Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник заданий по математике для студентов первого курса инженерно-технических специальностей.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

10.11.Найти длину общей хорды параболы y = 2x2 и окружности x2 + y2 = 5 .

10.12.Написать уравнение параболы, проходящей через точки (0; 0) и (−2; 4) , если параболы симметрична: а) относительна оси Ox ;

б) относительно оси Oy .

10.13. Какая фигура соответствует каждому из данных уравнений? Сделать чертеж, если это возможно.

а) 4x2 + 25y2 + 4x −10y −8 = 0 ;

б) x2 − y2 + 2x −2y = 0 ;

в) x2 −6x + 2y +11 = 0 .

10.14. Определить вид поверхности и построить ее:

а) x2 + y2 + z2 = 2z ;

б) x2 +3z2 −8x +18z +34 = 0 ;

в) 5x2 + y2 +10x −6y −10z +14 = 0 ;

г) xy =1.

Ответы

10.1. а)			x2		+		y2			=1;			б)		x2	+				y		2		=1.
10.1. а)		25			+		9			=1;			б)	36		+		100						=1.
		25					9							36				100
10.2. F1(0, −									), F2 (0,				),								.
														ε =				3
							3					3						3
							3					3				2
																2
10.3. а)			x2					y2			=1 ;		б)		y2				x2
						−											−						=1.
		144				−	81							16			−	4					=1.
		144					81							16				4
10.4.	y2		−	x2			=1.						10.5. а)						x2 = 8y;						б) y2 = x .
1					5

10.6. y2 = ±16x. 10.7. а) окружность (x − 2)2 + (y + 3)2 =12.

б) гипербола

(y +1)2

−

(x − 2)2

=1;

в) парабола (y − 2)2 = 3(x − 2);

г) пустое множество.

10.8. а) сфера;

б) эллиптический параболоид;

в) олнополостный гиперболоид; г) коническая поверхность;

д) параболический цилиндр; е) круговой цилиндр;

10.9.

−

=1.

10.10.

=1;

ε =

10.11. 2.

10.12. а)

y2 = −8x ;

б) y = x2 .

10.13. а)

(x + 0,5)2

(y − 0,2)2

=1; б)

x + y + 2 = 0; x − y = 0 ;

2,5

0,4

в) (x −3)2 = −2(y +1) .

10.14. а)

x2 + y2 +(z −1)2 =1 ;

б)

(x −4)

(z +3)

;

в) z =

(x +1)

(y −3)2

З а н я т и е 1 1

Функция. Предел последовательности и предел функции

Аудиторная работа

11.1. Найти области определения функций:

а) y =

x2 −6x +5

б) y = arccos

1+ x

в) y = 25 − x2 +lgsin x . г) y = 2x2 −2 .

11.2. Проверить функции на четность или нечетность:

а) f (x) = x4 +5x2 . б) f (x) = x2 + x .

в) f (x) = 2xx−1 .

11.3.Построить графики функций:

а) y = 2xx−+13 .

в) y = −2sin(2x + 2) .

11.4.Вычислить пределы:

а) lim 5x2 −3x +1 .

x→∞ 3x2 + x −5

в) lim 2x22 −9x + 4 . x→4 x + x − 20

д) lim x + 7 −3 . x→2 1− 3 − x

ж) nlim→∞ n2 −2n −1 − n2 −7n +3 .

и)

lim

2 +1

−1

x→0

+ x2

− 4

−1

л)

lim

x→1

x −1

н)

lim

x2 + 7x +10

2x2 + 9x +10

x→−2

г)

б)

г)

б)

г)

е)

з)

к)

м)

f (x) = ex +1 . ex −1

y=| 3x + 4 − x2 | .

y= xsin x .

2n −1

1+ 2n3

lim

−

5n +7

+5n

n→∞

lim

2x2

−9x −5

− 4x

−5

x→5

lim

2 +3 +...+n

−

n +2

n→∞

lim

2x2 −5x + 4

2x −5x3

x→∞ 3 −

lim	sin x − cos x .
x→π	cos2x
4

lim x sin 1 .

x→∞ x

11.5. Используя замечательные пределы, найти:

а)	lim	x	.	б)	lim	tg3x	.

	x→0 sin 3x				x→0 sin 2x

в) lim 1−cos6x . x→0 xsin 3x

д) xlim0 tg x −3sin x .

→ x

ж) lim 2x + 3 x . x→∞ 2x −1

и) lim 7x +3 1/ x . x→0 9x +3

л) lim ((2x +1)(ln(3x +1) −ln(3x −2)) .

x→∞

г)

е)

з)

к)


lim	cos x − cos3x							.
lim								.
x→0				x2
				− 2cos x					.
lim			2	− 2cos x
lim
x→π/ 4			π − 4x
lim (1+ tg2						)3/ x .
lim (1+ tg2					x	)3/ x .
x→0
	6		− x		1−x3
	6		− x		x2		.
lim		7					.
x→∞		7	− x

м)

о)

lim ex − e .

x→1 x −1

lim a2x −1 .

x→0 x

н) lim ln(1+ x) .

x→0 3x −1

Домашнее задание

11.6. Найти пределы указанных функций:

а)

lim

2 + 4x2 + 3x3

б)

lim

7x2 +10x + 20

x3 − 7x −10

x3 −10x2 −1

x→∞

в)

lim

x3 − x2 + x −1

г)

lim

x2 − 25

x2 − 4x + 3

x→1

x→5

x −1

− 2

д)

е)

lim

+ 5 −

lim

−

− x

1− x2

x→∞

x→1

ж) lim x 3x. x→∞ 2 + x

и) lim cos3x − cos x .

x→0 1− 1− x2

л) lim(cos x)1/ x2 .

x→0

О т в е т ы

11.1. а) (−∞;1] [5; +∞);

в) x [−5;−π) (0; π);

11.2. а) Четная;

в) Ни четная, ни нечетная;

11.4. а)	5	;	б) 0;
	3

г)

11;;

д)

; ;

ж)

;

з) 0;

к)

−

;

л)

;

н) 3;

о)

;

б)

;

в) 6;

з) lim 1−cos 4x . x→0 3xsin 2x

1−x

к) lim (1− 4x) x . x→0

м) lim ((x −4)(ln(2 −3x) −ln(5 −3x))) .

x→∞

б) − 1 ;1 ;3

г) (−∞; + ∞).

б) Ни четная, ни нечетная; г) Нечетная.

в) 79 ;

е) − 12 ;

и) 4;

м) 0;

11.5. а) 13 ;

г) 4;

д)	1	;	е) −		2	;	ж) e2;
	2			4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 227 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]