Теория сооружений

Точка A перемещается вверх.

Таким образом, точка А полуокружности перемещается вправо и вверх.

Задача 2.22. В изогнутой доске возникает горизонтальная составляющая опорной реакцииH, которая приподымаеткирпич (рис. 2.101). Вертикальная составляющая опорной реакции V мала по сравнению с Н при отсутствии на доске кирпичей.

V

H

Рис. 2.101

101

а) Обозначая вертикальную реакцию средней опоры через X1, находим усилия во всех стержнях фермы. Здесь h1 h2 2d sin .

б) Записываем потенциальную энергию фермы (функционал Кастильяно):

в) Дифференцируем энергию U по неизвестному X1 и прирав-

ниваем полученную производную к нулю (в состоянии статического равновесия потенциальная энергия имеет минимум):

U 0.X1

Полученное уравнение линейно относительно X1 , что позволяет

сразу найти усилия во всех стержнях. Для проверки правильности вычислений можно выполнить кинематическую проверку. На рис. 2.104

показаны усилия в стержнях фермы от X1 1.

Рис. 2.104

При d 2 м, h 3 м, P1 10 кН, P2 10 кН, EA – по рис. 2.104,

получаем:

103

Задача 2.26. Вырежем замкнутым сечением фермочку 1–2–3 (рис. 2.105). Для каждого из узлов 1, 2, 3 составим уравнение равно-

весия, как сумму усилий N12 , N23, N13, на направление, перпенди-

кулярное стержням фермы, показанных на рис. 2.105, а пунктиром. Получается система из трех линейных алгебраических уравнений с нулевыми свободными членами. Откуда следует N12 N23 N13 0.

Свободный член появится, когда к узлу 3 будет приложена вертикальная сила. Тогда эти усилия будут отличны от нуля.

1 N12 2

3 P

Рис. 2.105

Задача 2.27. При подъеме без траверсы усилия в стропах S'' значительно превышают усилия в стропах при подъеме с траверсой S'

(рис. 2.106), так как α > β.

104

Задача 2.28. Аналитически усилие в стержне 1–2 найдем по методу сечений. Опорные реакции от неподвижной нагрузки, расположенной симметрично, будут равны между собой и имеют значе-

ние: VA VB 2P 2P1.

Проводим сечение I–I через стержень 1–2. Рассматриваем равновесие левой части фермы:

MOлев VA 3,75 P2 3,75 P (3,75 3,75) P1 (3,75 3)

P1 (3,75 6) N12 sin (3,75 6) 0,

Откуда: N12 0,215 P 1,033 P1.

Строим линии влияния усилия в стержне 1–2 при езде понизу и поверху (рис. 2.107). Проводим сечение I–I через стержень 1–2.

Для построения правой ветви составим уравнение:

MOлев VA 3,75 N12 sin (3,75 6) 0.

Правая ветвь пересекает левую под моментной точкой O и проходит через левую опору A. Уравнение правой ветви можно получить, составляя уравнение:

MOлев VB (15 3,75) N12 cos 3 N12 sin (3,75 7,5) 0,

105

Рис. 2.108

Задача 2.30. Нужно найти такое направление полного перемещения, чтобы точки B и D совпали (рис. 2.109), так как u1, u2 –

проекции полного перемещения на оси 1 и 2. То есть, точка C конца вектора полного перемещения есть точка пересечения перпендику-

ляров, восстановленных из концов отрезков u1 и u2.

1

B C

2

Рис. 2.109

Задача 2.31. Раскладываем нагрузку на симметричную и антисимметричную (рис. 2.110, а и б). Тогда симметричное нагружение

силами P2 соответствует загружению однопролетной балки силой P2 (см. рис. 2.110, а), а антисимметричное – загружению шарнир-

107

Рис. 2.112

Составим уравнение трех моментов для опоры i:

Mi 1a 2Mi a a Mi 1a 0

или

откуда следует k 2 3.

Моментное фокусное отношение всегда > 2 [14], поэтому дей-

ствительным фокусным отношением является k 2 3. Изгибающий момент на i-й опоре примерно будет равен

Mi M i 1 . 2 3

Угол поворота i на i-й опоре определяется перемножением

грузовой эпюры (рис. 2.112) на единичную (рис. 2.113), то есть по правилу Симпсона:

109

M 1

1

Рис. 2.113

Задача 2.34. См. решение задачи 2.31.

Задача 2.35. Данная система однажды статически неопределима, поэтому расчет будем вести методом сил, выбрав за основное неизвестное горизонтальную составляющую реакции на левой опоре

(рис. 2.114).

q

h

b

ℓ

X1

Рис. 2.114

Так как X1 действует с эксцентриситетом относительно оси балки, то от его действия возникают усилия M1 и N1 (рис. 2.115). Нахо-

дим коэффициенты уравнения метода сил 11 X1 1P 0, выра-

жающее условие отсутствия горизонтального перемещения низа балки на левой опоре.