Теория подвижного состава. Ч. 2. Криволинейное движение, устойчивость, колебания и плавность хода подвижного состава

2.Если среди корней характеристического уравнения найдется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво независимо от членов выше первого порядка малости.

3.Если один или несколько корней имеют нулевые вещественные части, то об устойчивости системы нельзя судить по линейному приближению.

Дифференциальные уравнения движения колесной пары,

упруго связанной с тележкой. Разработаем систему дифференциальных уравнений движения колесной пары, упруго связанной с тележкой, в продольном и боковом направлениях (рис. 5.19).

Рис. 5.19. Силы, действующие на колесную пару, связанную с тележкой упругими связями

При относе колесной пары по направлению оси ук и угловом смещении относительно оси zк для одиночной колесной пары дополнительно возникают упругая сила Fy, направленная против смещения колесной пары, и момент упругих сил My, направленный против вращения колесной пары. Сила упругости в поперечной связи колесной пары с рамой тележки определяется Fy = Жуу, а момент

упругих продольных сил Му = 2Fxs = 2Жхs2 z. Уравнение бокового относа колесной пары имеет вид:

Fин FкВу FкВу 2Fу 0.

161

Уравнение колебания влияния с учетом момента упругости имеет вид:

Mин sFкВх sFкВх M y 0.

Окончательные уравнения движения колесной пары, связанной с тележкой упругими связями, имеют вид:

где mкп – масса колесной пары; kкрип – коэффициент крипа;

– скорость движения колесной пары; су – боковая жесткость упругой связи с тележкой (жесткость

торцевых шайб); сх – продольная жесткость упругой связи с тележкой (жесткость

сайлет – боковых поводков);

s – половина расстояния между кругами катания; i – угол наклона образующей бандажа;

r – радиус бандажа по кругу качения при отсутствии поперечного и углового отклонений колесной пары.

Упругое проскальзывание или крип. При передаче вертикаль-

ной силы от колеса на рельс возникает малая зона контакта с большим давлением в пятне контакта, в котором происходят упругие деформации. Если к колесу не приложены вращающий момент или горизонтальная сила, то пятно контакта симметрично относительно вертикальной оси. Площадь контакта представляет собой эллипс. Длина полуосей эллипса зависит от радиусов кривизны контактирующих тел, нормального давления в зоне контакта, упругих постоянных этих тел.

У движущегося под действием вращающего момента колеса симметрия распределения деформаций нарушается (рис. 5.20). Зона контакта разделяется на две области (рис. 6.21).

162

вают силой крипа (силой сцепления). Для точного анализа явлений, происходящих в пятне контакта при движении колеса, используют специальные методы теории упругости и пластичности.

В 1926 г. Ф. Картер показал, что продольные и поперечные силы крипа пропорциональны относительным скоростям скольжения. Проекции касательных сил крипа определяются выражениями:

Fкх kx x ;

(5.37)

Fкy ky y ,

где х, у – относительные скорости скольжения в направлении оси

Х и Y.

Относительные скорости скольжения для точек В иD (см. рис. 5.19) определяются выражениями:

x xB xD Bx Dx ;

y yB yD By Dy ,

где Bx , By – проекции скоростей проскальзывания на оси Х и Y для точки В, определяемые по формулам

Bx Dx r iy s ;By Dy y z .

С учетом формул для скоростей проскальзывания Bx и By , формулы (5.37) для касательных сил крипа примут вид:

где kx, ky – коэффициенты крипа.

164

Знак минус означает, что силы крипа направлены против скоростей проскальзывания. В простейшем случае коэффициенты крипа определяются выражением:

kx ky k Пr,

где – коэффициент, учитывающий влияние случайных факторов;

П – силы в пятне контакта (продольные, поперечные, вертикальные и три момента). Считается, что моменты Мкх и Мку малы, и их обычно не учитывают;

r – радиус колеса.

где mк, mт, mкп – массы соответственно кузова, тележки, колесной пары;

nт, nкп – число соответственно тележек в вагоне колесных пар; G – вес вагона.

Коэффициенты крипа зависят от вертикальной нагрузки на колесо, диаметра колеса, радиуса головки рельса, упругих свойств материалов бандажа и рельса. Результаты экспериментов показывают, что силы крипа имеют большой разброс. Причиной этого является загрязнение рельсов, изменение температуры, влажность, вибрация и т. д. Поэтому значения коэффициента крипа могут изменяться в широких пределах. Обычно принимают kх = kу = k. Для определения максимального значения коэффициента крипа используют формулу:

kmax 800 10Gкr, кН.

Вформулу нормальная нагрузка на колесо Gк подставляется

вкилоньютонах, радиус колеса – в метрах.

Нижний предел коэффициента крипа определяют по формуле:

kmin Gк(235 2,4Gк 0,01Gк2 ), кН.

165

При исследовании горизонтальных колебаний в качестве коэффициента крипа kкрип принимают его среднее значение:

Силы крипа принято считать зависящими линейно от относительных скоростей проскальзывания лишь в ограниченном диапазоне последних. Начиная с некоторого предельного значения, назы-

ваемого критическим кр = 0,25…5 %, соответствующего максимальному значению силы трения, происходит срыв сцепления и возникает обычное, а не упругое скольжение, при котором сила трения убывает с ростом относительной скорости, (рис. 5.22).

Рис. 5.22. Зависимость силы крипа от относительной скорости

Определение критической скорости по устойчивости. Рас-

смотрим определение характеристических показателей для системы уравнений (5.36). Решение этой системы будем искать в виде:

yD1eλt ;

z D2eλt .

166

После подстановки этих выражений в систему уравнений (5.36) имеем систему алгебраических уравнений для определения характеристических показателей из условия равенства нулю определителя системы:

Раскрыв этот определитель, получим характеристическое уравнение четвертой степени:

Для вычисления корней данного алгебраического уравнения можно воспользоваться любой математической программой для ПЭВМ. Задаваясь массовыми, инерционными и геометрическими парамет-

рами колесной пары (mкп, Jкпz , s, i, r, kкрип), параметрами жесткости

связей (сх, су), изменяя скорость движения , определяем корни уравнения (5.39). Зависимость максимальной вещественной части корня Remax от скорости позволяет определить критическую скорость кр движения колесной пары (рис. 5.23). А именно точка

167

пересечения кривой Remax( ) с осью скорости и определяет критическую скорость движения кр, т. е. скорость, при которой вещественная часть хотя бы одного корня становилась равной нулю.

Рис. 5.23. Зависимость максимальной вещественной части корня от скорости движения

Дифференциальные уравнения движения тележки. Для опре-

деления устойчивости движения трамвая необходимо определить устойчивость движения не только колесной пары, но и тележки, и вагона в целом. Устойчивость движения трамвая определяется при известных массовых, геометрических и инерционных параметрах колесной пары, жесткостях связей колесной пары с тележкой путем отыскания корней характеристического уравнения при различной скорости движения. Точка пересечения кривой Remax( ) максимальной вещественной части корня с осью скорости определяет крити-

ческую скорость движения кр, т. е. скорость, при которой вещественная часть хотя бы одного корня становилась равной нулю. Для трамваев можно принять условие, которое должно выполняться для

локомотивов кр 3к = 1,732к, где к – конструктивная ско-

рость движения.

Движение трамвая как механической системы со многими степенями свободы с учетом нелинейностей, обусловленных силовым взаимодействием колеса и рельса, представляет собой довольно сложную задачу. Существенного упрощения добиваются, приняв

168

связи букс с рамой тележки бесконечно жесткими. Тогда тележка, движущаяся в прямом участке пути с постоянной скоростью, имеет две степени свободы в горизонтальной плоскости (рис. 5.24).

Рис. 5.24. Расчетная схема движения жесткой тележки в прямом участке пути

Для жесткой тележки с коническими бандажами движение в прямом участке пути описывается системой дифференциальных уравнений:

где у – поперечное перемещение центра масс тележки;

– угол поворота тележки относительно вертикальной оси; m – масса тележки;

Jz – момент инерции тележки относительно вертикальной оси; 2а – база тележки;

R – радиус бандажа по кругу катания при отсутствии поперечного и углового отклонения тележки;

169

с – угловая жесткость связей тележки с кузовом; i – угол наклона образующей бандажа;

2s – расстояние между кругами катания; kкрип – коэффициент крипа;

– скорость движения.

Движение рассматриваемой тележки зависит от сил взаимодействия колеса и рельса. Угловая упругая связь с тележки с кузовом способствует ее устойчивому движению.

Чтобы определить критическую скорость движения тележки, необходимо, как и для колесной пары, разработать характеристическое уравнение, которое имеет тоже четвертую степень, и, рассчитывая корни уравнения для различных скоростей движения, построить график Remax( ). Точка пересечения кривой Remax( ) с осью скорос-

ти и определяет критическую скорость движения кр тележки, т. е. скорость, при которой вещественная часть хотя бы одного корня становилась равной нулю.

Исходные данные

1.Диаметр колеса по поверхности качения, мм.

2.Угол конусности поверхности качения колесной пары, рад.

3.Число осей трамвая.

4.Число пассажиров.

5.Ширина колеи, мм.

6.Суммарный зазор между колесной парой и рельсовой колеей,

мм.

7.База тележки, м.

8.Расстояние между кругами качения, м.

9.Масса колесной пары, кг.

10.Масса тележки, кг.

11.Снаряженная масса трамвая, кг.

12.Момент инерции колесной пары, кг м2.

13.Момент инерции тележки, кг м2.

14.Коэффициент крипа, кН.

15.Продольная жесткость связи колесной пары с тележкой, кН/м.

16.Поперечная жесткость связи колесной пары с тележкой, кН/м.

17.Угловая жесткость связи тележки с кузовом, кН м/рад.

170