Теория механизмов, машин и манипуляторов. Кинематика

Далее на основании теоремы о сложении ускорений в плоском движении составляем векторные уравнения для определения ускорения точки В:

ускорения точки В при вращательном движении звена 2 относительно точки А;

аBnС и аBtС – нормальная и касательная составляющие

ускорения точки В при вращательном движении звена 3 вокруг точки С.

Вектор аBnА направлен от точки В к точке А, аBtА – перпендикулярно АВ;

вектор аBnС направлен от точки В к точке С, аBtС – перпендикулярно СВ.

Находим отрезки, изображающие аBnА и аBnС:

Уравнения (11) и (12) решаем графически. Для этого из точки a откладываем отрезок аn2 в направлении аBnА , через точ-

20

ку n2 проводим линию в направлении аBtА . Затем из точки c , которая совпадает с полюсом , откладываем отрезок n3 в на-

правлении аBnС , через точку n3 проводим линию в направле-

нии аBtС . В пересечении указанных линий получаем точку b, которую соединяем с полюсом и получаем отрезок b, изображающий аB .

Из планаускоренийнаходим линейные иугловыеускорения:

aВ ( b) a ;

Направление углового ускорения 2 звена 2 получим, по-

местив вектор тангенциального ускорения аBtА (вектор n2b )

в точку В и рассматривая поворот звена 2 относительно точки А. Аналогично определяется направление углового ускорения третьего звена.

2.3.4.Кинематический анализ кулисного механизма

Врассматриваемом механизме (рис. 6, а) заданы размеры

lOA, lAB , lOВ, lВС, закон движения начального звена ( 1, 1,1 ). Для построения схемы использован масштабный коэффи-

циент длины l .

21

вращения звена 1.

Приняв масштабный коэффициент скорости V , вычисля-

ем отрезок pa VA , изображающий на плане скоростей VA.

V

Выбрав полюс p, откладываем отрезок pa OA в сторону

вращения кривошипа (рис. 6, б).

Далее рассматривается группа Ассура (2, 3). Известными к началу рассмотрения группы являются V A и VВ 0. Опре-

делению подлежит скорость точки А3 звена 3. Рассматривая

22

движение точки А3 относительно А иВ, составляем два векторных уравнения:

носительно звена 3;

VА3 В – скорость точки А3 при вращении звена 3 от-

носительно точки В.

Уравнения (13) и (14) решаем графически, для чего через конец вектора V A (точку a ) проводим направление VА3 А,

а через точку b (находится в полюсе p ) – направление VА3 В.

Пересечение их определяет положение точки а3.

Точку с на плане скоростей находим на основании теоремы подобия

babc3 BCAB ,

откуда

bc ba3 BACB .

Изпланаскоростейопределяемлинейныеиугловыескорости:

23

В выражении 3 размер lAB определяется по отрезку BА на плане положения, т. е. lAB ВА l .

Направление угловой скорости 3 звена 3 получим, поместив вектор относительной скорости VA3В (вектор ba3 ) в точ-

ку А3 и рассматривая поворот звена 3 относительно точки В.

Переходим к построению плана ускорений (рис. 6, в). Ускорение точки А

аА аАn аАt ,

где аАn – нормальное ускорение точки А, направленное от точ-

ки А к точке О;

аАt – касательное (тангенциальное) ускорение точки А, на-

правленное перпендикулярно ОА в сторону углового ускорения 1.

аnА 12 lOA; аАt 1lOA.

Приняв масштабный коэффициент ускорений а, находим

Из полюса плана ускорений откладываем отрезок n1 в направлении аАn , а из точки n1 – отрезок n1a внаправлении аАt .

24

Тогда отрезок а изображает полное ускорение точки А:

Далее на основании теоремы о сложении ускорений в плоском движении составляем векторные уравнения для опреде-

ления ускорения точки А3:

ускоренияточки А3 придвижениизвена2 относительнозвена 3; аAn3B и аAt 3B – нормальная и касательная составляющие

ускорения точки А3 при вращательном движении звена 3 вокруг точки В.

Направление вектора аАk3 A получим, повернув вектор VА3 А

в направлении 3 на 90 , вектор аАr3 A направлен параллель-

но АВ.

аАk3 A 2 3VA3 A.

Вектор аAn3B направлен от точки А3 к точке В, аAt 3B – перпендикулярно АВ.

аnА3В 32lAВ.

25

Находим отрезки, изображающие аАk3 A и аAn3B:

Уравнения (15) и (16) решаем графически. Для этого из точки a откладываем отрезок аk в направлении аАk3 A, через точ-

ку k проводим линию в направлении аАr3 A. Затем из точки b, которая совпадает с полюсом , откладываем отрезок n3 в направлении аAn3B , через точку n3 проводим линию в направле-

нии аAt 3B. В пересечении указанных линий получаем точку a3,

которую соединяем с полюсом и получаем отрезок a3, изображающий аA3.

Точку с на плане скоростей находим на основании теоремы подобия (аналогично тому, как это было сделано при построении плана скоростей).

Из плана ускорений определяем линейные и угловые ускорения:

Направление углового ускорения 3 звена 3 получим, поместив вектор тангенциального ускорения аAt 3B (вектор n3a3 ) в точку А3 и рассматривая поворот звена 3 относительно точкиВ.

26

3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

3.1. Функции положения точек и звеньев. Аналоги скоростей и ускорений

Функцией положения звена называется зависимость его координаты от обобщенной координаты механизма. Например,

если звено k совершает вращательное движение, k – угол его поворота и 1 – угол поворота начального звена (обобщенная координата), то зависимость k k ( 1) есть функ-

ция положения звена k . Если звено n совершает прямолинейное движение вдоль оси X и xM – координата точки M

этого звена, то зависимость xM xМ ( 1) есть функция поло-

жения звена n .

Первая производная функции положения по обобщенной координате механизма называется аналогом скорости, вторая производная называется аналогом ускорения:

d k – аналог угловой скорости звена k; d 1

d2 2k – аналог углового ускорения звена k; d 1

dxM – аналог скорости точки M ; d 1

d2 xM – аналог ускорения точки M .

d 12

Скорости и ускорения выражаются через их аналоги:

k d k d k d 1 d k 1; dt d 1 dt d 1

27

где 1 и 1 – угловая скорость и угловое ускорение начально-

го звена.

Отсюда видно, что если 1 1 рад/c и 1 0, то аналоги

скоростей и ускорений равны соответствующим скоростям и ускорениям.

Аналоги скоростей называются также передаточными функциями:

Функции положения, аналоги скоростей и ускорений являются геометрическими характеристиками механизма, не зависящими от закона его движения.

3.2. Кинематический анализ кривошипно-ползунного механизма

Для механизма с горизонтальным движением ползуна (рис. 7) выражения кинематических характеристик получаем следующим образом.

Координаты точки А

28

Тогда координата точки В

xB xA a l22 yB yA 2 ,

где a – признак сборки механизма:

a 1 , если ползун расположен справа от начала координат; a 1 , если ползун расположен слеваот начала координат.

Перемещение ползуна, отсчитываемое от крайнего положения:

SB xB max xB .

Координата xB max точки В

xB max l1 l2 2 yB2 .

Угол 2 определяется из выражений:

29