Физика. В 4 ч. Ч. 3. Электродинамика

Случай б). Пусть точки подключения А и В находятся в узлах 1 и 5. Перерисуем цепь в удобном виде.

Цепь симметрична. Разъединим центральный узел, получим схему в виде, указанном на рисунке.

Из схемы видно, что потенциалы точек 3 = 0, и 0 = 6, и ток по участкам 3–0 и 0–6 не течет. Данная схема примет вид, указанный на рисунке.

Расчет сопротивления значительно упрощается и сводится к определению сопротивления двух параллельных участков А24В и А6В, при этом

Эти два параллельно соединенных проводника, представляющих схему на рисунке, дают

Случай в). Точки подключения А и В находятся в узлах 1 и 6.

161

Представим исходную цепь в виде эквивалентной

Этот участок цепи соединен с участком АВ параллельно и их общее сопротивление

Задача 2. Электрическая цепь составлена из резисторов, как показано на рисунке. Определить сопротивление цепи, если источник напряжения подключить к точкам А и В, С и D, Е и F.

Решение:

Провода, соединяющие резисторы, считаются идеальными, их сопротивлением можно пренебречь.

а) Если А и В точки подключения цепи к источнику напряжения, то схема обладает осью симметрии, проходящей через А и В. Все узлы сим-

метричные оси являются точками равного потенциала ( C = D, E = F), и их можно разъединять или соединять. Эквивалентная схема имеет вид

Общее сопротивление RAB = 3R.

162

б) Если подключать источник к токам С и D, то возникнет короткое замыкание, т. к. проводник CD сопротивлением не обладает. Таким об-

разом RCD = О.

в) Если подключить источник напряжения к точкам Е и F, то проводник CD является шунтом к участку контура CAD, состоящего из двух резисторов сопротивлением R каждый, ток через резисторы не будет протекать. Тогда схему можно упростить и свести контур к трем параллельно соединенным резисторам:

Ответ: 3R; 0; 12R/17.

Задача 3. Определим сопротивление цепи, образованной двенадцатью проволочками, составляющими ребра куба и соединенными между собой в его вершинах. Сопротивление каждой проволочки R.

Рассмотрим различные случаи подключения цепи.

а) Точки А и В подключения цепи находятся на диагонали куба АВ, являющейся осью симметрии данной цепи. Обозначим узлы куба. Данная цепь высокосимметрична. Узлы 1, 2, 3 и 4, 5, 6 являются точками равных потенциалов, их можно соединить. Цепь представим следующим образом

Как видно из рисунка, в цепи три участка соединенных последовательно, в каждом участке одинаковые проводники соединены параллельно. Полное сопротивление

163

третьего участка 1–В: R R .

Общее сопротивление эквивалентной цепи АВ равно:

б) Точки подключения цепи А и В находятся на диагонали основания куба. Узлы, симметричные оси АВ, яв-

ляются точками равного потенциала, т. е. 2 = 3; 4 = 5,

следовательно, их можно соединить. Тогда электрическая цепь будет иметь вид:

С учетом последовательного и параллельного соединения участков цепи схема примет вид

Так как полученная цепь также симметрична, ток по участку 2–4 (или 3–5) не течет, схему цепи можно изобразить следующим образом:

164

Общее сопротивление R0 двух параллельно соединенных проводников равно

3R R 3 R0 3R R 4 R

в) Точки подключения цепи А и В находятся на ребре куба. Пронумеруем оставшиеся узлы. Все узлы, симметричные АВ, являются точками равного потенциала:

1 = 2; 3 = 4, – их можно соединить:

Данную схему представим в виде

Сопротивление участка 1–5–6–3 равно RI 2R , и этот участок соединен параллельно с участком 1–3 (2–4). Их общее сопротивление равно

Схема примет вид:

165

На участке А13В все проводники соединены последовательно и их общее сопротивление RIII 75 R . Тогда общее сопротивление эквивалентной цепи равно:

Амперметр и вольтметр в цепи постоянного тока

2.2.4. Какая из приведенных на рисунке схем (а или б) используется для определения неизвестного сопротивления Rx, если определить его по формуле Rx = UV /IA, где UV и IA – показания вольтметра и амперметра?

Решение

Если приборы (вольтметр – V и амперметр – А) идеальные, то сопро-

для определения Rx можно воспользоваться любой из схем, так как показания амперметра и вольтметра соответствуют току через неизвестное сопротивление и напряжению на нем.

В случае неидеальных приборов в схеме (а) вольтметр показывает напряжение на сопротивлении Rx, а амперметр – суммарный ток через вольтметр и сопротивление Rx. Очевидно, что ток через сопротивление Rx меньше показаний амперметра:

166

Всхеме (б) амперметр показывает ток, текущий через сопротивление Rx,

авольтметр – напряжение на сопротивление Rx и амперметре. Очевидно, что напряжение на сопротивление Rx меньше показаний вольтметра.

Если учесть, что rV >> rA, то в случае, когда неизвестное сопротивление Rx сравнимо с сопротивлением амперметра rA (Rx rA << rV), то

предпочтительно использовать схему (а). При использовании схемы (б) ошибка определения Rx будет того же порядка, что и сама величина.

В случае, когда неизвестное сопротивление Rx сравнимо с сопротивлением вольтметра (Rx rV >> rA), предпочтительно использовать схему (б). Использование схемы (а) приведет в этом случае к ошибке в определении Rx того же порядка, что и сама измеряемая величина.

В случае, когда Rx нельзя считать ни очень малым по сравнению с rV, ни очень большим по сравнению с rA, Rx можно определять, используя только точные выражения (1) и (2).

Шунт и добавочное сопротивление

2.2.5. Стрелка гальванометра отклоняется на всю шкалу при пропускании через него тока Iг = 2 мА. Если сопротивление гальванометра rг = 1 200 Ом, Определить,

а) какое сопротивление и каким образом следует подключить к гальванометру, чтобы его можно было использовать в качестве амперметра с максимальным показанием шкалы I = 2,4 А;

б) какое сопротивление и каким образом следует подключить к гальванометру, чтобы его можно было использовать в качестве вольтметра с максимальным показанием шкалы U = 8 В?

Решение:

а) Для увеличения предельного значения (диапазона) измеряемых токов параллельно к гальванометру следует подключить сопротивление Rш, называемое шунтом. Расчет сопротивления шунта проводится следующим образом. Поскольку галь-

167

ванометр и шунт подключаются к точкам В и С цепи параллельно, то

Так как гальванометр должен стать амперметром и измерять ток до значения I, то сила тока Iш, протекающего через шунт, должна быть

б) Для увеличения предельного значения (диапазона) измеряемых напряжений к гальванометру последовательно следует подключить сопротивление, называемое добавочным.

Сила тока в участке DC должна быть не больше максимального значения тока, при котором стрелка гальванометра отклоняется на всю шкалу, в противном случае гальванометр выйдет из строя. Тогда из закона

Ома для участков BK и КС:

Так как гальванометр должен стать вольтметром и измерять напряжение до значения U, то напряжение на добавочном сопротивлении Uдоб

Примечание. При увеличении диапазона измеряемых токов или напряжений цена деления шкалы приборов увеличивается, следовательно чувствительность измерительных приборов уменьшается. Например, необходимо увеличить диапазон измеряемых параметров в n раз.

а) для амперметра, воспользовавшись формулой (3) Iгrг = (nIг – Iг) Rш, получим сопротивление шунта

168

Вся шкала полученного амперметра теперь рассчитана на ток I = nIг. Если цена деления была равной Cг = NIã (N – число делений шкалы), то стала

т. е. увеличилась в n раз, следовательно, чувствительность прибора понизилась в n раз.

U = nUг. Цена деления увеличивается в n раз и во столько же раз понижается его чувствительность.

Электродвижущая сила (ЭДС) источника тока. Закон Ома для полной цепи

2.2.6. Если вольтметр, имеющий конечное сопротивление, подключен параллельно резистору R1, то он показывает напряжение U1 = 6 В, если параллельно резистору R2, то – напряжение U2 = 4 В. Каковы будут напряжения U и U на резисторах, если вольтметр не подключать? ЭДС батареи = 12 В, ее внутреннее сопротивление пренебрежимо мало.

Решение:

169

соответственно и три одинаковых резистора сопротивлением R. При какой величине R значения токов I1 и I2 будут равны друг другу?

Решение:

I1 = I2 = I;

E1 = I1(r1 + R) + I0R;

E2 = I2(r2 + R) + I0R.

2.2.8. Если к источнику ЭДС подключить резистор сопротивлением R1 = 5,0 Ом, сила тока в цепи будет I1 = 1,0 А, а если подключить резистор сопротивлением R2 = 15 Ом, то I2 = 0,50 А. Определить ЭДС источника тока, его внутреннее сопротивление r и силу тока короткого замыкания.

Решение:

С помощью ключа К в цепь включаются поочередно со-

170