Теория сооружений

в силу нелинейности продольных колебаний стержня. Поэтому используем метод Ритца. Принимаем x Acosωt и поперечное сечение стержня прямоугольным.

Тогда максимальное значение потенциальной энергии продоль-

тоестьчастотапродольныхколебанийзависитотначальныхусловий.

171

Так как A – характеризует отклонение массы в начальный момент времени, это явление называется неизохронностью [11].

Задача 3.12. При решении задачи используем формулу

Задача 3.14. На рис. 3.41 показаны сосредоточенные массы, к которым приведена распределенная по стержню масса.

172

На рис. 3.42 – единичные эпюры для определения δ11, δ12 , δ22.

Условие для нахождения двух частот собственных продольных колебаний стержня имеет вид определителя

Задача 3.15. Предположим, что гибкая струна натянута между двумя точками О и А на расстоянии (рис. 3.43), и величина натяжения равна T [3]. Определим работу сил натяжения T струны

y

Рис. 3.43

Это является потенциальной энергией струны. Кинетическая энергия колеблющейся струны равна

Kρ dy 2dx, 2 0 dt

где – погонная плотность материала струны.

Задаваясь законом колебаний струны в наиболее простой форме

y x,t Ax x cosωt,

173

Задача 3.16. Одной из первых реальных форм собственных колебаний модели жилого дома будет крутильная (или изгибнокрутильная). Модель в виде консольного стержня с сосредоточенными точечными массами не позволяет определить эти формы и соответствующие им частоты.

Задача 3.17.* Определяем ориентировочно часть энергии удара П, которая в виде волны доходит до фундаментов комплекса (см.

рис. 3.14)

Считаем, что вся энергия U заставляет колебаться спорткомплекс с максимальной амплитудой виброскорости v0

Если принять динамическое воздействие волн на фундаменты спорткомплекса гармоническим с частотой f

* Авторы отдают себе отчет в приближенности предлагаемого ими решения, однако точное решение этой задачи до настоящего времени им неизвестно.

174

Тогда виброускорение комплекса

Максимальное значение виброускорения

Суммарная сила инерции, приходящаяся на массу всего спорткомплекса, равна

Тогда получим

Задача 3.18. Приводим без изменения решение этой задачи, данное в [4]. Автомобиль имеет вес 4000 фунтов (1,812 т), и жесткость его рессор по результатам эксперимента характеризуется прогибом 0,08 дюйма (0,203 см) при дополнительной нагрузке 100 фунтов (45,3 кг). Профиль моста (см. рис. 3.15) представлен синусоидой с длиной волны 40 футов (12,19 м) (длина пролетного строения моста) и амплитудой 1,2 дюйма (3,05 см). Для этих исходных данных требуется определить параметры стационарных вертикальных колебаний внутри автомобиля, когда он движется со скоростью 45 миль в час (72,4 км/ч) при затухании, равном 40 % критической величины.

175

Передаточное число для этого случая определяется выражением (3.38) из [4], и амплитуда вертикальных колебаний равна:

Следует также отметить, что при нулевом затухании ξ 0 ам-

Эта величина превышает возможности деформирования рессор и не имеет практического смысла, но наглядно иллюстрирует способность амортизаторов удара ограничивать колебания от неровностей поверхности дороги.

176

Задача 3.19.* Решение дифференциального уравнения свободных колебаний шарнирно опертой балки пролетом 2 с равномерно распределенной массой (рис. 3.44)

q

Перемещение шарнирно-опертой балки от статического действия равномерно распределенной нагрузки q и центрально прило-

женной силы P (рис. 3.45).

* В современной отечественной нормативной литературе подобный расчет носит название расчета на прогрессирующее разрушение.

177

Задача 3.20. После остановки груза он начинает колебаться около положения статического равновесия (рис. 3.46). Частоту колебаний можно определить по формуле

EA l

W

v

V

Рис. 3.46

178

Закон колебаний соответствует колебанию системы с одной степенью свободы

y t Acosωt Bsin ωt,

Задача 3.21. В монографии [5] дано решение задачи о действии гармонической силы P P0 sin θt, приложенной на расстоянии c от

левой опоры шарнирно опертой балки (рис. 3.47).

179

Из этого решения можно получить выражение для установившихся колебаний балки, когда к левой опоре приложен гармонический момент M sin θt.

В результате получаем

Таким образом, середина балки, где находится груз W, совершает гармонические колебания по закону

y1 – дополнительное перемещение груза [5]. Суммарная сила инерции

I wg y.

Вызванный ею дополнительный прогиб получим в виде

y δ11 I δ11 wg y1 .

180