Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник заданий по математике для студентов первого курса инженерно-технических специальностей.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2214 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

г)	x arccos x −			1− x2	+C .	д) 2e	x	(		−1) + C .
									x
е)	1 sin 2x −	x	cos 2x +C .
		4
	8

З а н я т и е 4

Интегрирование рациональных функций

Аудиторная работа

4.1. Записать разложение рациональной дроби на простейшие:

а)	3x − 2	.		б)	4x + 5		.
	x3 − 2x2				(x2 +1)2 (x	−3)2

в)	x2 + 2x + 2
			.
	(x2 + x +1)(x − 2)2

4.2. Найти неопределенные интегралы:

а)

∫

x3 −1

dx.

− x

в)

∫

− 2x4 + 3x3 −9x2 + 4

dx .

x5 −5x3 + 4x

д)

∫

x2 − x + 4

dx .

+1)(x −2)(x

−3)

ж)

∫

x(x2 +1)(x2 + 4)

и)

∫

6x4 −30x2 + 30

dx .

(x2

−1)(x + 2)

б)

г)

е)

з)

к)

∫			2x2 +		3	dx.
	x	4	−5x	2	+6

∫			dx				.
	x	3	+ 2x	2	+ 2x

∫x3 + 3 dx . x3 −8

∫x4 x+43−x1+1 dx .

x + 2		2	dx	.
∫
	x −1		x

Домашнее задание

4.3. Найти неопределенные интегралы

а)	∫	6x4 − 21x2			+ 3x + 24		dx .
		(x2 + x −		2)(x +1)

в)	∫	x2	− 6x +8		dx .
			x3 +8

д)	∫		5x dx			.
		x4 + 3x2 − 4

О т в е т ы

б)	∫		dx		.
		x	3	2
			+ x
г)	∫			9x −9				dx .
		(x +1)(x2				− 4x	+13)

е)	∫	2x4 −3x3				− 21x2 − 26			dx .
		(x + 3)(x2 −5x + 4)

4.2. а)

1 x +ln

−

2x −1

−

2x +1

+C.

б)

− x

+C.

2 3

3 + x

2 + x

в)

+ln

x −1

x +1

−ln

x −2

+ln

x + 2

г)

1 ln

−

1 ln

x2 + 2x + 2

− 1 arctg(x +1)

+ C.

д)

1 ln

x +1

−2ln

x −2

5 ln

x −3

+C.

11 ln

x +

е)

x +

x − 2

−

+ 2x + 4

−

arctg

ж)

1 ln

−

1 ln

x2 + 4

+C.

з) x + 54 ln x −1 + 14 ln x +1 − 34 ln x2 +1 − arctgx + C.

и)

3x2 −12x +ln

x −1

−3ln

x +1

+ 2ln

x + 2

+C.

к)

4ln

−3ln

x −1

−

+C.

x −1

4.3. а) 3x2 −12x + 2ln x −1 −3ln x +1 +10ln x + 2 +C .

б)

x +1

− 1

+C .

в)

1 ln

arctg

x −

+C .

2ln

x + 2

−

−2x + 4

−

г)

1 ln

x −2

−4x +13

−ln

x +1

+ 2arctg

+C .

д)

1 ln

x −1

1 ln

x +1

−

1 ln

+ 4

+C .

е) x2 + x + 4ln x −1 +ln x +3 −2ln x −4 +C .

З а н я т и е 5

Интегрирование тригонометрических выражений и простейших иррациональных функций

Аудиторная работа

5.1. Найти неопределенные интегралы от тригонометрических функций:

а)	∫sin 5xsin 3x dx .	б) ∫cos8x cos3x dx .
в)	∫sin4 2x dx .	г)	∫cos5 3x dx .
д)	∫sin3 2x cos5 2x dx .	е)	∫sin3 3xcos3 3x dx .
ж)	∫cos2 xsin4 x dx .	з)	∫tg3 2x dx .

и)

∫ctg4 x dx .

к)

∫sin2 x dx .

cos4 x

л)

∫

м)

∫

1+ sin2 x

1+ tg x

н)

∫

о)

∫

sin2 x +8sin x cos x +12cos2 x

5 + 4sin x

5.2. Найти неопределенные интегралы от иррациональных функций:

а)

в)

д)

ж)

и)

	dx
∫	(5 + x) 3 + x .

∫(3 x dx4) x .

∫x23+1+1x+ x dx .

∫x(1− x2 ) dx .

3	1+ 4	x	dx.
∫	x		dx.
	x

б)

∫

x −1

dx .

x +1

г)

∫

x2 )

е)

∫

2x +1 + 3 2x

з)

∫

1+ x

к)

∫

dx .

Домашнее задание

5.3. Найти неопределенные интегралы:

а)

∫sin3 xcos8 x dx .

б)

∫sin4 3x cos2 3x dx .

∫cos5 xsin x dx .

∫5

cos3 2x dx .

в)

г)

sin3 2x

д)

∫

е)

∫

3cos x −

4sin x

16sin

2 x −8sin x cos x

ж)

∫

x +1

dx .

x + 2

x + 3

+ 6

и)

∫

dx .

x(1+ 3

О т в е т ы

5.1. а)

1 sin 2x −

sin 8x + C.

в)

−

1 sin 4x +

sin8x +C.

д)

−

cos6

−

cos8 2x

+C.

ж)

−

cos 2x +

cos 4x +C.

и)

−

ctg3 x

+ctg x + x +C.

л)

arctg(

tg x) +C.

з)

∫

1−

x +1

dx .

(1+

3 x +1) x +1

+ 3

x +

к)

∫

dx .

x(1+ 3

б)

sin11x +

sin 5x +C.

г)

sin 3x

−

sin

3x +

+C.

		1					cos3 6x
е)	−		cos6x −						+C.
е)	−		cos6x −						+C.
		48				3
		48				3
з)	1 tg2		2x +		1 ln		cos 2x	+C.
з)	1 tg2		2x +		1 ln		cos 2x	+C.
к)	4	tg3 x			2
	4				2
	−			+C.
	−	3		+C.
		3

м)

1 ln

tg x +1

−

1 ln

tg2 x +1

1 x +C.

5tg

+ 4

tg x +6

н)

о)

− 4 ln

tg x −6

+C.

3 arctg

+C.

5.2. а)

arctg

3 + x

+C.

б) −2arctg

x −1

+ln

x +1

−

x −1

+C.

x +1

x +1 +

x −1

в)

−12arctg

+C.

г)

+C, где t =10

10 −

−

+ln

−ln

t +

4t4

3t3

2t2

д)

8 t

−

5 t

7 t

2 t

+C,

t = 1 + x .

е)

−

+t −ln

t +1

+C, где t = 6

2x +1.

ж) Не берущийся.

2t3

1− x4

з)

−

+C, где t =

− t

и) 12 t

+C, где t = 3 1− 4 x.

к) 6t + 2ln

t2 +t +1

2t +1

+C, где t = 3

t −1

−ln

−4

arctg

5.3. а)

cos11 x −

1 cos9 x +C .

б)

x −

sin12x −

sin3 6x +C .

192

144

в)

−

cos6 x

+C .

5 5

+C .

г)

sin8 2x

−

sin18 2x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2214 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]