Теория сооружений

Составляя производную от обеих частей полученного выражения, найдем:

Или, умножая на z и принимая во внимание равенство (4.24), получим

Пользуясь таблицами гиперболических функций, легко можно вычислять значения для Pкр при различных значениях .

Заметим, что с возрастанием длины пластинки сумма

очень быстро приближается к своему пределу / 8 и критическая сила – к пределу:

кр b

Для a / b 2 означенная сумма будет 0,973 8 .

Надо помнить, что вычисляемое по формуле (4.23) значение критической нагрузки будет меньше действительного и разность между действительной и истинной величиной Pкр будет более значитель-

ной для коротких пластинок. Насколько близка к истине полученная формула, можно судить лишь на основании опытов. Мы пришли к решению, взяв для w выражение (4.18).

241

Если для w взять самое общее выражение w Amn sin ma x sin nby ,

то можно показать, что наименьшее значение для критической сжимающей силы получаем, беря одно определенное значение для n. При a b примем значение n 1.

Мы предполагали края пластинки свободно поворачивающимися, но величину критической силы можно приблизительно определить и при заделанных вдоль сторонах пластинки. В этом случае:

w 0; wy 0 при y 0 и при y b.

Условию этому мы удовлетворим, положив:

Потенциальная энергия изгиба для этого случая выражается так:

Сближение сжимающих сил при выпучивании пластинки будет:

Приравнивая работу сил P потенциальной энергии изгиба, придем к уравнению:

242

Соотношение между отдельными коэффициентами будет прежнее, и потому:

При значительной длине на основании (4.25):

Заметим, что полученная нами формула (4.27) была бы совершенно точна, если бы сжимающие усилия передавались лишь бесконечно узкой полоске AB, и задача состояла в том, чтобы найти

критическую сжимающую силу для этой полоски при условии, что ее выпучиванию препятствуют не заштрихованные части пластинки

(см. рис. 4.60).

243

Библиографический список

1.Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений / А. Ф. Смирнов [и др.]. – М.: Стройиздат, 1984. – 414 с.

2.Феодосьев, В. И. Избранные задачи вопросы по сопротивлению материалов / В. И. Феодосьев. – М.: Наука, 1996. – 368 с.

3.Босаков, С. В. Метод Ритца в примерах и задачах по строительной механике и теории упругости / С. В. Босаков. – Минск:

БНТУ, 2000. – 144 с.

4.Тимошенко, С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / С. П. Тимошенко. – Минск: Наука, 1971. – 807 с.

5.Александров, А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров, В. Д. Потапов. – М.: Высшая школа, 2003. – 559 с.

6.Борисевич, А. А. Строительная механика / А. А. Борисевич, Е. М. Сидорович, В. И. Игнатюк. – Минск: БНТУ, 2007. – 144 с.

7.Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. – СПб.: Лань, 2003. – 576 с.

8.Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. – М.: ФМ, 1963. – 1100 с.

9.Филоненко–Бородич, М. М. Об одной системе функций и ее приложениях в теории упругости / М. М. Филоненко–Бородич //

ПММ, Т. 10, № 1, 1946. – С. 193–208.

244