Интегрирование с помощью замены переменой

в неопределенном интеграле

Аудиторная работа

2.1. Найти неопределенные интегралы:

а) ∫ x(3x + 4)5 dx.

б) ∫x

dx.

2x +3

∫ cos x − xsin x dx.

dx.

а)

б)

∫

4 − x2

x cos x

2x(1+ x

2 )arctg x

+ x2

в)

arcctg x

г)

∫

dx.

∫

dx.

1

+ x2

x2 (1+ x2 )arctg x

Домашнее задание

2.3. Найти неопределенные интегралы:

а)

∫

4sin 2x dx

.

б)

∫

ln x +1

dx.

1+ x ln x

4 +sin2 x

в) ∫

dx

.

г) ∫

1+ x

dx.

x

1+

1+e

x

x(2ln x +1)

1/ x

2

dx

д)

∫

dx.

е)

∫

2

.

4 + x

2

ln x

x

3

ж) ∫x(4x +5)3 dx.

з) ∫

dx

.

x

1− 4ln2 x

О т в е т ы

(3x + 4)7

2(3x + 4)6

(2x +3)5

3

2.1. а)

−

+C. б)

−

(2x

+3) +C.

63

27

20

3

в)

13 (1+ln2 x)2 +C.

г)

ln

4 +sin2 x

+C.

2

+ 2

д)

2arctg

+ C.

е)

(x −1)3

+ C.

x −1

x −1

3

1

1

ln x2

ж)

−

+ C.

з)

ln

x2 −a2

−

+C.

1+ 2cos x

a2

2a2

ex +

1 −

1

и) ln

+C.

к) 2e x +C.

ex +1 +1

1

л)

−

2 x

+C.

м) sin(ln x)+C.

ln 2

н)

x

о)

1

ln(1+3x )+C.

−

2 ln

2 −sin

+ C.

x

−

ln 3

2

3

п)

2

(x +1)

р)

с)

1

2

−

x +1

+C.

ln

x ln x

+C.

−

+C.

3

xsin x

1 ln

1−

т)

1+ x2

+C.

у) 4x ln x ln 4 +C.

2

1+

1+ x2

ф)

−2

1− x2

+arccos2 x +C.

2.2.

а)

ln

x cos x

+C.

2

б)

x

x

в)

arctg3x

+C.

2arcsin

+sin 2 arcsin

+C.

3

2

2

г)

2ln x + ln

arctgx

+C.

2.3. а)

ln

4 + sin2 x

+ C .

б)

+ C .

ln1+ x ln x

в)

ln

ex −1

+C .

г)

2(

1 x3/ 2

− 1 x +2

) −4ln(

+1) +C .

x

x

ex