Теория подвижного состава. Ч. 2. Криволинейное движение, устойчивость, колебания и плавность хода подвижного состава

а центра масс троллейбуса. Учитывая, что b = L – a и можно принять ky2 = 2ky1, получим:

Откуда a 23 L, т. е. центр масс троллейбуса для обеспечения ус-

тойчивого движения должен находиться нарасстоянии неболее0,67L. Рассмотрим две модели движения троллейбуса:

–троллейбус под действием внешнего возбуждения может только смещаться в боковом направлении, т. е. обладает только свободой увода;

–троллейбус под действием внешнего возбуждения может только совершать поворот, т. е. обладает только свободой поворота.

Модель троллейбуса, обладающего только свободой увода.

Движение троллейбуса с уводом, вызванным действием внешней боковой силы, происходит при равенстве нулю его угловой ско-

рости поворота и закрепленном рулевом управлении.

Тогда первое уравнение системы (5.6) можно представить в следующем виде:

myc ky1 ky2 yC Fб.вн xC

или

y ky1 ky2 y Fб.вн . m m

Решение этого дифференциального уравнения первого порядка, полученное с помощью пакета MatLab, представлено ниже:

>> dsolve('Dy=-a*y/(m*v)+F/m','y(0)=0') ans =

F/a*v-F/a*v*exp(-a/m/v*t)

где F = Fвн – внешняя боковая сила;

а = ky1 + ky2;

= xc – постоянная скорость троллейбуса.

111

Так как аргумент экспоненциальной функции отрицателен, то

сувеличением времени t экспоненциальная функция стремится к ну-

лю, а боковая скорость с – к своему установившемуся значению Fвн / (kу1 + kу2). Изменение бокового ускорения по времени получим дифференцированием выражения (5.12) для боковой скорости

спомощью пакета MatLab:

>>syms F a v m t

>>y=F*v*(1-exp(-a*t/m/v))/a

>>diff(y,t)

ans = F/m*exp(-a*t/m/v)

видно, что боковое ускорение с течением времени уменьшается от своего максимального значения Fвн / m до нуля.

Боковое смещение троллейбуса, вызванное внешним возмущением, получим интегрированием с помощью пакета MatLab боковой

112

Тот же результат может быть получен, если найти решение исходного уравнения второго порядка

>> S=dsolve('D2y=(-a*Dy/v+F)/m','y(0)=0','Dy(0)=0','t') S = F/a^2*v^2*m*exp(-a/v/m*t)+F/a*v*t-1/a^2*v^2*m*F

Желательно, чтобы боковое смещение троллейбуса с закрепленным рулевым управлением при внешнем воздействии было минимальным. Оно будет минимальным или равным нулю, если выражение в фигурных скобках с течением времени будет стремиться к нулю. Исследование движения троллейбуса с закрепленным рулевым управлением при внешнем воздействии показывает, что желательно, чтобы установившаяся боковая скорость была минимальной, так как в этом случае боковое смещение троллейбуса за время реакции водителя также будет минимальным.

Модель троллейбуса, обладающего только свободой поворо-

та. В этом случае используется только второе уравнение исходной системы уравнений (5.6), принимая, что боковая скорость центра

масс троллейбуса равна нулю ( с = 0). Тогда второе уравнение примет вид:

Jz a2ky1 b2ky2 aky1 bky2 Mвн.

Корни характеристического уравнения, разработанного для этого уравнения, будут:

113

Выполним анализ корней характеристического уравнения. Величина (a2ky1 b2ky2 ) всегда положительна, следовательно, если вели-

чина (aky1 bky2 ) также положительна и больше (a2ky1 b2ky2 ) / , то один из корней будет положительным и движение троллейбуса неустойчиво. Когда (aky1 bky2 ) равен нулю, один из корней ха-

рактеристического уравнения тоже равен нулю, и система будет на грани устойчивости. В случае, когда величина (aky1 bky2 )

будет монотонно приближаться к положению равновесия. Если

затухающие колебания.

Следовательно, величина (aky1 bky2 ) может рассматриваться как «упругая постоянная» системы, а величина (a2ky1 b2ky2 ) / – как коэффициент демпфирования [19]. Величина (a2ky1 b2ky2 ) /

уменьшается при увеличении скорости троллейбуса, т. е. демпфирование системы уменьшается с возрастанием скорости троллейбуса, и переход от апериодического движения к колебательному будет происходить, когда

Из последнего выражения определяется скорость , при которой у троллейбуса, обладающего только свободой поворота, происходит переход от апериодического движения к колебательному:

114

Механико-математическая модель с закрепленными в центре масс кузова осями координат. Искомую механико-математи-

ческую модель получим из модели с неподвижными осями координат (см. рис. 5.2), если рассматривать только движение троллейбуса без связи его с неподвижными осями координат (рис. 5.4). Эта модель имеет три степени свободы: движение вдоль оси х (принимается движение с постоянной скоростью), боковое смещение вдоль

оси у и поворот относительно оси z с угловой скоростью = .

Рис. 5.4. Модель троллейбуса с закрепленными на кузове осями координат

Движение троллейбуса под действием внешних воздействий описывается следующей системой уравнений:

mx 0;

myc Fб1 Fб2 Fб.вн; (5.14)J z aFб1 bFб2 Mвн.

Данная система уравнений несколько проще системы уравнений (5.6). Однако она не позволяет построить траекторию движения троллейбуса, например, центра масс. При известной боковой ско-

115

рости у и угловой скорости можно найти в каждый момент времени координаты хс и ус в неподвижной системе координат хнОнун (см. рис. 5.2) центра масс троллейбуса (его траекторию) и курсовой

угол . Принимая во внимание, что = , получим:

t

xc x cos y sin dt C1;

0

t

yc xsin y cos dt C2;

0

t

dt C3,

0

где С1, С2 и С3 – произвольные постоянные, определяемые по начальным условиям.

Как и в случае, когда движение троллейбуса рассматривается в неподвижной системе координат, боковые силы, действующие на колеса переднего Fб1 и заднего Fб2 мостов, определим через произве-

дение коэффициентов сопротивления уводу kyi и углы увода i середин мостов. Углы увода середин мостов выразим через обобщенные скорости. Чтобы разработать выражение для определения угла увода середины переднего моста (точка А), воспользуемся рис. 5.5.

Рис. 5.5. Схема для определения угла увода переднего моста, когда оси координат зафиксированы на кузове

116

Из плана скоростей точки А можем записать:

tg1 1 y a . x

Угол увода заднего моста найдем, воспользовавшись планом скоростей точки В:

tg 2 2 y b . x

Подставив значения углов увода в систему уравнений (5.13), получим систему уравнений, описывающую движение троллейбуса, система координат которого зафиксирована на кузове:

mx 0;

Чтобы сделать заключение об устойчивости движения троллейбуса в этом случае, получим характеристическое уравнение системы (5.15). Для этого запишем определитель системы и приравняем его к нулю:

Раскрывая определитель, запишем характеристическое уравнение для системы (5.15):

117

В результате получили характеристическое уравнение четвертой степени, которое имеет два нулевых корня. Наличие нулевых корней указывает на неустойчивое движение троллейбуса при действии внешнего возмущения. Следовательно, если троллейбус движется со скоростью меньше критической, которая рассчитывается по формуле (5.11) или (5.13), его движение будет устойчивым. В противном случае движение троллейбуса неустойчиво.

Третье уравнение системы (5.15) для троллейбуса, обладающего только свободой поворота, представим в следующем виде:

Тогда, используя MatLab, получим выражения для определения:

– угловой скорости поворота троллейбуса :

>> dsolve('Dy=(M-a/v*y)/J','y(0)=0') ans =

M/a*v-exp(-a/v/J*t)*M/a*v

где a aky1 bky2 ,

– углового ускорения :

>>syms M v a J t

>>y=M*v*(1-exp(-a*t/v/J))/a

>>diff(y,t)

ans = M/J*exp(-a/v/J*t)

118

– курсового угла :

>> dsolve('D2y=(M-a/v*Dy)/J','y(0)=0','Dy(0)=0','t') ans = M/a^2*v^2*J*exp(-a/v/J*t)+M/a*v*t-1/a^2*v^2*J*M

Полученные выражения для определения курсового угла , угло-

вой скорости и углового ускорения можно использовать для исследования устойчивости движения троллейбуса, обладающего только свободой поворота.

Исходные данные

1.Масса троллейбуса, кг.

2.Момент инерции троллейбуса относительно вертикальной оси,

проходящей через его центр масс, кг м2.

3.База троллейбуса, м.

4.Расстояние от центра масс до оси передних колес, м.

5.Скорость движения, км/ч.

6.Модель шин.

7.Давление воздуха в передних шинах, МПа.

8.Давление воздуха в задних шинах, МПа.

9.Коэффициент сцепления шины с дорогой.

В часы самоподготовки выбрать модель шин, определить ее свободный диаметр, ширину профиля шины и подобрать давление воздуха в передних и задних шинах, задаться пределом изменения положения центра масс (аmin и аmax).

119

Варианты заданий

Контрольные вопросы

1.Какие силы и моменты действуют на троллейбус при отклонении от прямолинейного движения?

2.В каких координатах удобнее разрабатывать уравнения для исследования устойчивости движения троллейбуса и почему?

3.Какие кинематические возмущения могут действовать на троллейбус?

4.Что понимается под переходным процессом системы, и когда они возникают?

5.Какую информацию можно получить из характеристического уравнения, полученного для системы дифференциальных уравнений, описывающих траекторную икурсовую устойчивости троллейбуса?

6.Назовитеосновноеусловиеустойчивого движениятроллейбуса.

7.Где должен располагаться центр масс колесной машины, если она имеет на всех колесах одинаковые шины или на задних колесах сдвоенные шины?

8.Напишите формулу для расчета критической скорости движения троллейбуса. Когда ей следует пользоваться?

120