в)

′

1

г)

′

1− 2x

y

+ ytgx = cos x

,

y(0) = 0 .

y

+

x2

y =1.

д)

y′

= 2y + e

x

− x,

y(0)

1

е)

y′+

3y

2

= 4 .

=

,

y(1) =1.

x

x3

ж)

′

y3

з)

′

−x2

y

= y ctg x + sin x .

y

+

4xy = 2xe

y .

и) xy′− 4y = x2

.

к) y′+ 2xy = 2x3 y3 .

y

л)

y′− y = xy2 ,

y(0) =1.

м) (2x + y)dx + (x + 2y)dy = 0 .

н) e ydx + (xey − 2y)dy = 0 .

о)

y

dx + (y3 + ln x)dy = 0 .

x

п)

2x cos2 ydx + (2y − x2 sin 2y)dy = 0 .

xdy

y

р)

=

−1 dx .

2

2

2

2

x

+ y

+ y

x

с)

(x2 + y2 + y)dx + (2xy + x + e y )dy = 0;

y(0) = 0 .

Домашнее задание

14.2. Решить дифференциальные уравнения:

а) (1+ x2 )y′− 2xy = (1+ x2 )2 .

б)

y′−

2y

= x

3 .

x

в)

y′

y

1

2

г) 4xy′+ 3y = −e

x

4

5

−

= x ln x,

y(e) = 2 e

.

x

y

.

x ln x

1

x

9

y

2

2

д)

′

е)

x

y

+ y = 2 e

y;

y(0) = 4 .

′

y .

y

−

x = e

ж)

yexdx + (y + ex )dy = 0 . з)

e−ydx − (xe−y + 2y)dy = 0, y(5) = 0 .

Аудиторная работа

15.1. Решить

дифференциальные

уравнения,

допускающие

понижение порядка:

а)

y′′ = ln x + x .

б)

y′′′ = x

.

x

в)

y′′ = arctg x .

г)

xy′′+ y′ = 0.

д)

′

′′

′

2

е)

′′

′

y′

−

1.

xy

ln

x .

2xy y

= (y )

= y

ж)

y

′′

′

2

.

з)

yy

′′

′ 2

.

tg y = 2(y )

= (y )

и)

2yy

′′

′ 2

=

4y

2

, y(0)=1,

′

−3(y )

y (0)= 0.

Домашнее задание

15.2. Проинтегрировать уравнения:

а)

y′′′ =

xe−x .

б)

y′′′ =

.

x − 2

в)

xy′′ + ctg y′ = 0 .

г)

xy′′ + y′ = −x + 2 .

д) y

3

y

′′

=

1.

е) yy

′′

′

′

+

1) .

= y ( y

О т в е т ы

15.1. а)

y = 1 x2 ln x −

3

x2 +

x3

+C x +C

2

.

2

4

6

1

в) y = 1

(x2 −1)arctgx −

1 xln(1+ x2 )+

1 x +C1x +C2.

2

2

2

г) y = C1 ln

x

+C2 .

д) 9С12 (y + С2 )2 = 4(С1x +1)3.

е) y = (C1x −C12 )e

x

+1 + C2.

C1

ж) C1x +C2 +C tgy = 0.

з) y = C2eC1x , y = C.

е) y =

1

.

cos2 x

к) y = −(x + 3)e−x + C x2 + C

x + C

.

1

2

3

л) y =

8

(x − 2)7 / 2 +C x2

+C

x +C

.

125

1

2

3

1

м) y = xarccosC x +

1−C

2 x

2

+C

2

.

1

C1

1

н) y = 2x −

x2

+C ln x +C

2

.

4

1

о) C y2

−1 = (C x +C

2

)2 .

1

1

п) C y −1 = C

eC1x , y

= C − x .

1

2

1

а) y′′+ 4y′−5y = 0 .

б) y′′+ 4y′ = 0 .

в) 4y′′− 4y′+ y = 0 .

г) y′′− 6y′+ 9y = 0 .