Транспортная логистика

план характеризуется определенным числом базисных звеньев, на которых имеется поток груза:

К = п - 1 ,

где п - число вершин, вошедших в полигон сети.

Для данного полигона (см. рис. 8.4) число базисных звеньев £ = 1 3 - 1 = 12.

Звенья с потоком, равным пропускной способности, являются небазисными. Эти потоки называют перенасыщенными. Изобража­ ют их пунктирной стрелкой.

При решении задачи может встретиться случай вырождения, ко­ гда число базисных звеньев заданного полигона меньше числа К. В этом случае по свободному звену (желательно по звену с наимень­ шим расстоянием) пропускают нулевой поток, и это звено в после­ дующих операциях принимают за базисное. Базисным может стать

извено с потоком, равным пропускной способности.

Входе решения возможен и такой случай, когда число базисных звеньев в допустимом плане больше числа К, например, если на се­ ти получился замкнутый контур. Это означает, что допущена ошиб­ ка, которую необходимо устранить до построения системы потен­ циалов. Во избежание данного случая рекомендуется снабжать по­ требителей только от одного поставщика, а от двух - когда у первого не хватит ресурсов.

Таблица 8.13 Ресурсы станции отправления (для решения транспортной задачи

290

Таблица 8.14 Объем прибытия груза на станции назначения (для решения

______ транспортной (задачи в сетевой форме), тыс. т__________

Возможный начальный план приведен в качестве примера на рис. 8.5, на котором знаком «+» отмечена вершина отправления гру­ за, знаком «-» - вершина потребления (прибытия) на станции вы­ грузки, «-40» - величина прибытия и «+200» - величина отправле­ ния груза. Поток на участке обозначен стрелкой в правопутном на­ правлении, а величина грузопотока - числом у стрелки.

291

2. После построения начального (допустимого) плана, пример которого приведен на рис. 6.5, на сети начинают строить методом потенциалов оптимальный план перевозок. Любой допустимый план называют оптимальным тогда, когда каждой вершине полиго­ на могут быть присвоены некоторые числа (потенциалы) U и V, ко­ торые отвечают следующим условиям:

где i, j - номера вершин полигона;

U„ Vj - потенциалы соответственно і-й и /-й вершин;

с,у - расстояние от г-й до смежной j -й вершины (длина участка, соединяющего соседние станции);

Xjj - грузопоток на звене ij;

dtj - ограничение пропускной способности на участке ij.

Для всех вершин полигона находим систему потенциалов. Пер­ вой станции отправления присваиваем начальный потенциал, на­ пример 100. Затем по базисным звеньям определяем потенциалы смежных вершин. Из условия оптимальности (8.5) следует, что

Vj ~ Ui ■С„,

если известен потенциал вершины ij, а по звену проходит грузопо­ ток в направлении от i кj.

Из этого же условия оптимальности следует, что

и , = V j - ctJ,

если известен потенциал вершиныj, а по звену ij проходит грузопо­ ток в направлении от i кj.

3. После построения системы потенциалов находим звенья сети с нарушением условий оптимальности (8.4) и (8.6) по формуле

292

Для рассматриваемого примера имеются следующие нарушения условий оптимальности на свободных звеньях:

# 5.9 = 1 1 5 - 7 5 - 3 5 = 5;

#6.9= 170 —7 5 - 4 5 = 50.

Нарушения на звеньях с потоком, равным пропускной способно­ сти, отрицательные по своей величине:

#2 9 = 75 - 5 5 - 2 5 = - 5 .

4.Из всех звеньев с нарушениями выбираем звено, имеющее максимальную по модулю величину нарушения. Для этого звена строим замкнутый контур, состоящий из базисных звеньев и вы­ бранного звена с нарушением. Если замкнутый контур состоит из попутных звеньев без ограничения пропускной способности, то на звено с нарушением назначаем поток улучшения плана:

■*'ул —ИИП Xjj BCTp .

На величину потока улучшения плана ХуЛ изменяем все потоки рассматриваемого контура: уменьшаем встречные и увеличиваем попутные потоки. Встречные и попутные потоки контура улучше­ ния плана находим после определения направления следования по­ тока на звене с нарушением. На рассматриваемом звене с наруше­ нием направление всегда будет идти от вершины (ограничивающей данное звено) с меньшим потенциалом к вершине (ограничивающей это звено с другой стороны) с большим потенциалом. В направле­ нии следования нового потока на свободном звене с нарушением просматриваем все потоки и из них находим попутные и встречные.

Если в замкнутом контуре есть попутные звенья с ограничением пропускной способности, то на звено с нарушением назначаем поток

X y,t — т ш [ х , - у П0ПуТН {dj j — Xj j ) BCTp ] .

В контуре попутные потоки уменьшаем, встречные - увеличиваем. Следует помнить, что контур улучшения плана для рассматри­

ваемого звена с нарушением всегда может быть только один.

293

5. После этого пересматриваем потенциалы вершин, входящих в рассмотренный контур, и смежных с ними вершин.

Улучшенная схема вновь проверяется на оптимальность. Если небазисные звенья удовлетворяют условиям (8.4) и (8.6), то получен оптимальный план. Если небазисные звенья этому условию не удовлетворяют, то решение продолжают.

На рис. 8.6 приведен один из вариантов оптимального плана.

Рис. 8.6. Оптимальный план перевозки груза

При расчете по формуле (8.7) были определены разности для пе­ ресыщенных звеньев:

Н\П= 1 6 0 - 5 0 - 7 5 =+35;

# п і = 1 4 0 - 5 0 - 15 = +75;

# г9 = 75 - 5 - 15 = +55.

Положительные разности на пересыщенных звеньях говорят о перерасходе затрат. Недостаток пропускной способности звена 1.11 вызывает наибольший перерасход затрат, следовательно, увеличи­ вать ее необходимо в первую очередь на этом звене.

294

Если бы было возможно увеличить пропускную способность d\w, то экономия от этого равнялась бы 75 единицам стоимости на каж­ дую единицу груза.

8.2.3. Распределительная задача

Задача 3

Найти целесообразные объемы поставок подвижного состава взаимозаменяемых типов i, используемых на различных направле­ нияхj перевозок грузов.

По данной задаче необходимо привести две заполненные матри­ цы: с начальным планом распределения различных типов подвиж­ ного состава на соответствующих направлениях; с оптимальным планом расстановки подвижного состава разных типов, осуществ­ ляющих перевозки ка заданных направлениях.

Исходные данные

Объемы ресурсов взаимозаменяемого подвижного состава А- приведены в табл. 8.15.

Таблица 8.15 Объемы ресурсов А; взаимозаменяемых типов__________

Варианты

В табл. 8.16 заданы объемы работ 5, за определенный период по различным направлениям перевозки. В форме 3 в левом верхнем углу клеток заданы производительность использования подвижного со­ става аір в правом верхнем углу - суммарные издержки перевозки еди­ ницы грузаj -м типом подвижного состава нау-м направлении работ c}J Величины а,, и с,у принимаются одинаковыми для любого варианта.

295

Форма 2 Исходная информация для решения распределительной задачи

3200

v\

Таблица 8.16 Объемы работ (перевозок) В, по различным направлениям

Методические указания к выполнению задачи 3

Задачу расстановки различных типов подвижного состава по на­ правлениям перевозки относят к числу распределительных задач линейного программирования. Данная задача будет решена мето­ дом потенциалов.

Решению задачи предшествует заполнение матрицы исходной информацией. В табл. 8.17 запишем заданные по варианту объемы поставок подвижного состава А> и объемы перевозок грузов по на­ правлениям Bj.

I. Решение распределительной задачи начнем с составления на­ чального плана. Начальный план можно составить любым из из­

296

вестных способов. Когда в матрице число строк меньше количества столбцов, начальный план можно составить способом выбора клет­ ки с наименьшими издержками в каждой строке матрицы.

В выбранную клетку матрицы записываем корреспонденцию

— Я/ Xjj = min(Д

а,-

ич

где Aj - остатки ресурсов подвижного состава, первоначально Ai = Ai ;

Bj - еще неосвоенный объем перевозок, первоначально Bj = B j.

В числитель дроби, численно измеряющий корреспонденцию, записываем количество ресурсов подвижного состава, а в знамена­ тель дроби - объем перевозок грузов, выполняемый выделенным подвижным составом и равный

Уа ~ аухУ-

Аналогичные действия производим во всех остающихся строках и столбцах матрицы. В результате построения начального плана получаем остатки ресурсов подвижного состава. Остатки записыва­ ем в столбец резерва.

В начальном плане число занятых клеток, считая клетку резерв­ ного столбца:

К = т + п,

где т - число строк матрицы (видов ресурсов подвижного состава); п - число столбцов матрицы (направлений).

Если в начальном плане имеется «случай вырождения», то в таком случае в свободную клетку записываем нулевую корреспонденцию, которую в дальнейших рассуждениях считаем базисной клеткой плана. Исходя из вышеописанного, получаем начальный план, при­ веденный в табл. 8.17.

297

Таблица 8.17

Начальный план

2.Для последующих действий необходимо разметить все кор­ респонденции Ху, которые вначале считаем непомеченными. При разметке попеременно выполняем следующие два действия:

а) просматриваем сверху вниз строки матрицы и определяем строку, в которой непомеченная корреспонденция является единст­ венной, каждой такой корреспонденции присваиваем метку единст­ венности «г»;

б) затем слева направо просматриваем столбцы матрицы (кроме резервного столбца). В столбце определяем единственную «непо­ меченную» корреспонденцию. Если такой нет, то переходим без разметки к следующему столбцу. Если в столбце имеется единст­ венная «непомеченная» корреспонденция, то ей присваиваем метку единственности «в».

Клетка столбца для неиспользованного резерва получает метку последней и всегда «г».

3.После разметки всех базисных клеток матрицы строки и столбцы получают потенциалы, по которым можно проверить оп­ тимальность решения.

Оптимальным планом распределения подвижного состава по на­ правлениям перевозок будет такой план, который удовлетворяет следующим условиям:

298

Из условия оптимальности (1.8) следует, что:

Потенциалы строк и столбцов для начального плана приведены в табл. 8.7.

4. Все свободные клетки матрицы проверяем на выполнение ус­ ловия оптимальности плана (8.9). Если это условие не выполняется, го находим разности нарушения условия оптимальности плана:

Наличие хотя бы одной такой разности свидетельствует о том, что полученный базисный план является неоптимальным. Из всех Ну вы­ бираем максимальную.

5. Базисный план начинаем улучшать с клетки, имеющей макси­ мальное нарушение. В эту клетку необходимо записать корреспонден­ цию улучшения плана Ввод в план такой клетки позволяет сэконо­ мить суммарные затраты на единицу перевозок в размере #™ах.

Для определения величины корреспонденции в клетке с макси­ мальной разностью и для расчета поправок к корреспонденциям базисного плана строим две цепи улучшения плана. Цепи находим по следующему правилу.

299