Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник заданий по математике для студентов первого курса инженерно-технических специальностей.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

О т в е т ы

6.2.1) 1; − 1 ; 0 . 2) (6; − 4; 12). 3) (0; −1; 12).

6.3.Векторы противоположно направленные, вектор b длиннее вектора a в 3 раза.

6.4. cosα = 6 ;

cosβ = −

;

cosβ = −

6.5.

a +b

= 6;

a −b

=14.

6.6. D(0;1; 9).

6.7.–42.

2 .

6.9. cos A = −

;

cos B =

122

;

cos C =

122

6.10. −

6.11. | a

+b |=

6 ,

| a

−b |=14 ,

cosϕ = 21 .

6.12. прc (3a − 2b) = −11.

6.13. α = −6 .

6.14. α = arccos

6.15.

= 1;

;−

З а н я т и е 7

Векторное и смешанное произведения векторов

Аудиторная работа

| a |= 3, | b |= 4 ,

7.1. Векторы

и b ортогональны. Зная,

что

вычислить: 1) |[a , b]| ; 2) |[a +b

, a −b

]| ; 3) |[(3a +b), (a −b)]| .

7.2. Даны векторы a = (3; −1; −2),b

= (1; 2; −1) . Найти координаты

векторных произведений: 1) [a , b]; 2) [2a +b , b]; 3) [2a −b , 2a +b] . 7.3. Даны вершины треугольника A(1; −1; 2), B(5; −6; 2), C(1; 3; −1) .

Вычислить площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC .

7.4. Найти вектор c , ортогональный векторам a = (2;−3;1) и

b= (1;−2;3) и удовлетворяющий условию (c,i + 2 j −7k ) =10 .

7.5.Установить, компланарны ли векторы a, b, c , если a = (2;3;−1),

b= (1; −1;3),c = (1;9; −11) .

7.6.Доказать, что четыре точки A(1; 2; −1), B(0; 1; 5), C(−1; 2; 1),

D(2;1;3) лежат в одной плоскости.

7.7. Даны	вершины тетраэдра: A(2; 3; 1), B(4; 1; − 2),C(6; 3; 7),
D(−5; − 4; 8) . Найти объем тетраэдра и длину высоты, опущенной
из вершины D .
		Домашнее задание
7.8. Вычислить		площадь параллелограмма, построенного	на
векторах a = (0;−1;1) и b = (1;1;1) .
7.9. Лежат	ли	точки A(5;5; 4), B(3;8; 4),C(3;5;10), D(5;8; 2)	в

одной плоскости?

7.10. Выяснить, правой или левой будет тройка векторов a = (3;4;0),

b= (0;−4;1), c(0;2;5) .

7.11.Найти длину высоты параллелепипеда, построенного на

векторах a = i −5 j + k , b = 4i + 2k , c = i − j −k , если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и b .

7.12.Вычислить синус угла, образованного векторами a =(2; −2;1)

иb = (2; 3; 6) .

О т в е т ы
7.1. 1) 12.	2) 24.				3) 48.	7.2. 1) (5,17).
2) (10, 2, 14).	3) (20, 4, 28).				7.3. {25; 5}.	7.4. i = (7,5,1).
7.5. Компланарны. 7.7. {154 / 3,11}.						7.8.		.			7.9. Не лежат.
7.5. Компланарны. 7.7. {154 / 3,11}.						7.8.	6	.			7.9. Не лежат.
			16			sin ϕ =			5			.
7.10. Левая.	7.11.		16	.	7.12.				5		17
				.	7.12.					21
		3	14
		3	14

З а н я т и е 8

Прямая на плоскости

Аудиторная работа

8.1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку

A(−1; 2) , перпендикулярно вектору M1M2 , если M1(2; −7), M2 (3; 2) . 8.2. Написать каноническое и параметрические уравнения прямой,

проходящей через	точку A(3;−2) параллельно: а) вектору			S(1; 5) ;
б) оси Oу .
8.3. Написать	уравнение прямой, проходящей	через		точку
A(−1; 8) и образующей с осью абсцисс угол, равный		3π	.
A(−1; 8) и образующей с осью абсцисс угол, равный		4	.
		4

8.4. Даны вершины треугольника ABC : A(1; 2), B (2; − 2), C(6;1) . Найти:

1)уравнение стороны AB ;

2)уравнение высоты CH ;

3)уравнение медианы АМ;

4)уравнение прямой, проходящей через вершину C

параллельно стороне AB ;

5) расстояние от точки C до прямой AB .

8.5. Найти расстояние между прямыми 12x −5y −26 = 0 и 12x −5y +13 = 0 .

8.6. Найти проекцию точки A(2;6) на прямую 3x + 4y −5 = 0 .

Домашнее задание

8.7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x −2y −7 = 0 и x +3y −6 = 0 и отсекающей

на оси абсцисс отрезок, равный 3.

8.8. Найти точку O пересечения диагоналей четырехугольника

ABCD , если A(−1;−3), B(3; 5), C(5; 2), D(3; −5) .

8.9. Найти уравнения перпендикуляров к прямой 3x +5y −15 = 0 ,

проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат.

8.10.Записать уравнение прямой, проходящей через точку A(−2; 3) и составляющей с осью Ox угол: а) 45о; б) 90о; в) 0о.

8.11.Найти точку B , симметричную точке A(8;12) относительно прямой x −2y +6 = 0 .

8.12.Найти один из углов между прямыми:

а) 2x +3y −5 = 0 и x −3y −7 = 0 ;

x = 4

x = 3t −1

б)

y = t +

3t + 2

y =

О т в е т ы

8.1. x +9y

−17 = 0 .

8.2. а)

x −3

y + 2

x = 3 + t

+ 5t

y = −2

б)

x −3

y + 2

x = 3.

8.3. x +9 −7 = 0.

8.4. 1)

x −1

y − 2

x − 6

y −1

, 3)

x −1

y − 2

− 4

−1

4)4x + y − 25 = 0.

8.5. 3 .

8.6. (−1, 2).

8.7. x = 3 .

8.8. O(3;1/ 3) .

8.9. 5x −3y − 25 = 0, 5x −3y + 9 = 0 .

8.10. а) x − y + 5 = 0 ;

б) x + 2 = 0 ; в)

y −3 = 0 .

8.11. B(12; 4) . 8.12. а) arccos 1307 ; б) π3 = 60 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]