитный по- |
3 |
|
||
|
|
|
ток через рамку уменьшается до нуля.
Представим график зависимости магнитного потока через рамку от времени ее движения в магнитном поле.
Максимальный магнитный поток через контур рамки Фmax = Ba2, где S = a2 – площадь рамки. Изменение магнитного потока приводит к появ-
лению в контуре ЭДС индукции |
. |
|
Там, где поток увеличивается |
Ф > 0, i < 0; где поток уменьшается |
|
Ф < 0, i > 0; где Ф = 0, |
i = 0. Представим график зависимости i от |
|
времени движения рамки в |
поле |
|
337
|
| |
|
|
, |
|
||
|
|
a |
|
|
|
|
|
где |
|
– скорость движения рамки. |
|
||||
|
t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
2 c; t = |
0,08 c; t3 = 0,1 c. |
||
|
|
t2 |
2 |
· 10–3 · 10 · 10–2 = |
|||
|
|
t3 |
|
|
B = 0,2 мВ. |
||
Количество теплоты, выделившееся в процессе движения рамки, равно
Q |
0,08 · 10–6 |
Дж = |
0,08 мкДж. |
R |
R |
|
|
|
Ответ: 0,2 |
мВ; 0,08 мкДж. |
|
4.2.30. Проволочный виток замкнут на обкладки конденсатора и помещен в однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны к плоскости витка. Индукция магнитного поля рав-
номерно растет со скоростью B/ t = 0,5 Тл/с. Емкость кон-
денсатора C = 100 мкФ. Площадь поля, охватываемая витком, S = 200 см2. Определить заряд на обкладках конденсатора.
Решение:
При изменении магнитного поля через проводящий контур в нем возникает ЭДС индукции i, определяемая из закона Фарадея скоростью изменения магнитного потока Ф/ t, т. е.
Bt S .
Заряд на обкладках конденсатора
q C |
. |
|
|
|
|
q = 100 · 10–6 0,5 · 200 · 10–4 = 10–6 Кл = 1 мкКл.
Ответ: 1 мкКл.
338
4.2.31. Однослойная катушка с диаметром каркаса d = 2 см содержит N = 1 000 витков провода. К концам катушки подключен конденсатор емкостью C = 20 мкФ. Данную катушку помещают в однородное магнитное поле, параллельное ее оси, индукция которого равномерно изме-
няется со скоростью |
B |
|
0,1 Тл/с. Определить заряд конденсатора q и |
|||||||||
t |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
его электрическую энергию W. |
||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
qi = C i; W |
C |
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
2C |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B πd 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
qi |
CN B |
πd 2 |
|
6,28 · 10–7 Кл 630 нКл; |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
t |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
9,9 · 10–9 Дж = 9,9 нДж. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 630 нКл; 9,9 нДж. |
4.2.32. По двум параллельным проводникам, находящимся друг от друга на расстоянии l = 0,5 м, перемещают перемычку с постоянной
скоростью = 10 м/с. Между проводниками включены последовательно два конденсатора, причем отношение их емкостей n = C2/C1 = 1,5. Вся система нахо-
дится в постоянном однородном магнитном поле, вектор индукции которого перпендикулярен плоскости, в которой лежат проводники. Опре-
делить индукцию магнитного поля B , если напряжение на конденсаторе С2 оказывается равным U2 = 0,5 В.
Решение:
При последовательном соединении конденсаторов заряды на каждом из них будут одинаковыми q1 = q2 = q и равными q = C1U1 = C2U2 
U1 |
C2 |
U2 . Тогда напряжение на конденсаторах будет равно сумме |
||
C1 |
||||
|
|
|
||
напряжений на каждом из них U |
и |
|||
|
|
|
339 |
|
равно ЭДС индукции, возникающей в контуре, состоящем из конденсаторов и движущейся перемычки.
Из закона Фарадея ЭДС индукции
Bl
. t
Тогда U2(1 + n) = Bl . Отсюда искомая индукция В магнитного поля равна
B |
U (1 n) |
0,5(1 1,5) |
0,25 Тл. |
l |
|
||
|
|
|
Ответ: 0,25 Тл.
4.2.33. Горизонтальный проводящий стержень массой m и длиной l может скользить без трения по двум вертикальным проводящим стержням, соединенным внизу конденсатором емкостью С. Однородное магнитное поле с индукцией В перпендикулярно плоскости падения стержня. Определить ускорение стержня. Электрическим сопротивлением цепи пренебречь.
Решение:
В металлическом стержне, движущемся в магнитном поле, как показано на рисунке, возникает ЭДС
индукции 
. При этом в цепи протекает ток
Ii |
q |
C |
|
|
, направленный в стержне справа |
|
|
|
|
||
t |
t |
t |
налево. На стержень с током в магнитном поле начинает действовать сила
|
CB 2l2 |
|
Ампера, направленная вертикально вверх и равная FA Ii lB |
|
. |
|
||
|
t |
|
Из второго закона Ньютона в проекции на ось Оу: mg – FA = ma или
|
|
CB2l2 |
|
|
|
|
||
mg |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t |
|
|
|
|
||
|
Если учесть, что мгновенная скорость стержня υ = at, то |
|||||||
|
mg = (m + CB2l2)a ускорение стержня a |
|
mg |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
m |
CB |
l |
|
|
mg
Ответ: m CB2l 2
340