Теория подвижного состава. Ч. 2. Криволинейное движение, устойчивость, колебания и плавность хода подвижного состава

2.Почему желательно увеличивать длину волны траектории при вилянии колесной пары? Как изменяется длина волны при объединении колесных пар в раме тележки?

3.Какие силы возникают при входе вагона в кривые участки рельсового пути? Какую величину при этом важно знать?

4.Из каких простых движений можно рассматривать движение тележки в кривой?

5.Что понимается под направляющей силой?

6.Какаясилавозникаетотвозвышениянаружногорельсавкривой?

7.Из каких уравнений определяется направляющая сила, действующая на набегающее колесо, и как она определяется?

8.Что понимается под термином «непогашенное ускорение»?

9.Как определяются боковые силы при движении тележки в идеальных и реальных круговых кривых рельсового пути?

10.По каким основным показателям оценивается воздействие вагонов на рельсовый путь?

91

5. УСТОЙЧИВОСТЬ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА

Основные понятия и определения

Устойчивостью называют совокупность свойств подвижного состава, характеризующие его способность сохранять заданное направление движения при воздействиях внешней среды, стремящихся отклонить его от этого направления.

Различают траекторную и курсовую устойчивость, а также устойчивость по опрокидыванию. Траекторная устойчивость характеризуется способностью сохранять направление движения центра масс подвижного состава. Она оценивается боковым смещением центра масс от заданной траектории. Курсовая устойчивость – способность сохранять ориентацию продольной оси подвижного состава, оценивается курсовым углом. Если возникает скольжение колес одного или всех мостов троллейбуса, наступает предельный случай потери устойчивости, называемый заносом. Другим предельным случаем потери устойчивости является опрокидывание подвижного состава. Опрокидывание – поворот подвижного состава в поперечной или продольной плоскости с отрывом соответствующих колес от опорной поверхности (дороги или рельсового пути). В первом случае происходит поперечное опрокидывание, во втором – продольное опрокидывание.

При преодолении подвижным составом продольного уклона его устойчивое движение ограничено условиями сцепления ведущих колес с опорной поверхностью. При недостаточном сцеплении уклон может оказаться непреодолимым. Буксование ведущих колес может закончиться сползанием подвижного состава вниз. В связи с изложенным выше различают поперечную и продольную устойчи-

вости подвижного состава. Потеря поперечной устойчивости может произойти вследствие либо бокового опрокидывания, либо бокового скольжения колес. Занос и боковое опрокидывание происходит под действием поперечных сил: силы инерции при криволинейном движении, составляющей силы тяжести при движении на косогоре, сильного бокового ветра или в результате наезда колеса на выступающее над опорной поверхностью препятствие.

Потеря продольной устойчивости наступает при чрезмерном возрастании буксования ведущих колес. Для современного подвижного

92

состава характерно низкое расположение центра масс, поэтому буксование возникает при значительно меньших уклонах по сравнению с уклонами, на которых возможно продольное опрокидывание. Вследствие этого продольное опрокидывание маловероятно.

Показателями оценки устойчивости являются критические значения параметров движения и положения подвижного состава. Для оценки устойчивости подвижного состава при действии на него боковых сил используют следующие основные показатели:

–критические скорости по боковому скольжению кр. и по боковому опрокидыванию кр.оп;

–критические углы косогора по боковому скольжению βкр.

ибоковому опрокидыванию βкр.оп;

–коэффициент поперечной устойчивости п.у;

–критическая скорость по курсовой и траекторной устойчивости

кр.ω;

–критическая скорость по вилянию полуприцепа кр.пп;

–угол крена кр.

Движение подвижного состава как механической системы является вполне определенным, если известны действующие на него силы и начальные условия движения. После получения начального возмущения движение подвижного состава может быть принципиально различным. В одних случаях отклонения остаются малыми или же постепенно затухают и исчезают и система возвращается к основному движению (движение устойчиво). В других отклонения от первоначального движения с течением времени возрастают и все больше отклоняют систему от основного движения (движение неустойчиво).

Существуют два вида устойчивых движений подвижного состава. В первом из них начальные возмущения с течением времени стремятся к нулю и исчезают. В этом случае основное движение системы называется асимптотически устойчивым. Во втором случае отклонения, оставаясь малыми, полностью не исчезают. Такая устойчивость называется не асимптотической. Обеспечение устойчивости движения подвижного состава относится к числу основных задач конструктора. Однако успешное решение этой задачи возможно лишь при освоении теории движения такого рода механических систем и исследования условий устойчивости этого движения.

93

Строгое определение понятия устойчивости движения механической системы впервые было дано А. М. Ляпуновым и получило широкое развитие и применение во всех областях современной техни-

ки. Если уклонение возмущенного движения от невозмущенного i есть разность между соответствующими значениями i-й обобщенной координаты или обобщенной скорости:

i qi t qi0 t

и расстояние между траекториями возмущенного и невозмущенного движений (корень квадратный из суммы квадратов отдельных обобщенных координат и скоростей после приведения их к безразмерному виду):

n

i2 ,

i 1

то получим следующие понятия устойчивости:

– движение механической системы будет устойчивым по Ляпунову, если для любого сколь угодно малого положительного числа α найдется такое положительное число А, что как только 0 < A, то

< α, начиная с некоторого момента времени t > t0;

–движение механической системы называется асимптотически устойчивым по Ляпунову, если можно найти такое положительное

число А, что как только 0 < A, то 0 при t ;

– движение механической системы неустойчиво по Ляпунову, если оно не удовлетворяет указанным выше условиям устойчивости или асимптотической устойчивости.

Практическое решение вопроса об устойчивости или неустойчивости невозмущенного движения механической системы с одной степенью свободы, движение которой описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами,

94

можно судить по знакам «диссипативного» 2n и «квазиупругого» k2 коэффициентов. В случае устойчивого движения оба коэффициента должны быть положительны. Случаю, когда n < k, соответствуют затухающие колебания относительно равновесного положения. Если n > k, возникает затухающее апериодическое движение. При n = 0 имеет случай свободных незатухающих колебаний. Если хотя бы один из этих коэффициентов отрицателен, движение механической системы неустойчиво.

Об устойчивости движения системы с одной степенью свободы можно судить также по виду корней характеристического уравнения (5.2), полученного для дифференциального уравнения (5.1).

Это характеристическое уравнение имеет корни

Найденным значениям корней соответствуют решения уравнений

из которых видно, что при положительных значениях n и k обобщенная координата q – отклонение возмущенного движения от невозмущенного – с течением времени убывает и стремится к нулю.

Чтобы движение системы было устойчивым, корни характеристического уравнения (5.2), если они действительные, должны быть отрицательными. Если же корни уравнения (5.2) комплексные, то они должны иметь отрицательную действительную часть.

95

Различают три вида движения:

–n < k – случай малого сопротивления;

–n > k – случай большого сопротивления;

–n = k – предельный случай.

В случае малого сопротивления система совершает затухающие колебания, но эти колебания не являются периодическими, так как множитель e–nt переменный и убывает по экспоненциальному закону.

Во втором случае система совершает затухающие апериодические движения. Характер движения зависит от начальных условий.

При q = q0 0 и q q0 0 , т. е. когда в начальный момент система смещена из положения статического равновесия на q0 и ей сообщена начальная скорость q0 в том же направлении, система вначале от-

клоняется в указанном направлении до точки А (рис. 5.1, кривая I), а затем асимптотически приближается к положению равновесия не переходя его.

Рис. 5.1. Зависимость характера колебаний от начальных условий

когда в начальный момент система смещена из положения статического равновесия на q0 и ей сообщена в противоположном направ-

лении скорость q0, модуль которой удовлетворяет указанному выше неравенству, система приближается к положению равновесия,

96

проходит его (рис. 5.1, кривая II), отклоняется в противоположную сторону до точки В, а затем асимптотически приближается к положению равновесия больше не переходя его.

когда в начальный момент система смещена из положения равновесия на q0 и отпущена без начальной скорости q0 0, либо ей сооб-

щена начальная скорость q0 (модуль которой удовлетворяет ука-

занному неравенству) в противоположном направлении, система асимптотически приближается к положению равновесия не переходя через него (кривая III).

В предельном случае характер затухания колебаний так же зави-

темы соответствует кривой III. Во всех трех случаях колебания системы быстро затухают.

Аналогично решается задача об устойчивости движения для систем с несколькими степенями свободы. Движение таких механических систем описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Число уравнений в таких системах дифференциальных уравнений равно числу степеней свободы механической системы. Ее характеристическое уравнение имеет более высокую степень, чем в случае одного дифференциального уравнения движения второго порядка.

Теорема об устойчивости движения механических систем, когда эти движения описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, формулируется следующим образом [15]:

«Для того чтобы невозмущенное движение было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части. Если среди корней этого уравнения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво. Невозмущенное движение будет устойчивым, но не

97

асимптотическим, когда характеристическое уравнение, не имея корней с положительными вещественными частями, имеет корни с вещественными частями, равными нулю, если эти корни простые или если они кратные, но число групп решений, им соответствующих, равно их кратности».

Согласно теореме Гурвица, алгебраическое уравнение любой степени имеет отрицательные действительные части комплексных корней, если все коэффициенты уравнения положительны и, кроме того, равен нулю некоторый определитель, составленный из коэффициентов рассматриваемого уравнения.

Так, в случае характеристического уравнения третьей степени

a0 3 a1 2 a2 a3 0

устойчивость движения обеспечивается, если

a0 0; a1 0; a2 0; a3 0;a1a2 a3a0 0.

Для характеристического уравнения четвертой степени

a0 4 a1 3 a2 2 a3 a4 0

условия устойчивости движения имеют вид:

В общем случае для характеристического уравнения n-й степени

составляются определители по коэффициентам уравнения

98

1 a1;

a1a0 0

3 a3a2a1 ;

a5a4a3

причем ai = 0, если i > n.

Чтобы корни уравнения (5.3) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись следующие неравенства:

1 0; 2 0; 3 0; ... n 1 0; n 0.

Указанные признаки устойчивости движения механических систем относятся к случаям, когда уклонения от основного движения описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Однако при составлении дифференциальных уравнений движения часто получаются нелинейные уравнения. В этих случаях при исследовании малых перемещений систем предварительно проводится линеаризация исходных уравнений.

Коэффициенты жесткости в дифференциальном уравнении движения механической системы второго порядка могут оказаться величинами переменными (функцией времени). В этом случае получаются так называемые параметрические колебания, для исследования которых разработаны специальные методы (в настоящем учебном пособии не рассматриваются).

99

Наконец, при больших отклонениях систем от равновесного положения, когда зависимости действующих сил от перемещений и скоростей уже нельзя считать линейными, могут возникать так называемые автоколебания.

Работа подвижного состава вообще невозможна, если не соблюдаются условия устойчивости по Ляпунову, так как при этом он будет уклоняться от рабочего положения. Однако и при выполнении условий устойчивости движение подвижного состава может быть различным. Так, полуприцеп сочлененного троллейбуса, получив начальное возмущение, может совершать различные по продолжительности переходные движения до тех пор, пока не возвратится в нормальное рабочее положение. Это отклонение исходного устойчивого движения полуприцепа обусловлено действием случайных силовых и кинематических факторов. Чем меньше отклонение движения полуприцепа от исходного рабочего и чем короче время существования этих отклонений, тем более устойчивым считается движение.

Такое представление об устойчивости движения подвижного состава позволяет различать две фазы процесса нарушения устойчивости движения:

– первая фаза – от момента начала до окончания действия возмущающего фактора. К концу этого промежутка времени подвиж-

ной состав получает возмущения q0 и 0;

– вторая фаза – от момента получения возмущений q0 и 0 до

возвращения в положение, близкое к равновесному.

Первая фаза длится короткое время. Однако именно в этой фазе подвижной состав получает возмущения, от величины которых зависит продолжительность второй фазы. С точки зрения конструктора, путем рационального выбора кинематических и динамических параметров подвижного состава необходимо стремиться к повышению:

–способности подвижного состава противостоять получению начальных возмущений;

–способности подвижного состава быстро возвращаться к положению, близкому к равновесному, после получения начальных возмущений.

Способность подвижного состава противостоять получению возмущений определяется в основном его инертностью. Чем больше момент инерции, тем меньшими оказываются угол поворота и угло-

100