Физика. В 4 ч. Ч. 3. Электродинамика
.pdf
|
I2 |
|
E |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где – ЭДС источника тока, r – его внутреннее сопротивление. |
|
||||||||||||||
Поделив почленно (1) и (2), получим: |
|
|
|
||||||||||||
|
I1 |
|
|
R |
r |
I R |
I R2 |
|
(3). |
|
|
|
|||
|
I2 |
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из выражения (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= I1(R1 + r) |
|
|
|
|
|
|
. |
(4) |
||||||
Сила тока короткого замыкания |
|
|
|
||||||||||||
|
Iê.ç |
|
|
|
|
R )(I |
|
I ) |
|
I1I2 (R1 |
R2 ) |
. |
(5) |
||
|
|
|
|
I2 I1 I1R1 |
I2 R2 |
|
I1R1 |
|
|||||||
|
|
|
|
r |
|
|
I2 R2 |
|
|||||||
Значения искомых величин: |
|
|
|
|
|
||||||||||
r |
1 5,0 |
0,5 15 |
5 В; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
15) |
10 Ом; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Iê.ç |
10 |
|
2 А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 5 Ом; 10 В; 2А.
2.2.9. К источнику постоянного напряжения поочередно подключают проводники сопротивления R1 и R2, причем k = R2/R1 = 1,5. В цепи протекают токи I1 = 1,0 А и I2 = 0,8 А соответственно. Определить силу тока I в цепи, если к источнику будут подключены только соединительные провода.
Решение:
Записав закон Ома для каждого случая, имеем систему уравнений:
I1 |
|
U |
|
; |
(1) |
|
|
|
|||
R1 |
|
|
|||
|
|
Rï ð |
|
||
171
|
I2 |
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
U |
; |
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R2 |
Rï ð kR1 |
Rï ð |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
I |
U |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Rï ð |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Rпр – сопротивление соединительных проводов. |
|||||||||||||||||||||
Поделив (1) на (2) почленно |
|
I |
|
kR1 |
Rï ð |
, выразим сопротивление |
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
I2 |
|
R1 |
Rï ð |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
проводника R1 |
через сопротивление провода: |
|
|||||||||||||||||||
|
R |
|
|
Rï ð (I1 |
|
I2 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
kI2 |
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Поделим (1) на (3) и с учетом (4) получим: |
|
||||||||||||||||||||
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
kI |
I |
|
|
|
|
|||||
|
I |
|
ï ð |
1 |
2 |
|
|
|
Rï ð |
k |
I2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
kI2 |
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
(k |
1)I I |
|
(1,5 1)0,8 1 |
2,0 А. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
kI2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 2,0 А.
2.2.10. В цепь, состоящую из источника тока и резистора сопротивлением R = 25 Ом, включают вольтметр сначала параллельно, а затем последовательно резистору. В обоих случаях показания вольтметра одинаковы. Определить внутреннее сопротивление r источника тока, если сопротивление вольтметра RV = 625 Ом.
Решение:
При параллельном (а) включении резистора и вольтметра согласно закону Ома для замкнутой цепи сила тока равна
I1 |
|
|
, |
|
RV |
R |
|||
|
r |
|||
|
RV |
R |
||
|
|
|||
при последовательном (б) включении |
||||
I2 |
|
, где – ЭДС источника тока. |
|
||
|
RV |
R r |
172
Падение напряжения на вольтметре при параллельном соединении
|
U1 |
|
|
R R |
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||
|
|
RV |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RV |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
RV R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
– сопротивление параллельно соединенных вольтметра и рези- |
||||||||||||
|
|
R |
R |
||||||||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стора; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
при последовательном соединении |
||||||||||||||||
|
U2 |
I2 RV |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(2) |
|||||
|
|
|
RV |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
r |
|
|
|
|
||||
|
Согласно условию U1 = U2, тогда, приравняв правые части (1) и (2), |
||||||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
RV R |
|
|
|
|
RV R |
или |
||||||
|
|
(RV |
R) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
R2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
1 Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
RV R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RV |
||
Ответ: 1 Ом.
2.2.11. Амперметр и вольтметр, подключенные к источнику тока последовательно, показывают соответственно II = 0,16 А и U1 = 32,0 В. Если их соединить параллельно и подключить к тому же источнику,
то показания будут: амперметра – I
= 0,77 А, вольтметра – U2 = 30,8 В. Определить ток короткого замыкания Iк.з.
Решение:
Изобразим схемы включения амперметра и вольтметра в цепь.
Для нахождения тока короткого замыка-
ния – |
Iê.ç |
r |
– необходимо определить |
|
|
|
|
ЭДС источника |
и его внутреннее сопро- |
||
тивление r.
Если посмотреть на последовательное (а)
173
включение вольтметра и амперметра, то воспользовавшись законом Ома для участка цепи
II |
U1 |
, |
|
|
(1) |
RV |
|
||||
|
|
|
|
|
|
для замкнутой цепи |
|
||||
II |
|
|
|
, |
(2) |
RV |
|
RA |
|||
|
|
r |
|
||
где – ЭДС источника тока, RV, RA и r – сопротивления вольтметра, амперметра и источника тока соответственно, (RV + RA + r) – полное сопротивление цепи (а).
При параллельном (б) включении амперметра и вольтметра из закона Ома для участка цепи сила тока через амперметр
|
I |
U2 |
, |
|
|
|
|
|
(3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
RA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сила тока через вольтметр |
|
|||||||||||
|
I |
U . |
|
|
|
|
|
(4) |
|||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общий ток в цепи III = I + I , |
(5) |
|||||||||||
|
из закона Ома для замкнутой цепи |
|
|||||||||||
|
III |
|
|
|
|
|
|
|
RV RA |
(6) |
|||
|
|
|
|
|
|
V |
A |
r |
|
||||
|
|
|
|
RV |
RA |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
RV RA |
|
|
|
– общее сопротивление вольтметра и амперметра, включенных |
|||||||
|
R |
|
R |
|
|
|
|||||||
|
|
V |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
||
параллельно источнику тока, |
|
|
– полное сопротивление цепи (б). |
||||||||||
|
|||||||||||||
Ввиду громоздкости расчетных формул, произведем вычисления ряда параметров поэтапно.
174
Из (1) определим сопротивление вольтметра RV |
U1 |
200 Ом; из (3) |
|||||||
II |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сопротивление амперметра |
RA |
U2 |
40 Ом; из (4) определим ток, текущий |
||||||
I |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
через вольтметр, I |
U2 |
|
0,15 А; из (5) ток в цепи (б) III = I + I = 0,92 А. |
||||||
RV |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
С учетом полученных значений параметров цепи поделим (2) на (6)
почленно: |
II |
R R |
|
R r R r |
r = 10 Ом. |
|
III |
RV |
RA r RV RA |
|
|||
|
|
|
||||
Тогда из (2) = II(RV + RA + r), и ток короткого замыкания |
||||||
I (R |
R |
r) |
4,0 А. |
|
|
|
Iê.ç |
r |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Ответ: 4,0 А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон Ома для неоднородного участка цепи |
||||
2.2.12. Определить разность потенциалов ( |
2 – 1), на зажимах |
|||||
|
|
ЭДС в нескольких случаях: а) I1 = 0; б) I2 = 2,0 А и |
||||
|
|
направлен справа налево; в) I |
= 4,0 А и направлен |
|||
|
|
слева направо. ЭДС источника |
= 5 В, его внутреннее |
|||
сопротивление r = 1 Ом. |
|
|
||||
Решение:
Для неоднородного участка цепи закон Ома имеет вид:
I |
i |
, |
|
|
|
|
R0 |
|
|
где ( 2 – |
1) – разность потенциалов на концах цепи, |
– алгебраи- |
||
|
|
|
|
i |
ческая сумма ЭДС источников тока, R0 – общее сопротивление участка цепи (в данном случае R0 = r). Знак ЭДС выбирается следующим образом: если в направлении тока потенциал источника понижается перед ЭДС знак «–», если повышается – «+».
а) Если тока на участке нет (I1 = 0), то разность потенциалов равна имеющемуся на участке ЭДС, т. е. ( 2 – 1) = = 5 В (это показывает и вольтметр, подключенный к клеммам источника тока).
б) Запишем закон Ома для данного случая:
I2 |
r |
2 – |
1 = 7 В. Данная схема |
|
|
|
включения ЭДС предполагает зарядку аккумулятора (источника тока). в) Ток течет от большего потенциала к меньшему 1 > 2.
Закон Ома имеет вид:
I |
|
, отсюда |
, 2 – 1 = 1 В. |
|
|||
|
r |
|
|
В данном случае включения источника ЭДС наблюдается его разрядка.
Ответ: 5 В; 7 В; 1 В.
2.2.13. К заряженному аккумулятору подсоединяют разрядившийся. а) Какую клемму исправного аккумулятора следует подключить к
клемме «+» разрядившегося, чтобы зарядить его?
б) Каков будет ток в цепи I, если 0 = 14 В, = 10 В, r1 = r2 = 0,08 Ом, а сопротивление соединительных проводов равно Rпр = 0,04 Ом?
в) Какой будет ток в цепи I1 при неправильном соединении аккумуляторов?
Решение:
а) При зарядке разрядившегося аккумулятора его подсоединяют к исправленному аккумулятору клемма-
ми «+» к «+», «–» к «–».
б) Ток зарядки I3, протекающий в цепи, согласно закону Ома для замкнутой цепи равен
Iç |
|
|
|
20 А. |
r1 |
r2 |
|
||
|
Rï ð |
|||
в) При неправильном соединении аккумуляторов сила тока I из закона Ома для замкнутой цепи равна
I |
|
|
|
120 А. |
|
|
|
||
|
r1 |
r2 |
Rï ð |
|
Ответ: 20 А; 120 А.
2.2.14. Определить разность потенциалов между точками а и с, b и d, b и a, а и d, d и с, c и b в электрической цепи, схема которой изображена на рисунке.
Решение:
Замкнутая цепь представляет собой последовательное соединение источников тока с различными ЭДС.
Прежде чем определить разности потенциалов на участках цепи, содержащих ЭДС, определим общую (или действующую) ЭДС его контура, в котором источник с ЭДС 4 включен навстречу остальным:
0 = + 2 + 3 – 4 = 2 . |
|
|
Укажем на рисунке направление тока I. Сила этого тока согласно за- |
||
кону Ома для замкнутой цепи |
|
|
I |
2 |
, |
3R 10r |
||
где (3 + 10r) – полное сопротивление цепи. 1) Разность потенциалов на участке adc
a – c = 3 – I(2R + 3r) =
,
где 3 – ЭДС участка adc; (2R + 3r) – сопротивление этого участка; ток I для этого участка – ток разрядки, т. е. ток течет в направлении действия ЭДС; I(2R + 3r) – падение напряжения внутри участка.
2) Разность потенциалов на участке bad определим аналогично.
b – d = 5 – I(2R + 5r) = |
, |
где 5 – ЭДС участка bad, (2R + 5r) – сопротивление этого участка, ток I для
этого участка – ток разрядки, I(2R + 5r) – падение напряжения внутри участка. Рассмотрим поочередно участки цепи.
3) |
a – d = 2 – I(r + 2R ) = 2 |
, |
|
4) |
b – a = 3 – I · 4r = 3 |
, |
|
5) |
d – |
c = – I · 2r = |
, |
6) |
b – |
c = 4 + I(3r + R) = 4 |
. |
177
Примечание. |
Если объединить ( |
a – d) и ( b |
– |
a), то получим |
||||
b – |
d = |
(см. выражение (2)). Если объединить ( |
d – |
c) и |
||||
( b – |
c), то получим тот же ответ |
b – |
d = |
|
|
|
|
|
Таким же способом проверим: ( |
a – |
c), объединив ( |
a – |
d) и ( |
d – |
c): |
||
|
a – c = |
(см. выражение (1)). |
|
|
|
|
||
|
|
2.2.15. Два источника с ЭДС, равными |
1 и |
2 и внут- |
||||
ренними сопротивлениями r1 и r2 соединены, как показано на рисунке.
Определить разность потенциалов между точками а и b. Какой станет эта разность при изменении полярно-
сти включения второго источника?
Решение:
Согласно закону Ома для полной цепи сила тока в цепи прямопропорциональна алгебраической сумме ЭДС и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи.
а) Выберем направление тока в цепи против часовой стрелки. Если в направлении тока потенциал источника
повышается – 
> 0, если понижается – 
< 0. Таким
образом, для данной цепи I |
r1 r2 . |
(1) |
Так как оба источника работают в режиме разрядки, т. е. расходуют свою энергию, то можно определить разность потенциалов двумя путями:
1) |
a – |
|
b = E1 – Ir1 = |
|
r1 |
. |
(2) |
||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
r1 |
r2 |
|
или |
|
– |
|
| |
. |
|
|
|
(3) |
a |
b |
r1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
Как видно из соотношений (2) и (3), эта разность потенциалов одинакова.
б) Поменяем полярность включения второго источника.
178
Оставим направление тока прежним. Тогда с учетом
тех же правил |
I |
| |
. Следует отметить, что в |
|
|||
|
|
r1 |
r2 |
данном случае первый источник тока работает в режиме разрядки, а второй – в режиме зарядки. Тогда
a – b = 1 – I r1 = 2 + I r2, |
|
|
|
|
|
||
a – |
b = |
|
r1 |
или |
|
|
|
|
1 |
2 |
r2 |
|
|
|
|
a – |
b = |
2 |
r1 |
. |
|
|
|
|
1 |
2 |
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
| |
; |
. |
|
|
|
|
|
r1 r2 |
r1 |
r2 |
|
|
Соединение источников тока |
|
|
|||
2.2.16. Батарея составлена из 12 источников тока, |
имеющих ЭДС |
||||||
E = 2 В и внутреннее сопротивление r = 0,5 Ом каждый. Источники образуют 4 группы, соединенные последовательно, по 3 элемента в каждой группе, соединенных параллельно. Определить силу тока в каждом источнике, если полученную батарею замкнуть резистором с сопротивлением R = 10 Ом.
Решение:
Одна группа из трех параллельно соединенных одинаковых источни-
ков имеет |
I |
= и внутреннее сопротивление |
r |
|
r |
, где – ЭДС одно- |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
I |
3 |
|
||
го источника, r – его внутреннее сопротивление. |
|
||||||||
|
|
|
|||||||
|
Тогда полная ЭДС четырех последовательных групп равна II = |
||||||||
= 4 |
I |
= 4 |
, внутреннее сопротивление r |
4r |
|
4 r . |
|
||
|
|
|
II |
I |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сила тока в неразветвленной цепи из закона Ома для замкнутой цепи:
I |
R rII |
R |
|
r |
R r . |
|
|
3 |
|
Тогда сила тока в одном источнике равна
179
I1 |
I |
|
4 |
0,25 А. |
|
|
|
|
|
||
3 |
|
3R 4r |
|||
|
|
|
|||
Ответ: 0,25 А.
2.2.17. N одинаковых источников с ЭДС и внутренним сопротивлением r каждый замкнуты на внешнее сопротивление R. Определить силу тока в цепи, если k источников из N включены навстречу оставшимся.
Решение:
Все источники соединены последовательно, поэтому эквивалентная
ЭДС k источников |
I = k , а оставшихся (N – k): |
II |
|
|
||||
= (N – k) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Соответственно сопротивления таких источни- |
|
|
||||||
ков kr и (N – k)r. |
|
|
|
|
|
|||
Силу тока определим из закона Ома для замк- |
|
|
||||||
нутой цепи: |
|
|
|
|
|
|
||
I |
|
|
|
. |
|
|
(1) |
|
R |
kr |
(N – k)r |
|
|
||||
Эквивалентная ЭДС экв определится разностью модулей |
II и |
I. |
||||||
Если принять, что N – k > k, N > 2k, k < N/2, то |
экв = (N – k) |
– k = |
||||||
= (N – 2k) . Общее сопротивление источников (N – k)r + kr = Nr. |
|
|||||||
Тогда выражение (1) примет вид: |
|
|
|
|||||
I |
(N |
2k) . |
|
|
|
|
|
|
|
R |
Nr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: (N – 2k) |
/(R + Nr). |
||
|
|
|
|
|
Правила Кирхгофа |
|
|
|
|
|
2.2.18. Два источника, ЭДС которых |
1 = 2 В и |
2 = 4 В, а |
||||
|
внутренние сопротивления одинаковы и равны r1 = r2 = r = |
|||||||
|
= 0,5 |
Ом, |
замкнуты на внешнее сопротивление R = |
1 Ом. |
||||
Определить силы токов, текущих через источники и внешнее сопротивление.
Решение:
Выберем направления токов, как указано на рисунке, и обозначим узлы цепи А и В.
Согласно первому правилу Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна 0 (токи, исходящие
180