Теория механизмов, машин и манипуляторов. Кинематика

Согласно теореме Кориолиса, ускорение точки А2 аА2 складывается из переносного ускорения аA1, кориолисова (пово-

ротного) ускорения аАk2 А1 и относительного ускорения aAr 2 A1:

аА2 аA1 аАk2 А1 aAr 2 A1 .

Кориолисово ускорение, появляющееся в результате переносного вращательного движения, для плоских механизмов определяется по формуле

Направление аАk2 А1 определяется по правилу Жуковского:

вектор аАk2 А1 направлен в ту сторону, куда окажется направленным вектор относительной скорости VА2 A1, если повернуть его на 90 в сторону переносной угловой скорости 1 2.

В ряде случаев переносное движение по рассмотренной схеме не является вращательным. Тогда кориолисово ускорение отсутствует.

Приведенные сведения из кинематики применяются для определения скоростей и ускорений точек и звеньев путем постро-

Планом скоростей механизма называется совокупность планов скоростей звеньев с одним общим полюсом р. Анало-

гичное определение имеют планы ускорений.

Построение планов скоростей и ускорений механизма производится в порядке, определенном формулой строения механизма, т. е. сначала строится план скоростей и ускорений начального звена, затем рассматривается присоединенная группа Ассура в соответствии с формулой строения. К моменту рассмотрения этой группы известными являются скорости

иускорения точек, принадлежащих внешним кинематическим парам. Определению, в первую очередь, подлежит скорость

иускорение точки внутренней кинематической пары с помощью векторных уравнений. Затем с помощью теоремы подобия определяются скорости и ускорения любых других точек звеньев группы, не принадлежащих кинематическим парам.

2.3.2. Кинематический анализ кривошипно-ползунного механизма

В рассматриваемом механизме (рис. 4, а) заданы размеры

коэффициент длины l .

Формула строения механизма: I (0,1) II (2, 3).

Для точки А начального звена 1 определяется скорость VA 1lOA. Вектор скорости V A OA и направлен в сторону

вращения звена 1.

Приняв масштабный коэффициент скорости V , вычисля-

ем отрезок pa VA , изображающий на плане скоростей VA.

V

11

Рис. 4

Выбрав полюс p, откладываем отрезок pa OA в сторону

вращения кривошипа (рис. 4, б).

Далее рассматривается группа Ассура (2, 3). Известными к началу рассмотрения группы являются VA и VВ0 0 (точ-

ка B0 принадлежит стойке). Определению подлежит скорость точки В внутренней кинематической пары VВ. Рассматривая движение В относительно А и B0 , составляем два векторных уравнения:

12

где VA и VB0 известны (VB0 0 ), VBA AB , VBB0 // направляющей ползуна.

Здесь VBA – скорость точки В при вращении звена 2 относительно точки А (относительная скорость); VBB0 – скорость

точки В при поступательном движении звена 3 относительно точки B0.

Уравнения (5) и (6) решаем графически, для чего через конец вектора VA (точку а) проводим направление VBA AB ,

а через точку b0 (находится в полюсе p ) – направление VBB0 .

В пересечении этих направлений находится точка b.

Точки с, s2 на плане скоростей находим на основании тео-

ремы подобия [1]:

Фигура, образованная векторами относительных скоростей точек звена, подобна и сходственно расположена с фигурой, образованной этими же точками звена.

Сходственное расположение фигур означает одинаковую последовательность чтения букв на обоих контурах в одном направлении.

По вычисленным значениям ac и bc находим положение точки с методом засечек.

13

Из плана скоростейвычисляем линейные иугловые скорости:

Направление угловой скорости 2 звена 2 получим, поместив вектор относительной скорости VBA (вектор ab ) в точку В

ирассматривая поворот звена 2 относительно точки А. Переходим к построению плана ускорений (см. рис. 4, в). Ускорение точки А

аА аАn аАt ,

где аАn – нормальное ускорение точки А, направленное от точки А к точке О;

аАt – касательное (тангенциальное) ускорение точки А, на-

правленное перпендикулярно ОА в сторону углового ускорения 1.

Приняв масштабный коэффициент ускорений а, находим

Далее на основании теоремы о сложении ускорений в плоском движении составляем векторные уравнения для определения ускорения точки В:

где аBnА и аBtА – нормальная и касательная составляющие

ускорения точки В при вращательном движении звена 2 относительно точки А;

аB0 0 (так как точка B0, принадлежащая стойке и в дан-

ный момент совпадающая с точкой B, неподвижна);

аBB0 – относительное ускорение точки B по отношению к точке B0, направленное вдоль направляющей ползуна.

Вектор аBnА направлен от точки В к точке А и равен

аВАn 22 lAВ,

где аBtА перпендикулярно АВ.

15

Находим отрезок аn2 , изображающий аBnА:

an

аn2 BА .

a

Уравнения (7) и (8) решаем графически. Для этого из точки a откладываем отрезок аn2 в направлении аBnА, через точку n2

проводим линию в направлении аBtА . Затем из точки b0 , расположенной в полюсе , проводим линию в направлении аBB0 . В пересечении указанных линий находим точку b, которую соединяем с полюсом и получаем отрезок b, изображающий аB.

Точки с, s2 на плане ускорений находим на основании тео-

ремы подобия (аналогично тому, как это было сделано при построении плана скоростей).

Из плана ускорений вычисляем линейные и угловые ускорения:

Направление углового ускорения 2 звена 2 получим, поместив вектор тангенциального ускорения аBtА (вектор n2 b ) вточку Вирассматривая поворотзвена2 относительно точки А.

16

Выбрав полюс p, откладываем отрезок pa OA в сторону

вращения кривошипа (рис. 5, б).

Далее рассматривается группа Ассура (2, 3). Известными к началу рассмотрения группы являются VA и VС 0 . Определению в первую очередь подлежит скорость точки В внутренней кинематической пары VВ . Рассматривая движение точки В относительноА и С, составляемдва векторныхуравнения

где VA и VC известны (VC 0 ), VBA AB , VBC CB .

Здесь VBA – скорость точки В при вращении звена 2 относительно точки А (относительная скорость);

VBC – скорость точки В при вращении звена 3 отно-

сительно точки С.

Уравнения (9) и (10) решаем графически, для чего через конец вектора VA (точку а) проводим направление VBA, а че-

рез точку c (находится в полюсе p ) – направление VBC . В пе-

ресечении этих направлений находится точка b.

Из плана скоростей находим линейные и угловые скорости:

18

Направление угловой скорости 2 звена 2 получим, поме-

стив вектор относительной скорости VBA (вектор ab ) в точ-

ку В и рассматривая поворот звена 2 относительно точки А. Аналогично определяется направление угловой скорости третьего звена.

Переходим к построению плана ускорений (см. рис. 5, в). Ускорение точки А

аА аАn аАt ,

где аАn – нормальное ускорение точки А, направленное от точки А к точке О;

аАt – касательное (тангенциальное) ускорение точки А,

направленное перпендикулярно ОА в сторону углового ускорения 1.

Приняв масштабный коэффициент ускорений а, находим отрезки, изображающие аАn и аАt :

Из полюса плана ускорений откладываем отрезок n1 в на-

правлении аАn , а из точки n1 – отрезок n1a в направлении аАt . Тогда отрезок а изображает полное ускорение точки А:

19