Теория сооружений

Энергетический:

Pкр 15,914 EI .

λ2

Задача 4.7. Построим в заданной системе эпюру продольных сил

(рис. 4.39).

Рис. 4.39

Характер эпюры N говорит о том, что сечение над опорой B не смещается по горизонтали. Поэтому для Pкр имеем при очертании

оси балки в момент потери устойчивости y x a1x λ x .

Для проверки используем метод перемещений (рис. 4.40), приняв за неизвестное угол поворота сечения над опорой В.

Уравнение устойчивости

221

На рис. 4.41 дана графическая интерпретация получения решения.

Задача 4.8. Построим эпюру продольных сил в неразрезной балке (рис. 4.42). Если n 1, то на участке балки АВ действует растягива-

ющая сила. Основная система метода перемещений и единичная эпюра приведены на рис. 4.43.

(n-1)P

Рис. 4.42

222

тыми концами.

Задача 4.9. Приводим решение, данное В. И. Феодосьевым [2] (рис. 4.44), в редакции автора.

Составляем дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса, полагая, что перемещения малы.

Введем систему координат x, y, z (рис. 4.45). В сечении x изгибающие моменты от силы P и момента M будут в плоскости xy:

Py и Мz .

Знак «плюс» и «минус» перед моментом берется в зависимости того, направлен ли момент в сторону увеличения или уменьшения положительной кривизны в соответствующей плоскости изгиба.

Если принять, что жесткости на изгиб в плоскостях xy и xz одинаковы, то уравнения упругой линии можно написать в виде:

Решение этой системы возьмем в виде:

yAcos 1x Bsin 1x C cos 2 x Dsin 2 x;

zAsin 1x B cos 1x C sin 2 x D cos 2 x,

224

В случае шарнирного закрепления стержня имеем следующие

при x λ y z 0.

Отсюда получаем четыре уравнения:

A C 0, B D 0;

Acos 1λ Bsin 1λ C cos 2λ Dsin 2λ 0, Asin 1λ B cos 1λ C sin 2λ D cos 2λ 0 .

Приравнивая к нулю определитель этой системы, получаем:

cos 2 1 λ 1,

или

2 1 λ 0, 2 ; 4 ;...

Но согласно уравнению (4.12):

225

Таким образом, при увеличении растягивающей силы P критический момент возрастает. Если сила P – сжимающая, момент M уменьшается. При сжимающей силе P Pэ величина Mкр, как и сле-

довало ожидать, равна нулю.

Задача 4.10. Задачу будем решать энергетическим способом, считая колонну стержнем, защемленным внизу и шарнирно-опертым вверху. Рассмотрим форму потери устойчивости стержня (рис. 4.46).

Задаемся формой потери устойчивости на участке ОА стержня через y(x). Тогда вертикальное перемещение точки приложения

силы Р будет равно:

1λ a dy 2dx a 1 cos . 2 0 dx

226

Приравнивая работу силы Р энергии изгиба стержня, получаем:

При использовании метода перемещений для решения этой задачи

смотри задачу 4.11. При целой колонне Pкр 20,19 EI .

λ2

Задача 4.11. Проще всего эту задачу решать методом перемеще-

ний (рис. 4.47).

На рис. 4.48 приведены основная система метода перемещений и единичная эпюра.

2

Рис. 4.48

227

При потере устойчивости второго стержня и при 2:

То есть, первым потеряет устойчивость при 2 второй стержень.

Задача 4.12. Из условия равновесия узла (рис. 4.49) находим продольные силы в стержнях (рис. 4.50).

228

Приравниваем это выражение критической силе для шарнирноопертого стержня:

отсюда получаем

Задача 4.13. При подъеме фермы краном ее элементы работают на нагрузку от собственного веса и сил инерции. При использовании траверсы картина знаков усилий в стержнях фермы примерно изображена на рис 4.51.

Рис. 4.51

При подъеме траверсой меньших размеров картина знаков сохранится, но значительно увеличатся усилия в стержнях верхнего и нижнего поясов.

Задача 4.14. Определение критических сил P1 и P2 в плоской ра-

ме (рис. 4.52). Принять EI1 EI2 EI; EI3 3EI; h1 2 м; h2 6 м;

λ 9 м.

Определение критических сил выполним методом перемещений. Заданная система, основная система и единичные эпюры показаны на рис. 4.52–4.54.

229

Рис. 4.54

Коэффициенты канонических уравнений метода перемещений равны:

230