Физика. В 4 ч. Ч. 3. Электродинамика

частица под углом к области магнитного поля, как показано на рисунке.

Определим максимальную глубину h проникновения частицы B в магнитное поле.

Из тригонометрических соотношений

4.2.12. По длинному тонкому прямому проводу течет ток I = 20 А. Электрон, находящийся на расстоянии r = 1 см от оси провода, движется

со скоростью = 5 · 106 м/с. Определить силу, действующую на элек-

трон, если он движется а) по радиусу от провода;

б) параллельно проводу в том же направлении, что и ток в проводе; в) перпендикулярно проводу по касательной к окружности, прове-

денной вокруг провода.

Решение:

Вокруг проводника с током возникает магнитное поле, линии индукции которого представляют замкнутые концентрические окружности с центром на проводнике.

Направление линий магнитной индукции определяется правилом правого винта (буравчика): если вращать головку винта так, что направление острия винта будет совпадать с направлением тока в проводнике, то направление вращения головки винта будет совпадать с направлени-

ем линий магнитной индукции. Вектор магнитной индукции B в каждой точке поля направлен по касательной к линии магнитной индукции.

На заряженную частицу q в магнитном поле действует сила Лоренца:

FЛ = q B sin , где – угол между направлениями скорости частицы и

индукции B . Направление силы Лоренца находится по правилу левой ру-

322

ки: если четыре вытянутых пальца левой руки совпадают с направлением движения положительно заряженной частицы (против движения отрицательно заряженной), линии магнитной индукции входят в ладонь, то ото-

гнутый на 90 большой палец укажет направление действия силы.

Разберем три случая движения электрона в магнитном поле проводника с током.

а) Электрон движется по радиусу от провода с током I, линии магнитной индукции которого направлены против часовой линии. Как видно из рисунка,

векторы B и взаимно перпендикулярны, и сила

Лоренца оказывается направленной перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Ее направление противоположно направлению тока в проводнике.

FЛ = qe B.

Индукция магнитного поля прямолинейного проводника с током I на

б) Электрон движется параллельно проводнику с током I, линии магнитной индукции – концен-

трические замкнутые окружности. Вектор B перпендикулярен плоскости рисунка, из которого

лярны. Сила Лоренца направлена в радиальном направлении от проводника с током и равна

в) Электрон движется перпендикулярно проводнику по касательной к окружности с центром на проводнике. Эта окружность совпадает с направлением силовой линии, а значит

4.2.13. Частица массой m, обладающая положительным электрическим зарядом q, влетает в область однородного магнитного поля с индукцией B .

Скорость частицы составляет угол с направлением индукции магнит-

ного поля. Покажите, что частица будет двигаться по винтовой линии. Определить радиус окружности R, получающейся при проектировании траектории на плоскость, перпендикулярную индукции магнитного поля и время T, за которое частица проходит один шаг спирали.

Решение:

Сделаем рисунок и рассмотрим данную ситуацию.

ряженную движущуюся в магнитном поле частицу действует сила Лоренца. Причем, если скорость частицы совпадает с

вектором B или направлена противоположно ему, то эта сила равна 0, поэтому составляющая в процессе движения не меняется по направле-

нию и величине. Что касается скорости , то сила Лоренца направлена

перпендикулярно этой составляющей и сообщает частице центростремительное ускорение. В результате эта составляющая обеспечивает частице движение по окружности. Таким образом, заряженная частица участвует в сложном движении: вращательном движении по окружности радиуса

m

R и равномерном поступательном движении вдоль qB qB

линий поля – по винтовой линии (спирали). Шаг этой спирали, т. е. крат-

324

4.2.14. Заряженная частица влетает в однородное магнитное поле под углом = 45к линиям магнитной индукции и движется по винтовой линии. Найти радиус R винтовой линии, если шаг винтовой линии (смещение вдоль винтовой линии за один оборот) h = 6,28 см.

Решение:

Ответ: 1 см.

4.2.15. Электрон влетает в однородное магнитное поле и движется по винтовой линии радиусом R = 10 мм и шагом h = 6,28 см. Определить

угол между направлениями скорости электрона и вектора магнитной индукции.

Решение:

Ответ: 45 .

4.2.16. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией B = 5 мТл по винтовой линии диаметром d = 8 см и шагом h = 20 см. Опре-

45 · 106 м/с = 4,5 · 107 м/с.

Ответ: 4,5 · 107 м/с.

4.2.17. Определить максимальную скорость, развиваемую телом массой m с зарядом +q, скользящим по наклонной плоско-

сти с углом наклона в магнитном поле индукции В.

Линии магнитной индукции горизонтальны и параллельны наклонной плоскости. Коэффициент трения те-

ла о плоскость .

Решение:

На заряженное тело, движущееся по наклонной плоскости в магнитном поле так, как показано на рисунке, действуют силы тяжести mg ,

трения Fтр , реакции опоры N и Лоренца FЛ , направление которой

определено по правилу левой руки.

Максимальной скорости тело достигает в момент, когда его ускорение становится равным 0. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на выбранные оси, указанные на рисунке:

326

4.2.18. Небольшое заряженное тело массой m = 1 г и зарядом q = 10 мкКл, прикрепленное к нити длиной l = 10 см, может двигаться по окружности в вертикальной плоскости. Однородное магнитное поле индукции B = 1 Тл перпендикулярно этой плоскости. При какой наименьшей скорости тела в нижней точке, оно сможет совершить полный оборот?

Решение:

В данном случае, на вращающееся в вертикальной плоскости тело действуют сила тяжести mg , сила натяжения нити Fн и сила Лоренца

FЛ , т. к. тело заряжено и движение происходит в магнитном поле ин-

оборот, сила натяжения нити должна быть отлична от нуля во всех точках траектории. Лишь в высшей точки траектории С она может стать равной нулю, при этом скорость в нижней точке D будет минимальной. А так как на тело действует сила Лоренца, то для выполнения этого условия силы тяжести и Лоренца должны быть противоположно направленными. Это показано на рисунке, где также указано

направление вектора магнитной индукции, определяемое правилом левой руки, для данной ситуации.

327

мкнуты на внешнюю нагрузку сопротивлением R, через которую течет ток. Определить ЭДС и максимальную мощность данного устройства.

Решение:

На положительные и отрицательные ионы газа, движущиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца, которая отклоняет, согласно правилу левой руки, положительные ионы к верхней пластине, отрицательные – к нижней, заряжая их. Таким образом, получают устройство, называемое магнитогидродинамическим генератором (в литературе МГД-

генератор), ЭДС которого вычисляется по формуле = Bl . Его внут-

Известно, что максимальная мощность, выделяемая на нагрузке, достигается тогда, когда внутреннее сопротивление r равно сопротивлению

Движение заряженных частиц

вэлектрическом и магнитном полях

4.2.20.Протон (q = +1,6 · 10–19 Кл, m = 1,67 · 10–27 кг) влетает со ско-

ростью 0 = 60 км/с перпендикулярно сонаправленным электрическому

тона, вызванное действием этих полей a = 1012 м/с2. Определить напряженность | E | электрического поля, если модуль индукции магнитного

поля | B | = 0,1 Тл.

Решение:

Каждое поле действует на заряженную частицу. Электрическое поле с силой Fэл qE , направленной вдоль E (вправо); магнитное поле с силой Лоренца FЛ = q B sin , направ-

зим рисунок иначе.

Как видно из рисунка

Примечание. При дальнейшем движении протона в двух сонаправлен-

общает ускорение, направленное вдоль линий двух полей E и B . Таким образом движение частицы будет представлять собой винтовую линию с увеличивающимся радиусом R и шагом h. Так как период обращения частицы не зависит от ее скорости, которая изменяется, то период обращения частицы T остается постоянным. Начальная скорость частицы вдоль полей

, следовательно, за равные промежутки времени T, двигаясь с по-

лельно магнитному полю возбуждено электрическое поле с модулем

напряженности E = 100 В/м. Определить время t действия электриче-

ского поля, в течение которого кинетическая энергия частицы увеличивается в 2 раза.

Решение:

Радиус окружности, по которой движется заряженная частица в маг-

Сила Лоренца, действующая на частицу при движении ее в магнитном

поле B , не изменяет скорости частицы, а следовательно, ее кинетиче-

330