Теория подвижного состава. Ч. 2. Криволинейное движение, устойчивость, колебания и плавность хода подвижного состава.pdf

Полученная пропорция позволяет решить две задачи:

– для заданных параметров подвижного состава определить отношение жесткостей передней и задней подвесок, при котором пар-

циальные частоты будут равны, т. е. 1 = 2;

– при известных жесткостях передней и задней подвесок определить положение центра масс подрессоренной массы (координату центра масс а), при котором парциальные частота будут равны, т. е.

1 = 2.

Чтобы решить первую задачу, преобразуем полученную пропорцию, учитывая, что b = L – a и 2 = a(L – b):

Эта пропорция позволит определить требуемое отношение жесткостей передней и задней подвесок, зная координату центра масс а, базу подвижного состава L и коэффициент распределения подрессоренной массы.

Для решения второй задачи развернем выражение для в квадратное уравнение относительно координаты центра масс а:

Координата центра масс а, при которой парциальные частоты 1

и 2 становятся равны, определяется как положительный корень полученного квадратного уравнения:

Параметры 1 и 2 называются коэффициентами связи. Они характеризуют связанность колебаний по обеим координатам z1 и z2 подрессоренной массы m. Это значит, что изменение каждой из этих координат представляет собой сумму двух синусоид с различными амплитудами и частотами, зависящими от параметров элементов передней и задней подвесок кузова подвижного состава.

201

Периодом колебаний Т называют промежуток времени, за который система совершает полный цикл колебаний, после которого движение повторяется. Под амплитудой колебаний понимается наибольшее за полупериод отклонение системы от положения равновесия.

Определим собственные частоты динамической колебательной системы, колебания которой описываются линейными уравнениями (6.3). К этим уравнениям можно применить преобразования Лапласа и привести их к системе алгебраических уравнений с комплексными переменными Z1(s) и Z2(s). Аргумент s комплексных пере-

менных также комплексная величина, s = + j. Для преобразования представим исходную систему уравнений в операторной форме:

p2 12 z1(t) 2 p2 z2 (t) 0;

(6.5)

1 p2 z1(t) p2 22 z2 (t) 0,

где p ddt – оператор дифференцирования.

Чтобы преобразовать систему дифференциальных уравнений по Лапласу, необходимо в уравнениях (6.5) оператор р и независимую переменную t заменить комплексной переменной s. В результате получим систему алгебраических уравнений:

s2 12 Z1(s) 2s2Z2 (s) 0;

(6.6)

1s2Z1(s) s2 22 Z2 (s) 0.

При частотном анализе динамической колебательной системы используется только мнимая часть j комплексного аргумента s.

Принимая во внимание, что j 1 , а j 2 2 , уравнения (6.6) приведем к виду:

12 2 Z1( j) 2 2Z2 ( j) 0;

(6.7)

1 2Z1( j) 22 2 Z2 ( j) 0.

202

Комплексные функции Z1(j ) и Z2(j ) называют частотными характеристиками функций z1(t) и z2(t).

Для определения собственных частот составим определитель системы уравнений (6.7) и приравняем его к нулю:

Раскрыв определитель, получим частотное уравнение собственных колебаний подрессоренной массы m:

1 1 2 4 12 22 2 12 22 0.

Получили биквадратное уравнение, которое имеет четыре корня: два положительных и два отрицательных. Однако собственные частоты – величины положительные, поэтому примем во внимание только положительные корни:

Следовательно, динамическая модель, представленная на рис. 6.2,

имеет две собственные частоты колебаний: низкую н и высокую в, определяемые из выражений:

203

Если коэффициенты связи 1 и 2 равны нулю, то из выражений

(6.8) и (6.9) следует, что н = 2 = 1, в = 1 = 2, так как выраже-

ния 12 22 и 22 12 под квадратным корнем равнозначны.

В этом случае колебания точек А и В подрессоренной массы m оказываются независимыми и вертикальные перемещения их при свободных колебаниях представляют собой синусоиды с частотами соответственно 1 и 2. Параметры 1 и 2 называют парциальными (частными) частотами подрессоренной массы подвижного состава.

Коэффициенты связи равны нулю, когда квадрат радиуса инерции кузова равен произведению координат его центра масс а на b,

где m1, m2 – части подрессоренной массы m, нагружающие соответственно переднюю и заднюю подвески подвижного состава:

m1 Lb m; m2 aL m.

Обозначим нормальные нагрузки, создаваемые массами m1 и m2 на подвески в положении статического равновесия, соответственно F1ст = m1g и F2ст = m2g, а усилия упругих элементов подвесок в этом

положении Fупр1 = сэ1fст1, Fупр2 = сэ2fст2. Поскольку при этом F1ст = = Fупр1 и F2ст = Fупр2, то сэ1 = m1g / fст1, сэ2 = m2g / fст2. Подставив значения сэ1 и сэ2 в выражения (6.10), получаем:

204

Парциальные частоты – частоты колебаний сложной системы по одной из обобщенных координат, если перемещения по другим координатам невозможны. Так, если шарнирно закрепить подрессоренную массу подвижного состава в точке В (рис. 6.6, а), т. е.

в уравнениях (6.3) принять 1 = 0, то уравнение гармонического колебания точки А по координате z1 примет вид:

z1 12z1 0 .

а

б

Рис. 6.6. Схемы колебаний подрессоренной массы с парциальными частотами

205

Частота ω1 является парциальной по координате z1. Если устранить возможность перемещения точки А (рис. 6.6, б), т. е. в уравнениях (6.3) принять η2 = 0, то гармонические колебания точки В по координате z2 будут описываться уравнением:

z2 22z2 0.

Частота ω2 является парциальной частотой по этой координате. Из формул (6.8) и (6.9) видно, что собственные частоты колебаний подрессоренной массы зависят только от парциальных частот и коэффициентов связи. В отличие от парциальных частот, частоты

1 и 2 называются частотами связи.

На коэффициенты связи основное влияние оказывает разность ab 2y . Отношение 2y / (ab) называется коэффициентом рас-

коэффициента связи 1 и 2, как указывалось выше, равны нулю, а уравнения системы (6.3) оказываются независимыми. Это указывает также на независимость колебаний точек А и В подрессоренной массы, т. е. на то, что подрессоренную массу при исследовании колебаний можно считать состоящей из двух взаимно независимых частей (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Колебания подрессоренной массы при = 1

206

Уравнения колебания подпрыгивания для трамвайного вагона, представленного одной массой m на упругом элементе эквивалентной жесткости 4ср можно записать в следующем виде:

mz 4cpz 0.

Отсюда угловая частота собственных колебаний подпрыгивания вагона:

подпр 4mср .

Так как масса кузова вагона при его весе G равна m = G / g, то:

где fст – статический прогиб рессор, fст = G / 4cp. Соответственно период колебаний подпрыгивания вагона:

Следовательно, чем больше статический прогиб упругих элементов подвески, тем больше период колебаний подрессоренной массы кузова подвижного состава, т. е. тем более медленными и плавными будут эти колебания. Парциальные частоты 1 и 2 определяются статическими деформациями упругих элементов подвески fст1 и fст2. Чем больше статическая деформация упругого элемента, тем меньше парциальная частота, а следовательно, и действительная собственная частота колебаний подрессоренной массы.

Так как у современного подвижного состава значения 2 и ab в большинстве случаев различаются не более чем на 10…15 %, то формулы (6.10) и (6.11) широко используются для предварительного выбора параметров упругих элементов подвески. По статистическим

207

данным статическая деформация упругих элементов передней подвески троллейбусов составляет 0,06…0,10 м, а задних – 0,07…0,10 м, при этом парциальная частота подрессоренной массы современных троллейбусов находится в пределах 1,2…1,8 Гц. Обычно плавность хода троллейбуса улучшается с уменьшением парциальной частоты. Однако при линейной характеристике упругих элементов это требует увеличения прогибов подвески. Применение нелинейной подвески, т. е. подвески с нелинейной характеристикой упругого элемента, позволяет в значительной мере уменьшить недостатки линейной подвески. Нелинейную характеристику имеют пневматические упругие элементы.

Для рассмотрения колебаний галопирования динамическую систему трамвайного вагона удобнее представить в плоскости хОz

(рис. 6.8).

Рис. 6.8. Схема для исследования галопирования трамвая

Момент сил инерции Му кузова трамвайного вагона, вращающегося относительно оси у, равен M y J y , где Jy – момент инерции

кузова относительно оси у; – угловое ускорение кузова при вра-

щении относительно этой оси. По принципу Даламбера момент сил инерции кузова вагона всегда уравновешивается моментом внеш-

208

них сил Мвнеш, приложенных к кузову относительно его оси вращения, т. е.

J y Mвнеш 0.

Определим величину внешнего момента для случая, показанного на рис. 6.5, который образуется силами, возникающими в подвеске кузова, и силой тяжести кузова за счет того, что его центр масс при повороте вокруг точки О смещается на величину е = h:

Mвнеш 2с1z1l1 2с1z2l2 Ge 2c1 l12 l22 Gh2c1 l12 l22 Gh .

Тогда

J y 2c1 l12 l22 Gh 0.

Обозначив

получим уравнение колебаний галопирования:

2гал 0,

где 2гал – угловая частота собственных колебаний галопирования

кузова трамвая.

Из определения гал следует, что чем меньше жесткость упругого элемента подрессоривания вагона с1, больше момент инерции кузова Jy и выше расположен центр тяжести h, тем меньше частота собственных колебаний галопирования и больше период колебаний галопирования Тгал:

Tгал 2 .

гал

209

Колебания боковой качки можно рассмотреть с помощью схемы, представленной на рис. 6.8, приняв в ней вместо l1 и l2 величины b1 и b2, а вместо момента инерции Jy (относительно оси у) – момент инерции кузова Jх относительно оси х. Это позволяет по аналогии с формулами для галопирования написать формулы для определения частот и периода собственных колебаний боковой качки кузова трамвая:

Для определения форм колебаний необходимо найти соотношения между амплитудами колебаний точек А и В (см. рис. 6.2) подрессоренной массы троллейбуса с низкой н и высокой частотами в. При свободных незатухающих колебаниях эти отношения постоян-

ны. Их оценивают коэффициентами распределения колебаний:

н Ан2 ;

Ан1

(6.12)

в Ав2 ,

Ав1

где Ан1, Ан2 – амплитуды вертикальных колебаний точек А и В с низкой частотой;

Ав1, Ав2 – амплитуды вертикальных колебаний точек А и В с высокой частотой.

Уравнения колебаний точек А и В подрессоренной массы представляют систему двух гармоник и имеют вид:

210