Теория сооружений

Y

P

EI

EI

EA

O

Задача 4.2. При каком увеличении температуры t стержень потеряет устойчивость (рис. 4.9).

Задача 4.3. Определить величину наименьшей критической силы

(рис. 4.10).

Задача 4.4. Определить величину наименьшей критической силы

(рис. 4.11).

Y Y

201

Задача 4.5. Определить величину наименьшей критической силы различными способами (рис. 4.12).

Задача 4.6. Определить наименьшую критическую силу для стержня с упругой опорой (рис. 4.13). Задачу решить двумя способами.

Задача 4.7. Методом Ритца оценить величину наименьшей критической силы (рис. 4.14).

P

Рис. 4.14

Задача 4.8. Методом перемещений оценить величину наименьшей критической силы (рис. 4.15).

202

Рис. 4.15

Задача 4.9. На примере шарнирно-опертого стержня (рис. 4.16) определить величину критического крутящего момента и установить, как он зависит от растягивающей силы [2].

Задача 4.11. Используя рациональный подход, найти величину наименьшей критической силы (рис. 4.18).

Задача 4.12. Определить наименьшую критическую силу для двухстержневой системы (рис. 4.19).

203

Задача 4.13. На стройку привезли железобетонную ферму, которую по проекту необходимо монтировать при помощи траверсы (рис. 4.20, а). Однако траверсы необходимой длины не нашлось и применили траверсу меньших размеров (рис. 4.20, б). Объяснить, как работают стержни фермы в обоих случаях.

Рис. 4.20

Задача 4.14. Определить величины критических нагрузок P1 и P2

204

Задача 4.16. При реконструкции полиграфического предприятия необходимо рассчитать критическую силу для колонны переменного сечения (рис. 4.23). Определить величину наименьшей критической силы.

I (x) I0 x (I1 I0 )

λ

I1

λ

I

I0

Рис. 4.23

Задача 4.17. Определить величину критической нагрузки для системы перекрестных балок одинакового поперечного сечения EI (рис. 4.24). Связи между продольными и поперечными балками в местах их пересечения не могут воспринимать крутящие момен-

ты [3].

205

Рис. 4.24

Задача 4.18. Определить qкр для сжатой прямоугольной плас-

тинки [3] (рис. 4.25).

Задача 4.19. Определить qкр для сжатой круглой пластинки [3] (рис. 4.26).

Задача 4.20. Определить qкр для сжатого круглого кольца [3] (рис. 4.27).

206

Задача 4.21. Определить приближенно величину критической нагрузки для сжатой двумя силами пластинки (рис. 4.28) [4].

q q

4.3. Ответы и решения к главе 4

Задача 4.1.

1. Статический способ. Дифференциальное уравнение равновесия стержня в момент потери устойчивости (рис. 4.29).

решение которого имеет вид [5]:

y(x) c1 cos nx c2 sin nx c3x c4. n2 n2

Выполняя граничные условия:

207

получаем систему однородных линейных алгебраических уравнений, которая имеет решение в случае равенства нулю определителя:

Раскрыв определитель, получаем уравнение:

2. Энергетический способ. Задаемся уравнением изогнутой оси стержня в момент потери устойчивости y(x) Ax2. Этим выполня-

ются граничные условия при x 0 для стержня. Статические граничные условия при x λ при применении энергетического метода выполнять необязательно [4].

Величина наименьшей критической силы определяется из выражения:

что превышает точное значение на 21,6 %*.

* Доказано, что энергетический способ дает завышенное значение критических нагрузок [4].

208

Более точное значение для первой критической силы можно получить, приняв выражение изогнутой оси стержня в момент потери устойчивости в виде ряда:

y(x) x2 A0 A1x A2 x2 ... .

3. Динамический способ. Располагаем сосредоточенную точечную массу M в точке приложения силы P. Тогда изгибающий момент (рис. 4.30) в сечении с абсциссой x равен:

M (x) P f y m λ x dd2t2y *.

С другой стороны:

M (x) EI d2 y . dx2

Приравнивая эти два выражения, получаем дифференциальное уравнение:

* Весмассысчитаеммалымпосравнениюсвеличинойсжимающейсилы.

209

После подстановки и сокращения на ei t приходим к дифферен-

Выполнение граничных условий приводит к определителю:

Раскрывая определитель, получаем трансцендентное уравнение:

что подтверждает полученный выше результат.

210