Теория сооружений

Рис. 3.19

Задача 3.23. Груз весом (рис. 3.20) поднимается подъемным механизмом с постоянной скоростью V . Определить максимальное напряжение в тросе, когда во время движения внезапно останавливается барабан, наматывающий его верхний конец [5].

EA l

W

V

Рис. 3.20

Задача 3.24. Свободно опертая балка изгибается силой P, при-

ложенной посередине (рис. 3.21). Какие колебания балки возникнут, если сила P будет внезапно снята?

151

Задача 3.25. В начальный момент времени t 0 ось шарнирно опертой балки (рис. 3.22) прямолинейна, но вследствие удара задана начальная скорость V короткому участку балки, расположенному на расстоянии c от левой опоры. Найти закон колебаний балки после удара [5].

V

EI

Рис. 3.22

Задача 3.26. Небольшой шар массой M прикреплен к середине туго натянутого троса длиной 2l (рис. 3.23). Трос не сопротивляется изгибу и имеет большое предварительное натяжение S.

Определить период колебаний массы M [5].

Рис. 3.23

3.3. Динамические расчеты пластинок

Задача 3.27. Нормами [6] рекомендуется транспортировка стеновых панелей в вертикальном (рабочем) положении (рис. 3.24) на панелевозах. Объяснить, почему эти панели нельзя перевозить в горизонтальном положении?

152

Панели

Трапеция панелевоза

Рис. 3.24

Задача 3.28. Сравнить частоты основного тона свободных колебаний плиты прямоугольной формы в случае свободного опирания (рис. 3.25) и в случае защемления по контуру (рис. 3.26) [7].

y

Рис. 3.25

y

Рис. 3.26

153

Задача 3.29. Квадратная плита со стороной 2a оперта по четырем углам (рис. 3.27). Определить частоту основного тона ее свободных колебаний [7].

b

y

Рис. 3.27

Задача 3.30. Определить частоту основного тона свободных колебаний круглой плиты (рис. 3.28), защемленной по контуру [5].

D,

r

a

Рис. 3.28

Задача 3.31. Полукруг (рис. 3.29) совершает колебательные движения, перекатываясь без трения по горизонтальной плоскости. Определить круговую частоту малых колебаний, если r – радиус

полукруга, c – координата центра тяжести, i2 Igw – квадрат радиуса инерции относительно центральной оси [5].

154

Рис. 3.29

3.4. Ответы и решения к главе 3

Задача 3.1. Учитывая невозможность изгибных колебаний стержня, задаемся y(x) Ax (рис. 3.30).

Рис. 3.30

Тогда максимальное значение потенциальной энергии колеблющихся масс будет равна потенциальной энергии пружин

u 12 r A 2 12 r A 2 2 .

Максимальное значение кинетической энергии колеблющихся масс

155

Откуда получаем для частоты вращательных колебаний

Задача 3.2. Задаемся формой колебаний (рис. 3.31)

Потребуем, чтобы при x 0 выполнялись граничные условия для перемещений x 0: y 0 и для изгибающих моментов при

x 0, : d2 y 0. dx2

y

m

EI r x l

Рис. 3.31

Граничное условие для перемещений и моментов при x 0 выполняется автоматически. Оставшееся граничное условие дает связь между коэффициентами a3 и a5

a5 103 a3.

Поэтому базисная функция, удовлетворяющая нулевому прогибу при x 0 и отсутствию моментов по краям балки примет вид

156

Частота собственных колебаний определяется из выражения

Будем искать такие значения коэффициентов a1, a3, которые со-

общают этому выражению наименьшие значения, что приводит к условию обращения в ноль определителя, из которого можно най-

ти 1 и 2.

Задача 3.3. Необходимо определить частоты, соответствующие вертикальным и вращательным колебаниям. Для вертикальных колебаний имеем ( r – погонная жесткость).

Для вращательных колебаний находим кинетическую энергию

157

Потенциальная энергия упругого основания

Приравнивая максимальные значения кинетической и потенциальной энергий, получаем

Вращательную частоту собственных колебаний можно найти по общей формуле

ωгор δ 1M ,

11

где δ11 – есть горизонтальное перемещение от единичной силы, приложенной к массе (рис. 3.33).

158

Так как расчет системы с одной степенью свободы на кинематическое возбуждение сводится к расчету системы на действие динамической силы [8]

P t Mθ2 y0 sin θt,

то перемещение массы M будет равно

y t δ11 I1 t y0 t 1p t ,

где 1p t – перемещение массы, вызванное силой P t .

δ11 – перемещение массы от статического действия единичной силы. Определяется по формуле (пренебрегается кривизной балки).

δ11 483 I 2r

E

Очевидно

It Mθ2 y0 y1 sin θt

идля амплитудных значений

160