Теория сооружений

1p θ2y0 μ 1p y0 , 1 ω2

Задача 3.5. Необходимо воспользоваться формулой

ωg .

ст

Откуда ст ωg2 9,81 м/с12 0,013 м. 738,5 с2

Задача 3.6. Определим коэффициент постели (рис. 3.35) грунтового основания из формулы

161

Круговая частота вертикальных колебаний здания

k

Рис. 3.35

Будем рассматривать здание как жесткую систему с одной степенью свободы (рис. 3.36). При вращательных колебаниях горизон-

тальная скорость массы v φ hc и кинетическая энергия при крутильных колебаниях ( – угловая скорость)

Z

M

hc

162

Максимальное значение кинетической энергии при условии

Потенциальная энергия определяется как энергия деформации упругого основания Винклера и равна (см. рис. 3.36)*

Приравнивая максимальное значение кинетической и потенциальной энергий, получаем для частоты вращательных колебаний здания

ω2 kb 3 .

12 Mhc2

Задача 3.7. Маятниковые колебания нити – это колебания нити вокруг оси (хорды), соединяющей точки ее подвеса [1]. При этом колеблющаяся нить всегда находится в плоскости, проходящей через точки ее подвеса (рис. 3.37).

* b – ширина здания. Здесь рассматриваются плоские вращательные колебания.

163

Это допущение позволяет использовать уравнение плоских колебаний математического маятника [1].

Зададимся отклонением положения плоскости нити на угол β.

Рассмотрим движение элементарного отрезка нити с координатами x, y (см. рис. 3.37). Пренебрегая влиянием сил трения, запишем уравнение движения в виде

β g sinβ 0,

где g – ускорение свободного падения;

L/2

y2ds

L

принять за параболу,

0,5 f ,

где k Hq ;

H – натяжение в самой низшей точке; q – нагрузка на единицу длины нити;

f – стрела провеса нити; L – пролет нити.

164

В предельном случае, когда стрела прогиба нити значительно превосходит длину ее пролета f =L :

0,576 f .

Для малых углов отклонения β получаем линейное уравнение колебаний:

β ω2β 0,

где частота собственных колебаний плоскости нити

Частота малых колебаний ω не зависит от начальных условий и определяется только длиной эквивалентного маятника.

165

Для получения приближенного решения уравнения при больших β заменяют sinβ его разложением в ряд и, ограничиваясь первыми

двумя членами, получают уравнение вида

где значение ω дано формулой (3.5).

Полученное решение отличается от решения (3.6) на величину

Период маятниковых колебаний с любой конечной амплитудой

Значения K и множителя 1 β2 приведены в табл. 3.1.160

Как видно из таблицы, при β0 20o ошибка, которую мы делаем, определяя период колебаний, не превосходит

1,5828 1,5708 0,8 %.

1,5708

166

Задача 3.8. Примем уравнение изогнутой оси стержня (рис. 3.38) в момент потери устойчивости (см. задачу 3.2) в виде

l

Рис. 3.38

Величина критических сил определяется из системы линейных уравнений, полученных из условия минимума частного для определения частоты собственных колебаний стержня с учетом действия продольных сил*.

* Сжимающая продольная сила уменьшает частоты собственных колебаний стержня.

167

откуда определяются две первые частоты собственных колебаний сжатого стержня.

Обращаем внимание читателей на то, что задачи расчета сжатых стержней на устойчивость рассматриваются в главе 4 данного сборника. Несмотря на это, авторы считают корректным привести продолжение решения данной задачи, в части определения критической силы.

Для определения Pкр уравнение имеет вид

откуда P1 r ; P2 10EI .

2

168

Нужно отметить, что критическая сила P1 соответствует потери

устойчивости стержня за счет только деформации пружины; критическая сила P2 за счет только деформации изгиба шарнирно-опер-

того стержня (точное решение Pкр π2EI ).

2

угловое перемещение конца стержня от действия единичного крутящего момента; M – момент инерции вращающего цилиндра относительно оси вращения. В нашем случае [9] (см. рис. 3.8)

2 способ. Решаем задачу методом Ритца. Задаемся законом крутильных колебаний цилиндра

φ Asin ωt,

где угловая скорость ddφt Aωcosωt.

Кинетическая энергия вращающегося цилиндра [9]

K1 m 3 A2ω2 cos2 ωt. 2 12

Изменение угла закручивания по длине вертикального стержня

(см. рис. 3.8)

θ φh y.

169

Энергия деформации кручения вертикального стержня

Приравнивая максимальные значения кинетической и потенциальной энергий, получаем

m 3 ω2 GT ,

12 h

откуда следует ранее полученный результат.

Задача 3.10. Вертикальное перемещение поплавка от единичной вертикальной силы (рис. 3.39) на основании закона Архимеда

1 , где S – площадь (горизонтальная) контакта поплавка

gS

с водой; – плотность воды.

1

M

11

Рис. 3.39

Тогда

Задача 3.11. При определении первой частоты продольных колебаний стержня (рис. 3.40) с учетом нелинейно упругой зависимости

170