Теория сооружений

Задача 4.2. При увеличении температуры на t градусов в стержне появится продольное усилие X1 EA t. В момент потери устой-

чивости по Эйлеру X1 42 EI . Отсюда следует:

λ2

Последний множитель в этом результате представляет квадрат радиуса инерции сечения стержня [5]. Некоторые замечания по поводу полученного решения можно найти в [2].

Задача 4.3. Способ 1 – метод перемещений (горизонтальное пе-

ремещение в месте введенной связи равно нулю) (рис. 4.31).

211

Способ 2 – энергетический. Задаемся формой потери устойчивости стержня в виде:

y(x) ax λ x

и находим Pкр:

Более точное значение критической силы энергетическим спо-

собом можно получить, приняв y(x) a sin x . Тогда получим

λ

Pкр 2 2 ЕI, что отличается от точного значения на 1,038 %.

λ2

Задача 4.4. Приводим решение, данное В. И. Феодосьевым [2] (рис. 4.32).

Рассмотрим стержень в изогнутом состоянии при отброшенной верхней опоре. Вертикальную реакцию этой опоры обозначаем че-

рез P1, а горизонтальную – через Q.

212

Первый вопрос, который здесь возникает, – это вопрос о величине этих реакций. Сила Q определяется из условия равенства ну-

лю моментов относительно точки A, что дает:

Q P f .

λ

До начала выпучивания сила P1 P / 2. Поскольку отклонение

от прямолинейной формы может быть принято сколь угодно малым, при выпучивании силу P1 можно также считать равной P / 2.

Теперь составляем дифференциальные уравнения изогнутой оси стержня по участкам:

213

Следовательно,

1.B 0.

2.Ash 2λ B ch 2λ f f .

3.C sin 2λ D cos 2λ f f .

4.A ch λ B sh λ 2 f C cos λ D sin λ 2 f . 2 2 λ 2 2 λ

5. C sin λ D cos λ 0.

Из этих уравнений вытекает, что A 0 (т. е. верхняя часть стержня не искривляется). Последние три уравнения принимают вид

C sin λ D cos λ 0.

В том случае, когда определитель системы не равен нулю, все постоянные C, D, f равны нулю. Тогда y1 y2 0 и стержень

остается прямолинейным. Решение может быть не нулевым, если определитель равен нулю. Это дает возможность найти критическую силу P

откуда

214

Если бы верхний конец стержня имел возможность смещаться по вертикали, критическая сила была бы в четыре с лишним раза

меньше, т. е. 18,7EI /λ2.

Теперь получим решение этой задачи (рис. 4.32) методом перемещений. Основная задача метода перемещений, эпюра продольных сил в стержне, единичные эпюры показаны на рис. 4.33.

Нужно подчеркнуть, что формулы специальных функций [6] при расчете на устойчивость справедливы при действии растягивающих сил. Поэтому

215

Наименьшая критическая сила соответствует обращению знаменателя в бесконечность. Это происходит при:

216

Задача 4.5. Способ 1. Метод перемещений.

Основная система метода перемещений и единичная эпюра приведены на рис. 4.34. Находим

Способ 2. Энергетический. Задаемся формой потери устойчивости

217

При EI1 2EI2; λ1 λ2 λполучаем

Pкр 2,96 EI .

λ2

Способ 3. Рассматриваем систему как стержень с упруго-защем- ленной опорой (рис. 4.35).

Жесткость упругого защемления находим по таблицам метода перемещений (рис. 4.36, см. табл. 4.1)

r 4EI1 2 ν1 .

λ

и уравнение устойчивости

что совпадает с уравнением устойчивости по способу 1.

218

Задача 4.6. Способ 1. Метод перемещений. Основная система ме-

тода перемещений, единичные эпюры показаны на рис. 4.37 и 4.38.

Рис. 4.37

219

Получаем два корня. Первое решение

что соответствует критической силе для шарнирно-опертого стержня без упругой опоры.

Второе решение: rλ3 1 , т. е. критический параметр за48EI

висит от r,λ, EI.

Способ 2. Энергетический. Задаемся формой потери устойчивости в виде параболы четвертой степени, симметричной относитель-

но середины стержня (рис. 4.38) y(x) a x4 bx2 c . Так как при