Теория подвижного состава. Ч. 2. Криволинейное движение, устойчивость, колебания и плавность хода подвижного состава

Решение для гармонического составляющего колебаний на любой частоте будем искать в виде:

Подставим значения координат z1, z2 и их вторых производныхz1, z2 из уравнений (6.14), (6.15) в систему уравнений (6.3):

Из полученных уравнений найдем коэффициенты распределения колебаний на низкой н и высокой в частотах:

жениям (6.12), 1 < 2, т. е. 1 = н, 2 = в. В результате получим:

211

2

н н 2 н ;

2 н

в 1 2в .2в в

Поскольку н < н, в > в, а 1 и 2 положительны, то, согласно с выражениями (6.11), получаем н > 0, в < 0. Следовательно, гармонические составляющие колебаний точек А и В на низшей

частоте н совпадают по фазе, а на высокой частоте в происходят в противофазе. На рис. 6.9 дано схематическое изображение ампли-

туд колебаний Ан1, Ан2 с низкой частотой н и Ав1, Ав2 с высокой частотой в при условии, что передняя подвеска более «мягкая», чем задняя, т. е. ст1 > ст2. Свободные колебания кузова на низкой частоте можно представить как угловые гармонические колебания вокруг неподвижной точки Р, а колебания на высокой частоте – как угловые колебания вокруг неподвижной точки Q.

Рис. 6.9. Формы свободных колебаний подрессоренной массы подвижного состава: а – с низкой собственной частотой н; б – с высокой собственной частотой в

Точки Р и Q называются центрами колебаний. Положение центров колебаний зависит от коэффициентов жесткости упругих элементов подвески и распределения масс. Точка Р находится вне базы под-

вижного состава (сзади, если ст1 > ст2, или спереди, если ст1 < ст2), а точка Q – внутри базы. При вынужденных колебаниях, возбуждае-

212

мых неровностями опорной поверхности, постоянных центров колебаний не существует. Они имеют место только при свободных колебаниях.

Из рис. 6.8 следует, что при 2y ab подпрыгивание подрессо-

ренной массы соответствует низкой собственной частоте, а галопирование – высокой. Галопирование – более нежелательный вид колебаний, чем подпрыгивание, особенно при низких частотах и при больших амплитудах, так как при этом возникают большие горизонтальные составляющие колебаний.

При 2y ab коэффициенты связи колебаний 1 и 2 отрицательны (см. формулы (6.11)), в результате оказывается, что н < 0,

ав > 0. В этом случае галопирование возникает на низкой частоте,

аподпрыгивание – на высокой. Это характерно для короткобазных колесных машин, особенно в случае, если двигатель и трансмиссия

расположены вне базы, так как при этом возрастает радиус инерции у. Низкочастотный резонанс возникает обычно при небольших скоростях подвижного состава, так как частота воздействий неровностей опорной поверхности пропорциональна скорости и сопровождается большими амплитудами колебаний. Поэтому склонность подвиж-

ного состава к галопированию на низкой частоте является большим и серьезным его недостатком.

Определим, от каких параметров подвески зависит предельное допустимое ускорение zдоп подрессоренной массы, превышение ко-

торого приводит к пробою подвески. Из выражений (6.15) следует, что амплитуда ускорения подрессоренной массы пропорциональна

амплитуде колебаний А и квадрату собственной частоты . При небольшой разнице между 2y и ab вместо можно принять парциаль-

ную частоту . Полагая А = fсж, найдем значение zдоп по формуле:

zдоп 2 fсж

или с учетом выражений (6.11):

zдоп gfсж / fст.

213

Так как троллейбус предназначен для перевозки пассажиров по хорошим дорогам, отношение fсж / fст выбирают меньше единицы, причем чем выше требования к комфортабельности, тем оно меньше.

По статистическим данным полный ход зависимой подвески грузовых автомобилей составляет 0,16…0,22 м для переднего моста и 0,20…0,24 м для заднего.

Таким образом, значение статического прогиба подвески fст определяют по формулам (6.11) в зависимости от выбранного значения низкой парциальной частоты , а fсж выбирают в зависимости от состояния опорной поверхности.

Исходные данные

1.Исследуемый подвижной состав (указывается: троллейбус или трамвай).

2.Подрессоренная масса подвижного состава, кг.

3.Координата центра масс «a», м:

–минимальная;

–максимальная.

4.База подвижного состава, м.

5.Коэффициент распределения подрессоренной массы (выбирается студентом самостоятельно).

6.Жесткость подвески (жесткость центрального подрессоривания), кН/м:

– передней;

– задней.

7.Жесткость шин (жесткость буксового подрессоривания), кН/м:

– передних;

– задних.

8.Начальные условия:

по координате z1 (точка A):

–перемещение, м;

–скорость, м/с;

–ускорение, м/с2.

по координате z2 (точка В):

–перемещение, м;

–скорость, м/с;

–ускорение, м/с2.

214

Варианты заданий

В часы самоподготовки в соответствие с вариантом задания подготовить исходные данные для исследований свободных колебаний подрессоренной массы подвижного состава, последовательность и размерность которых должны соответствовать пункту «Исходные данные».

После выполнения лабораторной работы построить формы свободных колебаний подрессоренной массы подвижного состава, рассчитать статический прогиб упругих элементов и допустимое ускорение, при котором не происходит пробой подвески, оформить отчет в соответствие с требованиями.

215

Контрольные вопросы

1.Что понимается под свободными колебаниями и когда они возникают у троллейбуса и трамвая?

2.Что понимается под приведенным (эквивалентным) упругим элементом и приведенным (эквивалентным) диссипативным элементом. Как они рассчитываются?

3.Что понимается под парциальными частотами и частотами связи? Как они рассчитываются?

4.Что в системах дифференциальных уравнений называют коэффициентами связи? В чем их физический смысл?

5.Что понимается под коэффициентом распределения подрессоренной массы и как он рассчитывается?

6.Каков физический смысл, если коэффициент распределения подрессоренной массы равен единице? Чему в этом случае равны коэффициенты связи в системе дифференциальных уравнений?

7.Что понимается под коэффициентом распределения колебаний? Как он рассчитывается для высокой и низкой частот, при коэффициенте распределения подрессоренной массы, равном единице?

8.Что понимается под центрами колебаний подрессоренной массы и для каких колебаний приемлемо это понятие? Где располагаются центры колебаний для низкой и высокой частоты?

9.Как влияет соотношение квадрата радиуса инерции и произведения координат центра масс а и b на возникновение колебаний подпрыгивания и галопирования подрессоренной массы при низкой

ивысокой частотах?

10.Как определить предельно допустимое ускорение подрессоренной массы, чтобы избежать пробоя подвески?

216

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 6.1.2

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОДРЕССОРЕННЫХ И НЕПОДРЕССОРЕННЫХ МАСС ПОДВИЖНОГО СОСТАВА

БЕЗ УЧЕТА ДЕМПФИРОВАНИЯ

Цель работы: исследовать свободные колебания подрессоренных и неподрессоренных масс подвижного состава без учета демпфирования (определить частоту и период свободных колебаний подрессоренных и неподрессоренных масс). Выполнить исследования колебаний масс подвижного состава с заданными параметрами и выяснить влияние неподрессоренных масс на колебания подрессоренной массы.

Краткие теоретические сведения

Выше были рассмотрены свободные колебания подрессоренной массы подвижного состава при допущении, что на нее не оказывают влияние неподрессоренные массы. Рассмотрим справедливость этого допущения для случая, когда ε = 1.

При ε = 1 и учете неподрессоренных масс одиночный подвижной состав представляет собой две независимые колебательные системы, каждая из которых имеет две степени свободы: вертикальные перемещения z подрессоренной массы и вертикальное перемещение

неподрессоренной массы. Обе системы идентичны, поэтому достаточно рассмотреть одну из них (рис. 6.10), опустив индексы 1 и 2.

Рис. 6.10. Двухмассовая динамическая система подрессоривания подвижного состава при ε = 1

217

Уравнения движения соответственно подрессоренной и неподрессоренной масс имеют вид:

где ср – жесткость упругих элементов подвесок (центрального подрессоривания);

сш – жесткость шин (буксового подрессоривания);

mп – подрессоренная масса, приходящаяся на рассматриваемую подвеску;

mн – неподрессоренная масса.

Уравнения (6.18) могут быть переписаны следующим образом:

где 2п сp / mп – парциальная частота подрессоренной массы при закрепленной неподрессоренной массе (рис. 6.11, а);

2н (сp cш) / mн – парциальная частота неподрессоренной массы при закрепленной подрессоренной массе (рис. 6.11, б);

2н сp / mн – частота колебаний неподрессоренной массы на

упругом элементе подвески при закрепленной подрессоренной мас-

се и cш 0 (рис. 6.11, в).

Рис. 6.11. Схемы колебаний с парциальными частотами:

а – подрессоренноймассы призацепленнойнеподрессоренной; б– неподрессоренной массы при закрепленной подрессоренной; в – неподрессоренной массы на упругом элементе подвески при закрепленной подрессоренной

218

Уравнения (6.19) являются связанными, так как каждое из них

включает в себя координаты z и , что указывает на неправомерность принятого ранее допущения об отсутствии взаимного влияния колебаний подрессоренной и неподрессоренной масс.

Заменим систему уравнений (6.19) уравнениями четвертого порядка:

по координате z:

Для полученных уравнений можно записать одинаковое с точки зрения математики характеристическое уравнение:

4 ( 2n 2н) 2 2n ( 2н 2н) 0.

Положительные корни этого уравнения характеризуют частоты колебаний:

низкую частоту:

2н 0,5 ( 2n 2н) ( 2n 2н)2 4 2н( н2 н2 ) ;

высокую частоту:

2в 0,5 ( 2n 2н) ( 2n 2н)2 4 2n ( 2н н2 ) .

Решение уравнений (6.20) и (6.21) имеет вид:

z z cos( nt) z cos( нt);cos( nt) cos( нt),

219

где z , z – амплитуды колебаний массы mп с частотами соответст-

венно н и в;

, – амплитуда колебания массы mн c теми же частотами.

Следовательно, как подрессоренные, так и неподрессоренные массы совершают сложные двухчастотные колебания, и подвижной

состав имеет четыре собственные частоты: две низкие (н1 и н2) и две высокие (в1 и в2). Во многих случаях н может быть близка к парциальной частоте н, а частота в – к парциальной частоте в, т. е. можно считать:

н cp / mп;

(6.22)

в (cp сш) / mн

Погрешность при определении частот н и в по формулам (6.22) зависит главным образом от отношений сш / ср и mп / mн. При расчете н погрешность определяется в основном значением отношений жесткостей и практически не зависит от отношения масс.

Например, если сш 10ср, то погрешность подсчета н по формуле (6.22) не превышает 5 % и практически не зависит от загрузки салона подвижного состава. Точность подсчета этой частоты значительно повышается, если в формулу (6.22) вместо жесткости подвески ср

подставить ее приведенную жесткость спр. Формулой н cпр / mп

можно пользоваться для расчетов низких частот практически при всех значениях отношения сш / ср, характерных для современных троллейбусов (сш / ср = 2,5…5).

При расчете по приближенной формуле (6.22) значения в несколько занижены. Погрешность зависит от соотношений как жесткостей, так и масс. Если сш > 2ср и mп > 4mн, то погрешность не превосходит 1 %. Для троллейбусов с номинальной массой указанные пределы соотношений масс выполняются для задней подвески. Без пассажиров во многих случаях отношения названных масс меньше четырех и погрешность расчета частоты в может достигать нескольких процентов (в неблагоприятных случаях до 10 %).

220