Теория подвижного состава. Ч. 2. Криволинейное движение, устойчивость, колебания и плавность хода подвижного состава

вая скорость подвижного состава, обусловленные действием кратковременного возмущения. Однако улучшать устойчивость движения подвижного состава за счет повышения его момента инерции нецелесообразно. Во-первых, это связано с возрастанием металлоемкости и линейных размеров подвижного состава, что влечет за собой нежелательные последствия. Во-вторых, увеличение инертности подвижного состава может ухудшить условия затухания колебаний во второй фазе, что приведет в целом не к улучшению, а к ухудшению устойчивости движения подвижного состава в рассматриваемом смысле.

В качестве величины, характеризующей степень устойчивости движения подвижного состава при заданных возмущениях (вторая

фаза), принимают время , в течение которого угол β отклонения подвижного состава, выведенного из равновесного положения, уменьшается до значения приемлемого с точки зрения безопасности движения [16]. Чем быстрее продольная ось подвижного состава возвращается в допустимое положение, тем рациональнее выбраны динамические параметры подвижного состава.

Однако за одно и то же время подвижной состав может пройти различный путь, определяемый скоростью 0. И если имеются две

механические системы, обладающие одинаковым временем в возвращения в приемлемое положение, то отдается предпочтение той

системе, которая проходит меньший путь sв = 0 в в отклоненном положении.

Путь, пройденный подвижным составом в отклоненном положении, часто выражают в долях его основного размера – длины Lпс. Тогда безразмерная величина

Lпс ,

0 в

обратная относительному значению пути sв, принимается в качестве величины, характеризующей степень устойчивости движения подвижного состава.

Степень устойчивости движения тесно связана с видом движения, совершаемого подвижным составом (затухающие колебания или апериодическое движение). В качестве критерия, определяю-

101

щего вид относительного движения, принимается другая безразмерная величина:

n2 ,2

где n – коэффициент сопротивления; ω – частота собственных колебаний.

Критерий вида движения удобен для практического применения, так как легко вычисляется по заданным динамическим параметрам подвижного состава и определяет вид движения (колебательный или апериодический). Кроме того, взаимосвязь между величинами

и позволяет в ряде случаев по известной величине судить и о значении . Критерии и имеют смысл лишь при устойчивом движении подвижного состава по Ляпунову. Критерий позволяет отобрать из числа устойчивых в классическом смысле движений такие, которые в наибольшей степени соответствуют практическому представлению об устойчивости движения подвижного состава.

Представление об устойчивости движения подвижного состава можно получить, исследуя модель, в которой отсутствует подвеска, следовательно, кузов не имеет крена. Такая элементарная модель подвижного состава позволяет изучить влияние характеристик шин и положения центра масс на его установившиеся реакции при управлении и сделать ряд интересных выводов.

Контрольные вопросы

1.Что понимается под устойчивостью подвижного состава?

2.Какие виды устойчивости и предельные случаи устойчивости вы знаете?

3.Какие существуют показатели (критерии) устойчивости?

4.Что необходимо знать для определения движения механической системы?

5.Как может вести себя механическая система после получения возмущения?

6.Назовите два вида устойчивости движения механических систем.

102

7.Дайте определение устойчивости движения механической системы по Ляпунову.

8.Как можно по дифференциальным уравнениям, описывающим движение механической системы, судить об устойчивости ее движения?

9.При каких значениях коэффициента ω2 движение механической системы неустойчиво?

10.Как по виду корней характеристического уравнения определить устойчива ли механическая система?

11.Назовите две фазы процесса нарушения устойчивости положения (движения) механической системы.

12.Каким способом можно уменьшить чувствительность механической системы к внешним возмущениям?

13.Назовите критерий, характеризующий степень устойчивости движения механической системы.

14.Назовите критерий, определяющий тип относительного движения механической системы.

15.Какой критерий позволяет отобрать из числа устойчивых механических систем такие, которые в наибольшей степени соответствуют практическому представлению об устойчивости движения системы?

103

Лабораторная работа 5.1

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ДВУХОСНОГО ТРОЛЛЕЙБУСА

Цель работы: получить навыки в исследовании траекторной и курсовой устойчивости движения двухосного троллейбуса. Изучить механико-математическую модель для исследования устойчивости двухосного троллейбуса. Выполнить исследование устойчивости троллейбуса в заданных условиях эксплуатации.

Краткие теоретические сведения

Представление об устойчивости движения двухосного троллейбуса можно получить, исследуя механико-математическую модель, в которой отсутствует подвеска и, следовательно, кузов троллейбуса не имеет крена. Такая элементарная модель позволяет изучить влияние характеристик шин и положения центра масс троллейбуса на его установившиеся реакции и сделать ряд полезных выводов.

Механико-математическая модель с неподвижными осями координат. Рассмотрим поступательное движение троллейбуса мас-

сой m с постоянной скоростью при небольших угловых отклонениях его продольной оси (sin ; cos 1), рис. 5.2.

Пусть хс и ус – координаты центра масс троллейбуса относительно неподвижных осей координат хнОнун. Передний мост находится на расстоянии а от центра масс, задний – на расстоянии b, база троллейбуса L. Уравнения движения троллейбуса имеют вид:

Jz aFб1 cos bFб2 cos Mвн aFб1 bFб2 Mвн.

где Fб1, Fб2 – суммарные боковые силы, действующие на передние и задние колеса и приложенные в середине мостов;

Fб.вн – внешняя боковая сила, приложенная в центре масс;

Мвн – внешний момент, стремящийся отклонить троллейбус от заданного направления;

104

Jz – момент инерции троллейбуса относительно вертикальной оси, проходящей через его центр масс.

Рис. 5.2. Модель для исследования курсовой устойчивости двухосного троллейбуса, обладающего свободой бокового перемещения и поворотом

Боковые силы Fбi, действующие на мосты, определим через углы

i увода и коэффициенты сопротивления уводу kyi мостов Fбi = kyi i. Углы увода мостов выразим через обобщенные скорости движения

центра масс троллейбуса: xc , yc и угловую скорость поворота

троллейбуса . Для этого сначала рассмотрим движение перед-

него моста, рис. 5.3.

Из прямоугольного треугольника ADE найдем угол (1 + )

tg 1 yA xA

или, учитывая, что углы 1 и – малы, можно записать:

105

Подставив эти значения скоростей в (5.5), получаем выражения для определения угла увода середины переднего моста через обобщенные скорости:

1 yCx a .

C

Аналогично получим выражение для определения угла увода середины заднего моста, выраженное через обобщенные скорости:

2 yCx b .

C

Подставляя полученные выражения для углов увода середин переднего и заднего мостов в исходную систему уравнений (5.4), получаем окончательный вид системы уравнений для исследования траекторной и курсовой устойчивости двухосного троллейбуса:

Получена система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, свойства которой изучаются на основе анализа функции х(t). Эта функция является общим решением однородного дифференциального уравнения и записывается в виде следующего выражения:

n

x t Cieλit ,

i 1

где Сi – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий;

i – корни характеристического уравнения (собственные значения матрицы Якоби дифференциального уравнения);

n – порядок системы уравнений.

107

Согласно теореме Ляпунова, для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все вещественные корни характеристического уравнения были отрицательными. Чтобы получить характеристическое уравнение для исходной системы дифференциальных уравнений (5.6), составим определитель матрицы Якоби и приравняем его нулю:

Раскрыв определитель матрицы Якоби, получаем квадратное характеристическое уравнение относительно собственных значений:

Корни этого уравнения соответствуют собственным значениям матрицы Якоби:

где аi – коэффициенты уравнения (5.7).

a1 mJz ;

108

При определении устойчивости движения троллейбуса доста-

точно рассмотреть возможные значения корней 1,2. Если корни вещественные, то переходные процессы по фазовым координатам уС

и имеют апериодический характер, а если они комплексные, то переходные процессы будут колебательными. Для обеспечения устойчивости движения необходимо, чтобы коэффициенты уравнения (5.7) были положительными, а корни уравнения – вещественными отрицательными или комплексные корни имели отрицательную действительную часть. При наличии корней с нулевыми вещественными частями троллейбус будет находиться на границе устойчивости. В этом случае при комплексных корнях вызванные внешним возмущением колебания будут незатухающими, а при веществен-

ных – уС и не будут возвращаться к исходным значениям уС0 и 0. Анализируя выражение (5.8), приходим к следующим выводам.

Если корни характеристического уравнения комплексно сопряженные, то устойчивость движения троллейбуса обеспечивается при следующем условии:

Получим условие устойчивого движения троллейбуса при вещественных корнях. Система будет устойчивой, если вещественные корни будут отрицательными. Таким образом, сумма

m a2ky1 b2ky2 J z ky1 ky2 0

должна быть отрицательной. Это условие, которое всегда выполняется, а величина

109

должна быть положительной. Это условие выполняется, если

Выражение (5.9) позволяет определить критическую скорость по курсовой и траекторной устойчивости троллейбуса.

Рассмотрим предельный случай, когда неравенство (5.9) становится равным нулю. В результате получаем, что один из корней характеристического уравнения равен нулю. Следовательно, движение троллейбуса будет на пределе устойчивости. Так как все величины, входящие в выражение (5.9), постоянны, кроме скорости

xC = , то критическое состояние устойчивости возникает при оп-

ределенном значении скорости, которое называют критической скоростью по курсовой и траекторной устойчивости движения троллейбуса. Выполнив некоторые преобразования в выражении (5.9), получаем формулу для определения критической скорости кр:

са устойчиво, если его скорость меньше критической. При отрицательной разности (aky1 bky2 ) движение троллейбуса всегда устой-

чиво. Из формулы (5.11) следует, что на величину критической скорости оказывает влияние положение центра масс, определяемое координатами а и b, и соотношениями коэффициентов сопротивления уводу переднего kу1 и заднего kу2 мостов. Так как положение центра масс троллейбуса при движении постоянно, а коэффициенты kу1 и kу2 при принятых условиях обратно пропорциональны углам

увода мостов 1 и 2, то процесс изменения траектории его движения без управляющего воздействия водителя определяется соотношением углов увода мостов.

Условие устойчивости движения троллейбуса (5.10) представляет определенный интерес, так как позволяет определить координату

110