|
|
З а н я т и е 9 |
|
|
|
|
Прямая и плоскость в пространстве |
|
|
||
|
Аудиторная работа |
|
|
||
9.1. Даны |
две точки M1(3; −1; 2) и |
M1(4; − 2; −1) . Составить |
|||
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
точку |
M1 |
перпендикулярно вектору M1M2 .
9.2.Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(1;3;4), M2 (3;0;2) и M3 (2;5;7) .
9.3.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M (1; 0; − 2) перпендикулярно к плоскостям x −2y + z +5 = 0 и 2x − y +3z −1 = 0 .
9.4. Найти расстояние между плоскостями 2x −3y +6z −21 = 0 и
4x −6y +12z +35 = 0 . |
|
|
9.5. Составить уравнение |
прямой, проходящей через точку |
|
M (4; −3; 2) перпендикулярно к плоскости x −3y + 2z −5 = 0 . |
||
9.6. Найти угол между прямыми |
|
|
x + 2y + z −1 = 0, |
и |
x − y − z −1 = 0, |
|
|
|
x − 2y + z +1 = 0 |
|
x − y + 2z +1 = 0. |
9.7. Написать уравнение |
плоскости, проходящей через точку |
|||||||||||||||||||
M (2; 0; −3) параллельно прямым |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x −2 |
= |
y +1 |
= |
z |
|
и |
|
x |
= |
y |
= |
z |
. |
|
|
|
||
|
3 |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
||||||
9.8. Найти |
проекцию |
|
точки |
A(3; −1; 4) |
на плоскость |
|||||||||||||||
2x + y − z +5 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9.9. Найти |
проекцию |
точки |
A(2; 3; 1) |
на |
прямую |
x + 7 |
= |
|||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= y +2 2 = z +3 2 и расстояние от этой точки до данной прямой.
28
Домашнее задание
9.10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M (−1; 2; 3) , параллельно |
плоскости, |
проходящей |
через точки |
M1(1; 0; − 2), M 2 (3; 4; 5), M3 (−1; 2; 0) . |
|
|
|
9.11. Найти расстояние |
от точки |
M (2;1;1) |
до плоскости |
x + y − z +1 = 0 .
9.12. Определить, при каком значении параметра α плоскость
αx +(2α −1)y + z −5 = 0 :
а) параллельна плоскости 2x +3y + z −4 = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) перпендикулярна плоскости 3x + y − z = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9.13. Найти |
координаты |
точки |
|
Q , |
|
симметричной |
|
точке |
||||||
P(−3;1; −9) относительно плоскости 4x −3y − z −7 = 0 . |
|
|
|
|
||||||||||
9.14. Вычислить угол |
между |
прямой |
x −2y +3 = 0 |
и |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
плоскостью 2x +3y − z +1 = 0 . |
|
|
|
|
3y + z −1 = 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9.15. Пересекаются ли прямые |
x +2 |
= |
y −3 |
= |
z −4 |
и |
x |
= |
y +4 |
= |
z −3 |
? |
||
9.16. Найти |
|
|
−1 |
2 |
3 |
3 |
|
2 |
5 |
|
||||
координаты |
точки |
|
Q , |
|
симметричной |
|
точке |
|||||||
P(2; −5;7) относительно прямой, проходящей через точки M1(5; 4;6)
иM 2 (−2; −17; −8) .
9.17.Составить параметрические уравнения медианы
треугольника |
с |
вершинами |
A(3; 6; −7), B(−5;1; − 4),C(0; 2; 3) , |
||||
проведенной из вершины C . |
|
||||||
О т в е т ы |
|
|
|
|
|
||
9.1. x − y −3z + 2 = 0. |
9.2. 5x +8y −7z −1 = 0. |
||||||
9.3. 5x + y −3z −11 = 0. |
9.4. 5,5. |
||||||
9.5. |
x −4 |
= |
y +3 |
= |
z −2 |
. |
9.6. π. |
1 |
|
−3 |
2 |
|
3 |
||
9.7. x + 2y −5z −17 = 0. |
9.8. (1; −2; 5). |
||||||
29
9.9. (−5; 2; 4). |
9.10. x + 3y − 2z +1 = 0 . |
|
|||
9.11. |
|
. |
9.12. а) α = 2 ; б) α = 0,4 . |
|
|
3 |
|
||||
9.13. Q(1;−2;−10) . |
5 |
|
′ |
||
9.14. sin ϕ = − 7 |
;ϕ ≈ −45 36 . |
||||
9.15. Нет. |
9.16. Q(4;−1;−3) . |
|
|||
9.17. x = 2t , y = −3t + 2, z =17t +3. |
|
|
|||
З а н я т и е 1 0
Кривые 2-го порядка на плоскости. Поверхности 2-го порядка
Аудиторная работа
10.1. Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что: а) расстояние между фокусами равно 8, малая полуось равна 3; б) малая полуось равна 6, эксцентриситет равен 4/5.
10.2. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса x2 +4y2 = 4 .
10.3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что:
а) расстояние между фокусами равно 30, а расстояние между вершинами равно 24;
б) действительная полуось равна 2 и гипербола проходит через точку M (4;4
3) .
10.4.Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы - в вершинах эллипса 6x2 +5y2 = 30 .
10.5.Составить каноническое уравнение параболы, если известно, что:
а) парабола имеет фокус F(0;2) и вершину в точке O(0;0) ;
б) парабола симметрична относительно оси Ox и проходит через точку M (4;− 2) .
30
10.6.Составить канонические уравнения парабол, фокусы которых совпадают с фокусами гиперболы x2 − y2 = 8 .
10.7.Выяснить, какая фигура соответствует каждому из данных уравнений, и (в случае непустого множества) изобразить ее в системе координат Оху:
а) x2 + y2 −4x +6y + 4 = 0 ;
б) 3x2 −4y2 −12x −8y + 20 = 0 ; в) y2 −3x −4y +10 = 0 ;
г) 2x2 +3y2 +6x +6y + 25 = 0 .
10.8. Определить вид поверхности и построить ее:
а) x2 + y2 + z2 −3x +5y −4z = 0 ; б) x = y2 + 2z2 ;
в) 2x2 − y2 + z2 = 4 ;
г) 2x2 − y2 + 3z2 = 0 ;
д) z2 = 4x ; е) x2 + z2 = 5.
Домашнее задание
10.9. Найти уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями x ± 2y = 0 , а расстояние между вершинами, лежащими
на оси Ox , равно 4.
10.10. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
через точки M |
1 |
|
|
|
|
|
; −1 |
и |
M |
2 |
|
−1; |
|
|
|
|
, и найти его |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
эксцентриситет.
31