Транспортная логистика

ны в матричные. С помощью моделей производится оптимизация маршрутов транспортных потоков. С этой целью используется извест­ ная «транспортная задана линейного программирования»:

целевая функция

тп

;=1 7=1

при условиях

где - стоимость перевозки груза из пункта / в пункт j на единицу перевозимого груза;

Ху - искомая величина грузопотока из пункта / в пунктj; Bj - количество получаемых грузов в пунктахj;

А, - количество отправления грузов из пунктов /;

Кроме транспортных расходов в качестве критериев оптимиза­ ции могут быть использованы расстояния перемещения, объем транспортной работы и т. д.

8.2.1.Метод потенциалов для решения транспортной задачи

вматричной форме с ограничениями пропускной способности

Задача 1

1. Построить оптимальный план перевозок каменного угля с пя­ ти станций Aj (i = 1.. .5), обслуживающих шахты, до девяти крупных потребителей, имеющих подъездные пути В) (/' = 1,..., 9).

В задаче № 1 по своему варианту студенту необходимо привести все заполненные матрицы, полученные в процессе решения, с дан­ ными ресурсов станций отправления и потребностей станций на­ значения, а также заполнить матрицы с начальным и с оптималь­ ным планом перевозки.

2. Определить объем тонно-километровой работы для всех пла­ нов начального и оптимального планов перевозки груза.

280

Исходные данные

Данные о наличии ресурсов на станциях отправления А; приве­ дены в табл. 8.3; данные о размерах прибытия груза Bj на станциях назначения - в табл. 8.4. Расстояние перевозки от каждой ;-й стан­ ции отправления до каждой у'-й станции назначения указано в форме 1 в правом верхнем углу каждой клетки. В левом верхнем углу формы 1 указаны ограничения пропускной способности, если тако­ вые имеются. Матрица расстояний и ограничений пропускной спо­ собности принимается одинаковой для всех вариантов.

Таблица 8.3 Ресурсы станции отправления Аь тыс. т____________

Таблица 8.4 Объем прибытия груза В, на станции назначения, тыс. т

281

Методические указания к выполнению задачи 1

1. Решение задачи начинают с составления исходной матрицы (форма 1). Для решения задачи в столбец Л/ заносят объемы ресур­ сов станций отправления, а в строку Bj - объемы прибытия грузов на станции назначения.

После записи ресурсов и потребностей груза по своему варианту на исходную матрицу для решения задачи строят начальный план любым известным способом (к примеру, методом минимального элемента).

После составления начального плана необходимо проверить ба­ ланс по строкам и столбцам матрицы. Число базисных клеток (ба­ зисной клеткой называется клетка, имеющая корреспонденцию, т. е. объем перевозки из i-й станции отправления на j -ю станцию назна­ чения), должно быть:

К - т + п ~ \ ,

где т - число строк матрицы; п - число столбцов.

Для рассматриваемой матрицы АТ = 9 + 5 - 1 = 13. Если число ба­ зисных клеток больше числа К, то начальный план составлен не­ правильно. Клетки, где величина перевозки равна пропускной спо­ собности, называются небазисными.

В форме 1 в базисных клетках корреспонденция перевозки отме­ чена жирным шрифтом.

Форма 1

Пример построения начального плана для задачи № 1 на матрице

282

Объем тонно-километровой работы равен 42725 т-км.

2. Оптимальный план перевозок на заданной матрице составим по методу потенциалов.

Любой допустимый план является оптимальным тогда, когда каждой строке и каждому столбцу могут быть присвоены некото­ рые числа U, и У„ называемые потенциалами и отвечающие сле­ дующим условиям:

базисных клеток имеется максимальное расстояние. Этой строке присваиваем потенциал, равный 1000. Затем, используя условие оп­ тимальности (8.2), находим потенциалы остальных строк и столб­ цов следующим образом:

для у-го столбца

для /-Й строки

4. После присвоения всем строкам и столбцам потенциалов определяем, имеются ли нарушения неравенств (8.1) и (8.3), по форійуле

Ht/ = Vj - Ui - Cij.

Для свободных клеток нарушения являются положительными по своей величине; для клеток с поставкой, равной пропускной спо­ собности, - отрицательными.

283

5. Улучшение допустимого плана начинаем с клетки, имеющей

максимальное (по модулю) нарушение Z/™3*. Для этой клетки строим

замкнутый контур, в который входят только базисные клетки и вы­ бранная клетка с нарушением: из выбранной клетки с нарушением проводим ломаную линию, заканчивающуюся в той же клетке, двига­ ясь аналогично движению шахматной ладьи, направление движения при этом изменяем под прямым углом только в базисных клетках.

Следует заметить, что для каждой клетки с нарушением сущест­ вует только один контур улучшения плана. Нумерация клеток кон­ тура начинается с клетки с нарушением. Если клетка с нарушением свободная, то ей присваиваем № 1. Для клеток с поставками, рав­ ными пропускной способности, нумерация начинается с нуля. Да­ лее номера присваиваются по ходу контура. Число клеток в контуре всегда четное.

В найденном замкнутом контуре определяем корреспонденцию улучшения допустимого плана на данном этапе решения. Коррес­ понденция улучшения плана находится следующим образом:

* У = m in [х0четн, ( d ij - * „ ) _ , ] .

На величину хул изменяются все корреспонденции контура, на­ чиная с клегки с нарушением: уменьшаются корреспонденции, за­ писанные в четных клетках, и увеличиваются корреспонденции, записанные в нечетных клетках контура.

6. После пересмотра корреспонденции необходимо пересоста­ вить систему потенциалов всей матрицы и проверить соблюдение условия оптимальности (8.1) и (8.3). Если небазисные клетки удов­ летворяют этим условиям, то найдено оптимальное решение. Если имеются нарушения условий оптимальности, то расчет на матрице следует продолжить до тех пор, пока все клетки матрицы не будут удовлетворять условиям (8.1)-(8.3). Число нарушений и их величина всегда стремятся к нулю.

Используя вышеизложенный алгоритм и произведя необходимое количество итераций, получим оптимальный план перевозок (в ле­ вом верхнем углу каждой клетки находится величина нарушения, если таковая имеется), (табл. 8.5—8.12).

284

рушением;

■небазисные клетки.

Таблица 8.5 Построение оптимального плана перевозок. Шаг 1

Таблица 8.6 Построение оптимального плана перевозок. Шаг 2

285

Таблица 8.7 Построение оптимального плана перевозок. Шаг 3

Таблица 8.8

286

Таблица 8.9 Построение оптимального плана перевозок. Шаг 5

Таблица 8.10 Построение оптимального плана перевозок. Шаг 6

287

Таблица 8.11 Построение оптимального плана перевозок. Шаг 7

Таблица 8.12

Итоговый оптимальный план перевозок

288

8.2.2.Метод потенциалов для решения транспортной задачи

всетевой форме

Задача 2

Построить оптимальный план перевозки груза на сети (рис. 8.4) от трех станций отправления до девяти станций назначения.

Рис. 8.4. Сеть транспортных узлов

Для данной задачи студент приводит две сети: с начальным пла­ ном перевозок и с оптимальным планом перевозок.

Исходные данные

Размеры груза со станции отправления приведены в табл. 8.13, а прибытия на станцию назначения - в табл. 8.14. Для всех вариантов задан один и тот же полигон (см. рис. 8.4), на котором производится решение задачи. В знаменателе для звеньев 1-7, 1-11, 2-9, 3-10 зада­ ны ограничения пропускной способности.

Методические указания к выполнению задачи 2

1. Решение задачи в сетевой форме начинают с составления на­ чального плана, который не допускает встречных перевозок на уча­ стках заданного полигона. Начальный (или любой допустимый)

289