Теория сооружений

Обозначим

Рис. 3.48

и частота собственных колебаний определяется по формуле

181

В случае 2 (рис. 3.49) складываются податливости пружин

Риc. 3.49

и частота собственных колебаний определяется по формуле

Задача 3.23. При равномерном движении [5] растягивающая сила в тросе равна весу груза W и удлинение троса в любой момент вре-

мени δст WEA . Благодаря начальной скорости x0 поднимаемый груз

не остановится сразу, а будет колебаться на тросе. Отсчитывая время от некоторого произвольного момента, видим, что перемещение поднимаемого груза от положения равновесия в рассматриваемый момент времени равно нулю, тогда как скорость равна x0 (рис. 3.50).

Из общего решения колебаний системы с одной степенью свободы

182

Тогда максимальное удлинение троса δmax δст ωx , а макси-

Задача 3.24. Используя метод Ритца, можно описать прогибы балки под действием статически приложенной силы P [5]

С другой стороны, после снятия силы свободные колебания балки описываются уравнением [5, формула 136]

где ωi собственные частоты колебаний балки. В нашем случае начальные условия следующие

183

Из второго условия сразу следует Di 0, а первое условие дает

Приравнивая коэффициенты при синусах кратных углов, получаем

i 1

Ci 2P 4 1 2 .

π4EI i4

И свободные колебания балки описываются рядом

Задача 3.25. Закон колебаний балки в случае начальных условий

определяется уравнением [5]

184

Этот результат можно записать в иной форме, если подставить

собственные частоты шарнирно-опертой балки с равномерно распределенной массой.

Задача 3.26. Определим усилие, действующее на шар со стороны троса (см. рис. 3.23). Горизонтальная проекция усилия в тросе постоянна и равна S. Обозначим – удлинение троса при колеба-

ниях, тогда усилие в нем EA , а вертикальная проекция усилия

185

Поэтому уравнение колебаний шара будет описываться нелинейным дифференциальным уравнением

Можно получить более точное решение, если принять

Получается так называемое уравнение Дюффинга

Mx 2S x EA x3 0,

3

решение которого выражается через эллиптические функции [5].

Задача 3.27. В вертикальном положении при транспортировке стеновая панель работает как балка-стенка, то есть, как в составе здания, где она будет монтироваться и в дальнейшем эксплуатироваться (рис. 3.52).

186

y

Рис. 3.54

В случае защемления по контуру (рис. 3.55)

где E, ν – упругие постоянные материала плиты; h – толщина плиты.

y

Рис. 3.55

Определяем основные частоты колебаний плит как для системы с одной степенью свободы по формуле

ω1 δтп1M ,

где M – приведенная сосредоточенная масса в центре плиты.

188

Задача 3.29. Примем за уравнение изогнутой поверхности квадратной плиты (рис. 3.56)* следующее

b

y

Рис. 3.56

Тогда прогиб начала координат от единичной силы по методу Ритца

где γ – объемная плотность материала пластинки.

Отметим, что в задачах 3.28 и 3.29 автор Н. Н. Безухов рассматривал плиту как систему с одной степенью свободы, причем вели-

* При таком представлении прогибов в плите отсутствуют деформации кручения.

189

чина сосредоточенной массы в центре плиты (см. рис. 3.27) определялась через коэффициент приведения [9], равный

Задача 3.30. Используем метод Ритца [5] (см. рис. 3.28). Прини-

Условие минимума квадрата собственной частоты имеет вид [5]

При удержании только одного члена ряда получаем после дифференцирования функционала

Для получения более точного результата удержим в ряде для прогибов два члена. В результате получим

190