Домашнее задание

Домашнее задание

Аудиторная работа

Домашнее задание

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник заданий по математике для студентов первого курса инженерно-технических специальностей.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2211 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

в)	y =	2x2		−1	.		г)	y = x −2sin x .
			x	4

д) y = 3			x2 −2x			.	е)	y = x2e−x

17.2. Найти экстремумы функций, пользуясь производной 2-го порядка:

17.3. Определить наибольшее и наименьшее значения данных функций в указанных интервалах:

а) y = x4 −2x2 +5;[−2,2] .

в) y = 3x +1 −3x −1 ; [0,1].

д) y = x2 −1 ; [− 2,1]. x2 +1

б) y = x + 2x; [0,4].

г) arctg11+− xx ; [0,1] .

17.4. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см3, причем стороны основания относились бы как 1 : 2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей?

17.5. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

17.6. Найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума следующих функций:

а) y = x	1− x2	.	б)	y = ln x −arctg x .
17.7. Найти экстремум функции			y = x +	a2	(a > 0)	, используя
17.7. Найти экстремум функции			y = x +	x	(a > 0)	, используя
				x

вторую производную.

17.8. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах (или во всей области определения):

а) y =	1− x + x2	; [0, 1].	б) y = xe−x2 2 .
	1+ x − x2

17.9. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле α наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения будет наибольшей?

О т в е т ы

17.6. а) На (−1;−1/ 2) (1/ 2;1) – убывает; на (−1/ 2; 1/ 2) –

возрастает; ymin = y(−1/ 2) = −1/ 2; ymax = y(1/ 2) =1/ 2 .

17.6.б) Возрастает на всей области определения.

17.7.ymax = y(−a) = −2a; ymin = y(a) = 2a .

17.8. а) 1 и 3/5.	17.8. б) 1/		и −1/		.	17.9.	α =	2π	.
		e		e
								3

			З а н я т и е 1 8
Выпуклость и вогнутость графиков функций. Асимптоты.
		Построение графиков функций
			Аудиторная работа
18.1. Найти	точки		перегиба и интервалы выпуклости и
вогнутости графиков функций:
а) y = ln(x2 +1) .			б) y =	3x4 +1	.

				x3
в) y = x2 +	1	.	г) y = xe−x .

	x2

18.2. Найти асимптоты графиков функций:

а)	y =	x4		.	б)	y =	ln x	.
		x3	+1				x

в)	y = x +sin x .				г)	y = (x − 2)e−1/ x .

18.3. Провести полное исследование и построить графики функций:

а) y =	2x2 −1		.			б) y = x2e−x .

	x4
						г) y = 3		.
в) y = x		1− x2			.		x2 −2x
д) y = x2 ln x .
						Домашнее задание
18.4. Найти точки перегиба графиков функций:
а) y =	2x −1			.		б) y = x arctg x .

	(x −1)2
									1
18.5. Найти асимптоты графика функции y = x ln e +									x	.

18.6. Исследовать функции и построить их графики:

а)	y =		x3			.
а)	y =	1− x2				.
		1− x2
О т в е т ы
18.4. а)				−	1	,−	8
18.4. а)				−	2	,−	9	.
					2		9

18.5. x = −1e ; y = x + 1e .

б) y = xe1/ x .

б) Точек перегиба нет.

Т и п о в о й р а с ч е т № 1

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

З а д а ч а 1

Исследовать систему уравнений и в случае совместности решить ее.

x1 − x2 − x3 − x4 =1, 1.1. а) 2x1 + x2 − x3 + x4 = 3,

3x1 + x4 = 4.

2x1 + x3 + 2x4 = 5, 1.2. а) x2 − x3 + x4 = 0,

2x1 + x2 +3x3 = 5.

x2 + 2x3 + 3x4 = 2, 1.3. а) x1 − x2 − x3 − 2x4 = 0,x1 + x2 + x4 = −1.

2x2 + x3 + 4x4 = 0, 1.4. а) x1 − x3 + x4 = 2,

x1 + 2x2 + 5x4 =1.

4x2 + 2x3 −3x4 = 0,

1.5. а) 3x1 −3x2 + x4 = 3,3x1 + x2 + 2x3 − 2x4 = 3.

x1 − 2x2 +3x3 = 3, 1.6. а) 2x1 + x3 − x4 =1,

x1 + 2x2 − 2x3 − x4 = −2.

2x1 −3x2 − x3 = 0,
x		+ x			+ x			=1,
б)	1			2			3
3x1 − 2x2 =1,
x − 2x					2	− 2x				= −1.
	1							3
2x1 −3x2 + x3 = 0,
x		+ x			+ x			=1,
б)	1		+	2			3			= −1,
	4x			5x		2	− x
	1							3
7x			+	3x			+ x			= 3.
	1				2			3
x		− x		2	+ 2x				=1,
	1						3
б) 3x1 + x2 + x3 = −2,
	x	+ x			+ x			= 3,
	1			2			3
x		− x		2	+ x			= 0.
	1						3

3x1 + 4x2 − x3 = 0, б) x1 + 2x2 + x3 = 0,2x1 − x2 + x3 = 0.

3x1 + x2 + x3 = 4, б) x1 + x3 − 2x4 = 2,2x1 + x2 + 2x4 = 2.

2x1 − x3 − 2x4 = 0,
x		+ 2x		− x		=1,
б)	1		2		3
	x	+ x = 2,
	2		4
3x			+ 3x	2	− 2x = 0.
	1					3

4x1 − 2x3 + 5x4 = 0,

1.7.а) 3x1 + x3 − x4 = 0,x1 −3x3 + 6x4 = 0.

x1 − x3 + x4 = 0,

1.8.а) 2x1 + x3 − 2x4 = 0,3x1 + 2x2 − x4 = 0.

x1 − x2 + х3 + x4 = 0, 1.9. а) 2x1 + x2 + х3 − x4 = 0,

x1 + 2x2 − 2x4 = 0.

x1 + x2 − x4 = 0,

1.10. а) x2 + х3 + x4 = 0,

x3 − 4x4 = 0.

2x3 + 4x4 = 0,

1.11. а) x1 + х2 − x4 = 0,

2x1 + 3х2 − x3 = 0.

3x1 + х2 − x4 = 0,

1.12. а) 2x1 − х2 + x4 = 0,

x1 −3х2 = 0.

б)

x1 + x3 − x4 = 7,2x1 + x2 + x4 = 6,x1 − x2 + x3 = −5,4x1 + 2x3 = 0.

2x1 + 2x2 + x3 = 5,x1 − x3 + x4 = 0,3x1 + 2x2 + x4 =1,x2 + x3 − х4 = 0.

3x1 − 2x2 − x3 =1,x1 + x2 + x3 = 0,5x2 + x3 = 7,

x1 + 3x2 = 6.

x2 + x3 − x4 = −2,x1 + x2 − x3 = 4,2x1 + х2 + x4 = 3,3x1 + 3x2 = 0.

x2 + x3 + x4 =1,

x1 − x2 + x3 − х4 = −1,x1 + 2х3 = 0,

x1 − 2x2 − 2х4 = −2.

x1 − х2 + x3 = 7,x1 + 2x2 + х4 = 5,2x2 + х3 − х4 = 0,

2x1 + x2 + х3 + х4 =1.

2x1 + х2 + x3 = 0,

+ х

− x

1.13. а)

2x3 − х4 = 3,

3x1 + х2 +

+ х

− 2х

= 6.

х2 + х3 + x4 = 3,

1.14. а)

x1 − х2 + x4 =1,

+ х

+ 2

= 4.

−3х

−

+ x

= 0,

1.15. а)

3x1 − 2х2 −5х3 − 4x4 = 0,

5x1 −8х2 −13х3 − 2х4 = 0.

x1 − х2 + x4 =1,х + х − x =1,

1.16. а) 2 3 4

2x1 − х3 + х4 = 0,3х1 + х4 = 5.

x1 + 2х3 − x4 = 0,

1.17. а) 2x1 + х2 + x3 = 0,

x1 − х3 + х4 = 0.

x1 − 2x2 + 4x3 = 0,

1.18. а) x1 + x2 − x3 = 0,

2x1 − x2 + 3x3 = 0.

б)

3x3 + 4x4 = 0,

x1 + x2 + х4 = 0,2x1 + х2 − х4 = 0.

x1 − 2х2 − x3 = 0,x1 + 2x3 − х4 = 0,x1 + 3х4 = 0.

x1 + 2х2 + x3 − х4 = 4,3x1 + 2x2 − х3 − х4 = 0,2x1 − х2 + х3 + 2х4 = −1,

6x1 + 3x2 + х3 = 3.

x1 + х3 + 2x4 = 0,x1 − x3 + х4 = 0,x1 + х2 + 3х4 = 0.

2х2 + 2x3 − 4х4 =1,

3x1 + x2 − х3 − х4 = 2,х1 + x2 + х3 + х4 = −1,4x1 + 4x2 + 2х3 − 4х4 = 0.

2x1 − x3 − x4 = −3,3x1 + x2 − 2x3 = 0,x1 − x2 − x3 = −1,

6x1 − x2 − x3 −3x4 = 2.

	3x2 + x3 + 4x4 = 0,
1.19. а)	x1 + x3 − x4 = 0,
	2x			+ 3x		4	= 0.
		1				4
	2x1 + x3 + 3x4 = −1,
	x		+ x		− x =			1,
1.20. а)		1		2			4
1.20. а)	x		− x		=		4,
		3		4
	3x			+ 2x			+ x	+ x	= 4.
		1			2		3		4
	x2 + x3 + 3x4 = 3,
1.21. а) x1 − x3 + x4 = −1,
	x		+ x		+		4x = 2.
		1		2			4

x1 − x3 − x4 = 0,

1.22.а) 2x1 − 2x2 + x4 = 0,3x1 − 2x2 + x3 = 0.

3x1 − x3 −5x4 = 5,
1.23. а) 2x1 − x2 + x4 =1,

5x1 − x2 − x3 − x4 = 6.
x2 −3x3 + x4 = 2,
x		− 7x		+ x	4	= −1,
	1	3			4
1.24. а) x		+ x	−10x			+ 2x	= 0,
	1	2			3		4
x		+ x	+ x		= 0.
	1	2		3

б)

x2 + 5х3 + 2x4 = 0,− x3 + x4 =1,

x2 + 2x3 − x4 = −1,

x1 + 2x2 + 6x3 + 2x4 = 0.

x1 − x2 − x3 = 0,x1 + x2 + x3 = 0,2x1 − x2 − x3 = 0.

2x1 −3x2 + x3 = 0,x2 − x3 − x4 = 0,x1 + x2 + 2x3 = 0,

3x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0.

3x1 + x2 + 5x3 =1,x1 − x2 − 4x4 = 5,x2 + x3 + x4 = −1,

3x1 + 2x2 + 6x3 + x4 = 9.

x1 − 2x2 + x3 = 0,2x2 + x3 + x4 = 0,

−3x1 − x2 + x3 + x4 = 0,x1 + 3x2 − x3 − x4 = 0.

3x1 + 2x2 − x3 − x4 = 0,2x1 − 2x2 + 4x3 − 2x4 = 0.

	2x1 + x2 − x4 = 2,									2x1 + x2 + x3 = 0,
1.25. а)	x	2	+ 2x		+ x		= 0,		б)	2x1 + x2 + x3 = 0,
1.25. а)		2		3		4		2,	б)	x	− 2x	+ x = 0,
	2x			+ 2x	2	+ 3x =		2,		1	2	3
			1		2		3					+ 2x3 = 0.
	2x			−3x		− 2x =		2.		3x1 − x2		+ 2x3 = 0.
			1	3			4

За д а ч а 2

2.1.Вычислить (a, b) , где a = 3m1 − 2m2; b = m1 + 4m2; m1, m2 –

единичные векторы, угол между которыми равен π .

2.2. Найти

проекцию

вектора

a = 4i −3 j + 4k4

на направление

вектора b = 2i

+ 2 j + k .

2.3. Найти (a, b) ,

, если a = 2i + j −k , b = j + 2k .

2.4. Вектор

c , коллинеарный

вектору

a = 5i −2k ,

образует

острый угол

с осью

Oz.

Найти

координаты

вектора

c ,

если

= 3

(a, ^ b )=

2.5. Найти (2a −3b,

a −b ), если

= 2 ,

π .

2.6. Найти (a, b) ,

= 2m +3n − p; b = m −4p,

, если a

m, n,

–

ортогональный базис и

= 4 .

2.7.Найти длину вектора

, если

= 3m

+ 4n

=1, (m^ n)

a = 2i + j − k 3

2.8. Найти вектор

, коллинеарный вектору

удовлетворяющий условию (a, b) = 3.

(a^ b )=

2.9. Найти (2a −5b,

a +3b ), если

= 2,

= 3,

2π

2.10. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма,
сторонами которого служат векторы а = 2i + j −k , b = i −3			j + k .
2.11. Найти вектор d ,	удовлетворяющий	условиям	(d, a)= 5,
(d, b )= 2, (d, c)= 3 , если	a (−1 ,2 ,0), b (−1, 0,	5), c(1, 0, 0).

2.12. Даны векторы a =3i −6 j −k, b = i +4 j −5k,

c =3i −4 j +12k .

Найти проекцию вектора a + b на направление вектора c .

2.13. Вектор

b , коллинеарный вектору a = 6i −8 j −7,5k , образует

острый угол с осью Oz. Найти координаты вектора b , если

= 50 .

2.14. Найти

площадь

треугольника,

построенного

на

векторах

→

AB = 3a − 2b и

AC = 6a +3b , если

= 4,

3 (a^ b )= π .

[a, b]

2.15. Найти

, если

=8,

=15,

(a,b )= 96 .

2.16. Какой угол образуют векторы

b , если

m = a + 2b и

n = 5a −4b

ортогональны,

=1?

2.17. Вычислить

(a, b

)+ (b,

c )+(c, a),

если

a +b +c = 0 ,

=1.

2.18. Даны точки А(–5,

7, –6)

и B(7,

–9,

9). Найти проекцию

вектора a = i −3 j + k на направление вектора

→

АВ .

2.19. Найти координаты вектора

a , если (a^i )=

(a^ j )=

=6.

2.20. Найти

вектор

ортогональный

х ,

вектору

a(12, −3, 4),

имеющий с ним одинаковую длину и лежащий в плоскости Oyz.

2.21. Найти угол между векторами a

= 2m + 4n и b

= m

− n

, если

2π

=1,

(m^ n)=

вектора a (4, −3, 4)

2.22. Найти

проекцию

на

направление

вектора b(2, 2, 1).

2.23.Какой угол образуют единичные векторы m и n , если векторы a = m + 2n и b = 5m − 4n ортогональны?

2.24.Доказать, что скалярное произведение двух векторов не изменится, если к одному из них прибавить вектор, ортогональный другому сомножителю.

2.25. При каких значениях α и β векторы a = 2i − j + 2k и b = 5i +βj −k коллинеарны?

За д а ч а 3

3.1.Найти [2a +b, b], где a = 3i − j −2k; b = i + 2 j −k .

3.2.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на

векторах

, если

= 5;

= m + 2n

и b = m −3n

= 3, (m^ n)=

6 .

3.3. Вектор с

перпендикулярен векторам

и b , угол между

иb равен π6 . Зная, что a = 6, b = 3, c = 3 , вычислить (a, b, c) .

3.4.Найти [2a −b, 2a + b], где a = 2i − j + k; b = 3k −i −2 j .

3.5.Найти вектор x, если известно, что он ортогонален векторам a = i − j +3k , b = 2i +3 j −k и (x, 2i −3 j + 4k )= 51.

, если он ортогонален векторам

(2, 3, −1), b(1, −1, 3) и x =1.

, компланарный векторам

(2, −1, 3) и b(4, 2, 0) и ортогональный вектору c(1, 1, 1).

3.8. Вычислить

площадь

параллелограмма,

сторонами

которого

являются

векторы

если

a = m + 2n

= m −

3n ,

= 5,

= 3, (m ^ n)=

6 .

3.9. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма,

сторонами которого служат векторы a = 2i + j + k , b = i −3 j + k .

3.10. Вычислить

высоту

параллелепипеда,

построенного

на

векторах

a = 3i

+ 2 j −5k , b

= i −

j + 4k , c = i

−3 j + k

если

за

основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и b .

3.11. Вектор x

, перпендикулярный векторам

a = 4i −2 j −3k

= j +3k

, образует

с осью

Oy тупой

угол.

Найти

координаты

вектора x

, если

= 26.

3.12. Вычислить площадь параллелограмма, сторонами которого

являются векторы AB и AC , если A(1, −1),			B(2, −3),		C(1, 4).
3.13. Вершины	треугольной	пирамиды		находятся		в точках
A(0, 0, 0), B(3, 4, −1), C(2, 3, 5),		D(6, 0, −3). Найти длину высоты,
проведенной из вершины А.				B(3, 0, 5),		C(−1, 2, 3),
3.14. Проверить,	лежат ли точки A(2, −1, 2),
D(0, 2, −1) в одной плоскости.					a = i −2 j + k ,
3.15. Проверить,	компланарны ли		векторы
b = 3i + j −2k , c = 7i +14 j −13k .						A(0, 0, 1),
3.16. Дана треугольная пирамида с			вершинами
B(2, 3, 4), C(6, 2, 3), D(3, 7, 2).		Найти длину высоты пирамиды,

проведенной на грань BCD.

3.17.Найти площадь параллелограмма, сторонами которого являются векторы a = i −3 j + k и b = 2i − j +3k .

3.18.Найти [3a −b, a], если a = 2i + 4 j −k , b = −i + j + 2k .

3.19.Найти (a, b, c) , если векторы a, b, c образуют правую

= 3, c = 4.тройку и взаимно перпендикулярны,

3.20. Показать, что точки A(3, 1, –1), B(5, 7, –2), C(1, 5,			0)	и
D(9, 4, –4) лежат в одной плоскости.
3.21. Вычислить	площадь	параллелограмма, построенного		на
векторах a = 2i +3 j,	b = i −4	j .	j +2k
3.22. Найти единичный вектор, ортогональный векторам a =i +			j +2k
и b = 2i + j + k .

3.23. Вершинами треугольной пирамиды являются точки A(-5, 4, 8), B(2, 3, 1), C(4, 1, –2) и D(6, 3, 7). Найти длину высоты, проведенной

на грань BCD.
3.24. Вычислить	синус	угла	между	диагоналями
параллелограмма,	построенного		на	векторах
a = 2i + j −k , b = i	−3 j + k .

3.25. Проверить, лежат ли точки A(–1, 2, 3), B(0, 4, –1), C(2, 3, 1)

и D(–2, 1, 0) в одной плоскости.

За д а ч а 4

4.1.Написать уравнение прямой, проходящей через начало

координат перпендикулярно прямой 2x −6y +13 = 0 .

4.2. Найти угол между прямой 2x + 3y −1 = 0 и прямой, проходящей через точки M1(−1; 2), M2 (0; 3).

4.3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M (−1; 4)

параллельно прямой 2x +3y −4 = 0 .					B(0, 1) и
4.4. Дан треугольник с вершинами в точках A(−1, 2),
C(1, 4). Написать уравнение прямой, проходящей через вершину А
параллельно противоположной стороне.				(3α + 2)x +
4.5. При каком	значении параметра α		прямые
+ (1− 4α)y +8 = 0	и	(5α −2)x +(α + 4)y −7 = 0			взаимно
перпендикулярны?			B(−3, 3)		C(5, −8).
4.6. Даны вершины треугольника A(3, 5),				и

Определить длину медианы, проведенной из вершины С.

4.7. При каких значениях α прямые ax − 2y −1 = 0 и 6x −4y −3 = 0 :

а) параллельны; б) имеют одну общую точку?
4.8. Написать уравнение прямой,			проходящей		через		точку
M (4; 3) перпендикулярно вектору M1M 2 , если M1				(0, − 2),		M2 (3, 5).
4.9. Дан треугольник с вершинами в точках M1				(2, 5),		M2 (−1, 3)
и M3(0, 0).	Составить	уравнение	медианы, проведенной из
вершины M3 .
4.10. Найти	уравнение	прямой,	проходящей		через		точку

M1(−1, 2) перпендикулярно прямой, соединяющей точки M2 (2, 3)

иM3(0, −1).

4.11.На прямой 2x + y +11 = 0 найти точку, равноудаленную от

двух данных точек A(1, 1) и B(3, 0).

4.12. Написать уравнение	прямой, проходящей через точку
M (−1; 1) параллельно прямой 4x + y −5 = 0 .
4.13. Найти расстояние	между прямыми 3x −4y + 25 = 0 и
6x −8y −50 = 0 .
60

4.14. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M (1; 2, 3)

параллельно вектору AB , если A(−1; 2, 4), B(3; 5, 8). 4.15. Привести к каноническому виду уравнения прямой

2x −3y −3z −9 = 0,
x −2y + z +3 = 0.

4.16. Найти уравнение прямой, проходящей		через точку
M(−1; 3) и точку пересечения прямых 2x − y −1 = 0,		3x + y − 4 = 0 .

4.17. Найти значения параметров a и d, при которых прямая

x =	3 + 4t
y =	1 + 4t

z = − 3 + t

принадлежит плоскости ax + 2y −4z + d = 0 .

4.18.Дан треугольник с вершинами в точках А(1, 5), B(−4, 3), С(2, 9). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины А.

4.19.Составить уравнение прямой, проходящей через точку

пересечения прямых 3x −5y + 2 = 0, 5x −2y + 4 = 0 и точку А(1, 3).

4.20.Дан треугольник с вершинами в точках А(1, 1), B(−2, 3), С(4, 7). Написать уравнение медианы, проведенной из вершины А.

4.21.Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, −1) параллельно прямой, соединяющей точки M1(2,−3) и M2 (5, 1) .

4.22. Даны уравнения сторон треугольника x + 2y −1 = 0, 5x + 4y −17 = 0, x − 4y +11 = 0 . Составить уравнение прямой,

проходящей через одну из вершин треугольника параллельно противоположной стороне.

4.23. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M1(2, 3) ортогонально вектору M1M2 , если M2 (4, 5) .

4.24.Выяснить, принадлежат ли точки А(−1, 2), B(3, 4) и С(1, 2) одной прямой.

4.25.Даны точки А(−1, 2, 3),B(3, 1, 2) и С(1, 3, 1). Найти точку пересечения медиан треугольника ABC.

З а д а ч а 5

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Требуется найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) площадь грани А1А2А3; 4) объем пирамиды; 5) уравнение прямой А1А4; 6) уравнение плоскости А1А2А3; 7) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.

5.1.	A1(3,3,9),	A2 (6,9,1),	A3 (1, 7,3),	A4 (8,5,8).
5.2.	A1(3,5, 4),	A2 (5,8,3),	A3 (1,9,9),	A4 (6, 4,8).
5.3.	A1(2, 4,3),	A2 (7, 6,3),	A3(4,9,3),	A4 (3, 6, 7).
5.4.	A1(9,5,5),	A2 (−3, 7,1),	A3(5, 7,8),	A4 (6,9, 2).
5.5.	A1(0, 7,1),	A2 (4,1,5),	A3(4, 6,3),	A4 (3,9,8).
5.6.	A1(5,5, 4),	A2 (3,8, 4),	A3 (3,5,10),	A4 (5,8, 2).
5.7.	A1(6,1,1),	A2 (4, 6, 6),	A3 (4, 2, 0),	A4 (1, 2, 6).
5.8.	A1(7,5,3),	A2 (9, 4, 4),	A3 (4,5, 7),	A4 (7,9, 6).
5.9.	A1(6, 6, 2),	A2 (5, 4, 7),	A3 (2, 4, 7),	A4 (7,3, 0).
5.10.	A1(1, −3,1),	A2 (−3, 2, −3),	A3(−3, −3,3),	A4 (−2,0, −4).
5.11.	A1(1, −1, 6),	A2 (4,5, − 2),	A3 (−1,3, 0),	A4 (6,1,5).
5.12.	A1(1,1,1),	A2 (3, 4, 0),	A3(−1,5, 6),	A4 (4, 0,5).
5.13.	A1(0, 0, 0),	A2 (5, 2, 0),	A3(2,5, 0),	A4 (1, 2, 4).
5.14.	A1(7,1, 2),	A2 (−5,3, − 2),	A3 (3,3,5),	A4 (4,5, −1).
5.15.	A1(− 2,3, − 2),	A2 (2, −3, 2),	A3 (2, 2, 0),	A4 (1,5,5).
5.16.	A1(3,1,1),	A2 (1, 4,1),	A3(1,1, 7),	A4 (3, 4, −1).
5.17.	A1(4, −3, − 2),	A2 (2, 2,3),	A3 (2, − 2, −3),	A4 (−1, − 2,3).
5.18.	A1(5,1, 0),	A2 (7, 0,1),	A3 (2,1, 4),	A4 (5,5,3).
5.19.	A1(4, 2, −1),	A2 (3, 0, 4),	A3(0, 0, 4),	A4 (5, −1, −3).
5.20.	A1(0, 0, 2),	A2 (3, 0,5),	A3(1,1, 0),	A4 (4,1, 2).
5.21.	A1(3, 0,5),	A2 (0, 0, 2),	A3(4,1, 2),	A4 (1,1, 0).
5.22.	A1(1,1, 0),	A2 (4,1, 2),	A3(0, 0, 2),	A4 (3, 0,5).
5.23.	A1(4,1, 2),	A2 (1,1, 0),	A3 (3, 0,5),	A4 (0, 0, 2).

5.24.	A1(0, 0, 0),	A2	(3, − 2,1),	A3 (1, 4, 0),	A4 (5, 2,3).
5.25.	A1(3,1, 0) ,	A2	(0, 7, 2),	A3(−1, 0, −5),	A4 (4,1,5).

З а д а ч а 6

Построить на плоскости кривую, приведя ее уравнение к каноническому виду.

6.1.x2 +8x + 2y + 20 = 0 .

6.2.3x2 −4y2 +18x +15 = 0 .

6.3.x2 + 2y2 − 2x +8y + 7 = 0 .

6.4.x2 +8x + y +15 = 0 .

6.5.x2 + y2 + 4x −10y + 20 = 0 .

6.6.5x2 +9y −30x +18y +9 = 0 .

6.7.4x2 +9y2 −40x +36y +100 = 0 .

6.8.9x2 −16y2 −5x − 64y −127 = 0 .

6.9.2x2 +8x − y +12 = 0 .

6.10.x2 + 4y2 − 6y + 3 = 0 .

6.11.9x2 + 4y2 −54x −32y +109 = 0 .

6.12.x2 −5x − y + 7 = 0 .

6.13.x2 −4y2 +6x +16y −11 = 0 .

6.14.4x2 +8x − y +7 = 0 .

6.15.9x2 + 4y2 −18x = 0 .

6.16.x + 2y2 −8y + 3 = 0 .

6.17.x2 + 4y2 − 6x +8y = 3 .

6.18.x −5y2 +10y −6 = 0 .

6.19.x2 −4y2 +8x −24y = 24 .

6.20.x2 +6x +5 = 2y .

6.21.9x2 +10y2 + 40y −50 = 0 .

6.22.16x2 −9y2 −64x −18y +199 = 0 .

6.23.x −2y2 +12y −14 = 0 .

6.24.y2 + 2y + 4x −11 = 0 .

6.25.x2 + 2y2 + 2x = 0 .

З а д а ч а 7

Построить поверхность, приведя ее уравнение к каноническому виду.

7.1. а)	z =1− x2 − y2 ;	б)	z = 4 − x2 .
7.2. а)	x2 + 2x + 2y2 + 4z2 = 0 ;	б)	y2 +5y + z = 4 .
7.3. а)	x2 + y2 + 4z2 + 6x = 0 ;	б)	x2 + z2 = 2z .
7.4. а)	2y2 + z2 =1− x ;	б)	xy = 4 .
7.5. а)	9x2 + 4y2 −8y − z2 = 32 ;	б)	x2 − y2 − 6x = 0 .
7.6. а)	x2 − 2y2 + z2 + 2z = 0 ;	б)	z2 + 4z −6y −20 = 0 .


7.7. а)	x2 + y2 + z2 −3x + 5y − 4z = 0 ;		б)	y2 = 4x +1.
7.8. а)	z = 2 + x2 + y2 ;		б)	z =1− x2 .
7.9. а) 36x2 +16y2 −9z2 +18z = 9 ;			б)	z2 − 2z −8x −7 = 0 .
7.10. а)		x2 − y2 − z2 = 0 ;	б)	y2 = 4x −2 .
7.11. а)		x2 + y2 + z2 = 2z ;	б)	y = x2 .
7.12. а)		x2 + 3y2 − z2 + 2z = 2 ;	б)	x =1− z2 .
7.13. а)		2x2 − 4y2 + z2 = 2z ;	б)	x2 + 5z = 2x .
7.14. а)		z = 4 − x2 − y2 ;	б)	x2 + y2 = 2y .
7.15. а) 2y2 + x2 − 4x − 4z2 + 4 = 0 ;			б)	z = (x −1)2 .
7.16. а)		y2 − 2y − z2 − x2 = 0 ;	б)	x = y2 .
7.17. а)		x2 + y2 − 2y = 2z −1;	б)	z2 + y2 = 2z .
7.18. а)		x2 + y2 = 2z + 6 ;	б)	x2 + z2 −6z = 0 .
7.19. а)		9x2 + 4y2 +8y −36z2 = 32 ;	б) 2x2 +5y =10 .
7.20. а)		x2 + y2 + z2 = 2z ;	б)	z2 = 7x .
7.21. а) 5x2 +15y2 − 4z2 +8z − 24 = 0 ;			б) 4x2 − y2 = 8 .
7.22. а)		4z2 = x2 + 2y2 + 2x + 3 ;	б)	xy = 4 .
7.23. а)		x2 − 4y2 + z2 −8y = 4 ;	б)	x2 + y2 −3 = 0 .
7.24. а)		x2 + y2 + 2z = 0 ;	б)	x2 − y2 + 4 = 0 .
7.25. а)		x2 − 2x + y2 + z2 = 0 ;	б)	x = 2 − y2 .

Т и п о в о й р а с ч е т № 2

Предел функции. Производная и ее применение к исследованию функций и построению графиков

З а д а ч а 1

Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя.

1.1.	а)	lim	x2	+ x − 6	.

		x→−3 x2 + 7x +12

в) lim 1− cos x . x→0 xsin x

1.2.а) lim 2x2 − x − 6 .

x →2 x2 −3x + 2

в) lim 1− cos x .

x →∞ x2

1.3. а) xlim1 35xx22++5xx−+42 .

→−

в) lim cos x −2cos2 x .

x→0 x

1.4.а) lim1 23xx22+−5xx−−27 .

x →

в)	lim		1− cos 2x .
	x →0		x tg x
1.5. а)	lim		x2 + 3x + 2	.
		3x2 + 4x +1
x →−1

б)

lim

5x2

+ 2x +1

x →∞ 3x3 + 3x2 − 2

lim

x −

1 x+2

г)

x→∞ x −

б)

lim

8x4

− 2x3 +1

+ 4x + 3

x →∞ 5x3

1−x

г)

lim (1− 4x)

x .

x →0

б)

lim

6x5

+ 4x −12

− 4x2 +1

x →∞ 3x6

г)

lim

3x + 4 x+2

x→∞ 3x + 2

б)

lim

5x3

+ x

2 − 6

− x −12

x →∞ 2x4

lim

x + 3 x

г)

x→∞ x −

б)

lim

−8x +1

+ 4x2 + 5

x →∞ 7x5

в)

1.6.а)

в)

1.7.а)

в)

1.8.а)

в)

1.9.а)

в)

1.10.а)

в)

lim

cos x − cos3 x

x →0

lim

2x2 − x −10

x2 − x

− 2

x →2

2 x

lim

x →0

lim

x2 −3x + 2

x →2

−1

lim

1− cos8x .

x →0

1− cos4x

lim

2x2 −9x + 4

+ x − 20

x →4

lim

x2ctg 2x

sin 2x

x →0

lim

x2 + 7x +10

+10

x →−2 2x2 + 9x

lim

1− cos6x .

x →0

1− cos2x

lim

x2 + x − 2

2x2

− x

−1

x →1

lim

x →0 sin2

− 2x +1

г)

lim

x→∞

− 4x

+ 2

б)

lim

2x3

− 6x −5

5x2 − x

−1

x →∞

г)

lim

x →∞

−1

б)

lim

(x +1)3 −(x −1)3

x →∞

(x +1)2 + (x +1)2

г)

lim

3x − 2 2x

+ 2

x→∞

б)

lim

2x4

−3x

2 +1

4x6

+ 6x3 −3

x →∞

г)

lim (1+ 2x)1x .

x →0

б)

lim

2x4

+ 5x

2 −3

4x6

+ 6x3 −3

x →∞

2x −1

г)

lim

x→∞ 2x

б)

lim

4 + 5x2 − 4x5

8 − 6x − x5

x →∞

lim

x +1 2x−1

г)

x→∞

x − 2

1.11. а)

lim

3x2 − x −10

б)

lim

4x5

− 2x4 + 3

x3 − x − 6

+ 3x2 −1

x →2

x →∞ 2x6

в)

lim

cos x − cos3x

г)

lim

a2x −1

x →0

1− 1− x2

x →0

1.12. а)

lim

20 + x − x2

. б)

lim

5x2

−3x +1

3x2 −11x − 20

+ x −5

x→5

x →∞ 3x3

в) lim 1−cos8x . x →0 2x tg 4x

1.13.а) lim 4x22−5x − 21 . x →3 2x −3x −9

в) lim x sin xctg3x .

x→0

1.14.а) lim 3x2 + 7x + 2 . x →2 2x2 + 5x + 2

в) lim 1− cos4x . x →0 3xsin 2x

г)	lim	e3x −1		.
			x
	x →0
б)	lim		11x5 −5x2 −1			.
			24x4 − 4x + 7
	x →∞
г)	lim (1+ 3tg2 x)ctg2 x .
	x→0
б)	lim		7x6 + 5x5 − x3 + 5				.
			3x4	− 4x3	+1
	x→∞
	lim		esin 2x − esin x
г)				x		.
	x→0

1.15. а)	lim	x2 + 2x −15	. б)	lim	2 −3x −5x2		.
		2x2 + 7x −15				+ 4x + 2x2
	x→−5			x →∞ 1

в)	lim	sin3 2x	.
		x3
	x→0
1.16. а)	lim	x3 + x2 − 2x			.
		x2 − 2x		+1
	x →1
в)	lim	1−cos3x .
	x →0	x2

г) lim (x + 2)(ln(2x +1)−ln(2x −1)).

x →∞

б)	lim	2 + x −3x2		.
			−3x + 6x3
	x →∞1

г) lim (2x −3)(ln(x −2)−ln(x −1)).

x →∞

1.17. а)	lim	2x2 + x −3	.	б) lim	2x3	+ x2 −5	.
		3x2 − 2x −1			x2	+ x − 2
	x →1			x →∞

в)

lim

1−cos 4x .

г)

lim x (ln(x + a)−ln x).

x →0

2x tg2x

x→∞

1.18. а)

lim

x2 − x − 2

б)

lim

x4 + 3x −5

x →−1 x3 +1

x →∞

2x2 − x −1

в)

lim

cos3x − cos x .

г)

lim

(x − 4)(ln(2 −3x)− ln(5 −3x)).

x →0

cos x −1

x →∞

1.19. а)

lim

2x2 −9x −5

б)

lim

x3 + x

x2 − 4x

−5

x →5

x→∞ x4 −3x2 +1

в)

lim

tg2x −sin 2x .

г)

lim

(2x −5)(ln(2x + 4)−ln(2x +1)).

x →0

xsin2 2x

x →∞

1.20. а)

lim

5x2 + 9x − 44

. б)

lim

3x3 − 2x +1

5x2 − x + 2

x →−4 2x2 + 5x −12

x →∞

sin2

в)

lim

г)

lim

(x + 2)(ln(2x +3)−ln(2x −4)).

x →0

x →∞

1.21. а)

lim

3x2 −14x −

б)

lim

10x3 + 3x2

x2 − 2x

−15

2x3 −100x

x→5

x→∞

в)

lim

cos8x −

г)

lim

ex − e−x

1− cos4x

sin x

x →0

x→0

1.22. а)

lim

3x2 + 4x +1

б)

lim

x4 −4x2 +

3x2 + x +3

x →−1 x2 + 3x + 2

x →∞

в)

lim

1− cos mx .

г)

lim (1−3x)1x .

x →0

x→0

1.23. а)

lim

x3 + x − 2

б)

x →1 x3 − x2 − x

в)

lim

1−cos3x .

г)

x →0

1.24. а)

lim

x3 − x2 − x +1

б)

−3x + 2

x →1

1 arcsin x − arctg2x

в)

lim

г)

x →0

1.25. а)

lim

2x2 + 2x −12

б)

−3x + 2

x→2

в)

lim

cos6x − cos3x

г)

x →0

xlim 39xx44−+23xx2+−57 .

→∞

lim (1+ sin x)cosecx .

x→0

lim 2x2 −5x + 4 . x →∞ 5x2 − 2x −3

lim (1+ x)x2 −x .

x→0

lim x5 − x3 +38 . x →∞ 100 − x

lim x (ln(x + 5)− ln x).

x →∞

З а д а ч а 2

Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва; в условии «б» дополнительно построить график функции.

	x2		−1 при − ∞ < x ≤1;
2.1. а) f (x)= ln(1+ x).
	б) f (x)=	2		при	1 < x < 4;

x2	x			при	x ≥ 4.
	x −3

					2
					2	при
		1 .	x			при
2.2. а)	f (x)= arctg	1 .	б) f (x)= sin x при
		x		1
				1		при
				2		при
				2

−∞ < x ≤ 0;

1 < x < π6 ; x ≥ π6 .

2 x +1

1			ln x	при	0 < x ≤1;
2.3. а) f (x)= 3		.	б) f (x)= x −1	при	1 < x ≤ 3;
	x−2
				3 при	x > 3.
			x2 −

2.4. а) f (x)= 1−1e1−x .

2.5. а) f (x)= 2 x −1 .

2.6. а) f (x)= xx −−22 .

при

< x ≤

;

tg x

2π

б)

f (x)=

при

< x < π;

sin x + 2 при

x ≥ π.

x +1

при

− ∞ < x ≤1;

б)

f (x)=

при

0 < x ≤ 2;

6 − x

при

x > 2.

при

0 < x ≤1;

2 x

б)

f (x)= x2 + 2 при

1 < x ≤ 2;

при

x > 2.

x + 4

+1 при

− ∞ < x ≤1;

−3x + 2

f (x)=

2.7. а)

б)

f (x)=

при

1 < x ≤ 4;

x − x3

при

x > 4.

x − 2

x +1

при

− ∞ < x ≤ 3;

2.8. а)

f (x)=

−

б)

f (x)= 3x − 7

при

3 < x ≤ 4;

1− x

1− x2

при

x > 4.

3 +

2.9. а)	f (x)=	x2 −5x +6	. б)
		x2 −2x

2.10. а) f (x)=	sin(x −3)	. б)
	x2 −4x +3


2.11. а)	f (x)=	2			.	б)
2.11. а)	f (x)=	4 − x2			.	б)
		4 − x2
		1
2.12. а)	f (x)= e			.		б)
2.12. а)	f (x)= e		4x−2	.		б)

	cos x			при		x ≤ 0;
f (x)=	1− x			при		0 < x ≤ 3;

				5 при		x > 3.
	x2 −			5 при		x > 3.

				при	x < 0;
	0			при	x < 0;
f (x)= tg x				при	0 ≤ x ≤ π				;
		4					π	4
		4	x	при	x	>	π	.
							4
		π
		π
	3			при		x ≤ 0;
f (x)= x				при	0 < x ≤ π;
				при	x > π.
	sin x			при	x > π.
	−1			при	x ≤1;
f (x)= x				при	1 < x ≤ 2;
					x > 2.
	x − 2 при				x > 2.

2.13.а) f (x)= xx −−11 .

2.14.а) f (x)= xx ++ 24 .

2.15. а) ( ) 2− x1 3 . f x = +

		x	при	x ≤ 0;
		e	при	x ≤ 0;
б)	f (x)=	1+ x	при	0 < x <1;

		x	при	x ≥1.

		0	при x ≤ 0;
б)	f (x)= 1		при 0 < x <1;

		2 − x при x ≥1.
		x	при	x ≤ 0;
б)	f (x)= x2		при	0 < x ≤1;
				x >1.
		x2 +1 при		x >1.

2.16.а) f (x)= xx2 ++ 32x .

2.17.а) f (x)= x23−9 .

	0	при	x ≤ 0;
б) f (x)=	1	при	0 < x ≤1;

		при	x >1.
	x	при	x >1.

sin x	при	x ≤ 0;
б) f (x)= x2	при	0 < x <1;
x −1	при	x ≥1.

2.18.а)

2.19.а)

	cos x		при	−∞ < x ≤ 0;
f (x)=	1		при	0 < x ≤1;

			при	x >1.
	1− x		при	x >1.
	0		при	x ≤ 0;
f (x)= −2			при	0 < x ≤1;
		2	при	x >1.
	x −	2	при	x >1.

	f (x)= sin(2 − x).	1	при	x ≤1;
2.20. а)	f (x)= sin(2 − x).	б) f (x)= x	при	1< x ≤ 2;
	2 − x	1− x2	при	x > 2.
		1− x2	при	x > 2.

2.21.а) f (x)= tg x2 (x23−9). б) x − x

1
2.22. а) f (x)= 5		.	б)
	x−2

2.23. а) f (x)=	1−cos x	.	б)

	2x2 − x3

4 − x2			при	−∞ < x ≤ 2;
f (x)= x −1			при	2 < x ≤ 4;

	x +1 при			x > 4.
	x +1 при			x > 4.
x3			при	−∞ < x ≤ 0;

f (x)= − x2 +			9 при	0 < x ≤ 3;
	−3		при	x > 3.
x	−3		при	x > 3.

x			при	−∞ < x ≤ 0;
f (x)= −			при	0 < x ≤ 4;
f (x)= −		x	при	0 < x ≤ 4;
(x − 4)2 при				x > 4.

−∞ < x ≤ 0;

x +3 при

f (x)=

−5x +6

2.24. а)

б)

f (x)= tg x

при

0 < x

≤

;

−3x

при

x >

2.25. а) f (x)= 31−x .

	− x		при	−∞ < x ≤ 0;
б) f (x)=	1− x2		при	0 < x ≤1;

		ln x	при	x >1.
		ln x	при	x >1.

З а д а ч а 3

Найти производные функций.

3.1. а) y = x arcsin x + 1− x;

в) x4 − 6x2 y2 + 9y4 −5x2 +15y2 −100 = 0.

3.2. a) y = lntg 2x4+1;

в) xy − yx = 0.

3.3. а) y = ln 11+−sinsin xx ;

в) ex + ey − 2xy −3 = 0.

3.4. а) y = ln 3x2 + 9x4 +1 ;

в) sin(y − x2 )−ln(y − x2 )+ 2 y − x2 −3 = 0.

б) y = xarcsin x;

б) y = xln x ;

б) y = xx;

б) y = xln x;

3.5.а) y = arcsin 12x36 ;

в) xy +e x −3 xy = 0.

3.6. а) y = arctg	1− x	;
	1+ x

в) x2 sin y + y3 cos x − 2x −3y +1 = 0.

3.7. а)		y = arcsin				sin x		;

					1+sin		2 x
в)	x2	+	y2	=1.
в)	25	+	9	=1.
	25		9

3.8. а) y = ln x2 +1 −1;

x2 +1 +1

в) x4 + y4 = x2 y2.

3.9. а) y = ex −sin ex cos3 ex −sin3 ex cos ex ;

в) x + y = a.

3.10. а)	y = arctg(x +1) +				x +1		;
				x2 + 2x + 2
в) 2y ln y = x.
3.11. а)	y = lntg	x	+cos x +		1 cos2	x;

	2				3

в) ex sin y − ey cos x = 0.

б) y = xsin x;


б)	y = (sin x)cos x;
	2
б)	y = (x +1)	x		;
б)	y = x2ex2 sin 2x;
б) y = x2ex2 ln x;
	2
б)	y = (x +1)		x		;
б)	y = (ln x)x;

3.12. а)		−	1	+	1	;
	y = ln 1		x		x

в) xy = arctg xy .

3.13.а) y = ln x2 + 2x ; x +1

2	2	2
в) x 3 + y 3		= a 3 .

3.14. а) y = arccos(2e2x −1);

в) sin(xy) + cos(xy) = 0.

3.15. а) y = arctg 3x − x2 ; 1−3x2

в) 2x + 2y = 2x+ y.

3.16. а) y = lntg e2sin x ; 4

в) x − y = arcsin x − arcsin y.

3.17. а) y = arctg x	− ln		x	;
3.17. а) y = arctg x	− ln			;
2		1+ x2
в) x2 + y2 = r2.

3.18. а) y = 2x +1 (ln (2x +1) − 2);

в) arctg x = ln x2 + y2 .

б)

y= (x −22 3x +1 ; (x −5)3

y= (x +1)3 44 −2x ; 3(x −3)2

y= x sin x1− ex ;

y= 11+−arcsinarcsin xx ;

y = x x ;

		x x
y =			;
	1
		+ x

y = 2xx ;

3.19. а) y = 1+ ln cos x ; cos x

в) y3 −3y + 3ax = 0.

3.20. а) y = ex 1− e2x − arcsin ex ;

в) cos(xy) = x.

3.21. а) y = arccos 1− ex ;

в) y2 cos x = a2 sin 3x;

3.22. а) y = log2 (sin2 x);

в) y2 −3y + 2x3 = 0.

3.23.а) y = x −1 4;

x +1

в) e y + xy =1.

3.24. а) y = ln(2x3 + 3x2 );

в) x sin y + y sin x = 0.

3.25. а) y = (x2 + 2x + 2)e−x ;

в) xy + e x −3 xy = 0.

б)

y = (x2 +1)sin x;

y = 3 (x(x2 +)1);

x2 −1 2

y = (x)3x ;

y= (ln x) x ;

y= (sin x)arcsin x ;

y= (sin x)tgx ;

y= (x )cos x ;

З а д а ч а 4

Найти производные второго порядка от функций:

4.1. y = cos2 x .

4.2. y = arctg x3 .

4.3. y = log2 3

4.4. y = e−x2 .

1− x4

4.5. y = arcsin x

4.6. y = −

22x

− x

x + 5

4.7.

y =

1 x2 (2 ln x −3).

4.8. y =

1 x

+ x arcsin x .

1− x2

4.9.

y = −

1 x sin 3x −

cos3x .

4.10. y = sin2 x .

4.11. y = tg x .

4.12. y =

1+ x2

4.13. y = (x2 −3x + 2)3 .

4.14. y = x ex2 .

4.15. y =

4.16. y = (1+ x2 )arctg x .

1+ x3

4.17. y =

− x

+ 1

+ x

4.18. y = ln x

4.19. y = e

4.20. y =

1− x2

arcsin x .

4.21. y = arcsin(a sin x).

4.22. y = x

1+ x2

4.23.

4.24. y = ln x

1+ x

1− x2

4.25. y = x ln x .

4.26. y =

x −3

З а д а ч а 5

Найти производные первого и второго порядков от функций, заданных параметрически:

5.1. x = t2 + 2;		y = 1 t3		−1.
		3

5.2. x = arcsin t;		y =	1−t2		.
5.3. x = at2;	y = bt3 .
5.4. x = cost;	y = sin t .

5.5.	x = a(t −sin t); y = a(1− cos t).
5.6.	x = a cos2 t; y = a sin2 t .

5.7.x = ln t; y = t2 −1.

5.8.x = arcsin t; y =ln(1−t2 ).

5.9. x = at cost;			y = at sin t .

5.10. x = arccos				; y =		t −t2	.
			t
5.11. x =	1	; y = tgt .
	cost
			y = ln(1+ t2 ).
5.12. x = arctg t;
5.13. x = a cos3 t;				y = a sin3 t .
5.14. x = Rsin t +sin Rt;					y = R cost + cos Rt .
5.15. x = t2 + 2t;			y = ln(t +1).
5.16. x =1+ eαt ;			y = αt + e−αt .

5.17.	x = cost +t sin t; y = sin t −t cost .
5.18.	x = 2 cost; y = sin t .

5.19.x = t2; y = t + t3 .

5.20.x = e2t ; y = e3t .

5.21.	x = 2 cos2 t;	y = 2sin2 t .
5.22.	x =1+ et ; y = t + e−t .
5.23.	x = 2sin t + sin 2t; y = 2 cos t + cos 2t .
5.24.	x = et cos t;	y = et sin t .
5.25.	x = e2t + 4;	y = e3t −5 .

З а д а ч а 6

Пользуясь правилом Лопиталя, найти пределы функций:

6.1.а)

6.2.а)

6.3.а)

6.4.а)

6.5.а)

lim 32x +1 +1 ;

x →−1 x + 2 + x

lim 1− cos αx ; x →0 1− cosβx

lim	1− cos x	;
x →0	x2

lim x −sin x ;

x →∞ x3

eax −e−2ax

lim ( ) ; x →0 ln 1+ x

б)

lim	ln x	.

x →0 ctg x
	1
lim x e x			−1 .
x →∞

lim (π − 2 arctg x)ln x .

x →∞

tg πx

lim ( 2 ).

x→−1+0 ln 1+ x

lim	ln(x −1).
x→1+0	ctg πx

6.6. а)	lim	x3	− 2x2 − x + 2		;
			x3	− 7x + 6
	x →1

6.7.а) lim ex −e−x − 2x ; x →0 x −sin x

6.8. а)

lim

eαx −e−αx

sin x

;

x →0

− arctg

−

6.9. а)

lim

;

x →∞

sin

6.10. а)

lim

ax −bx

;

tg x

x →0

6.11. а)

lim

ex −1

;

x →0 sin 2x

6.12. а)

lim

ln x

;

x →11 − x

6.13. а)

lim

ln(x2 −3)

;

x2 + 3x −10

x →2

6.14. а)

lim

aln x −

;

ln x

x →1

6.15. а)

lim

ex −e5x

;

sin x

x →0

sin2 x −

1 tg x

6.16. а)

limπ

;

1+ cos 4x

x→ 4

б)

lim arcsin x ctg x .

x →0

xlim→∞ lnxαx (α > 0).

x100

xlim ex .

→∞

lim (1	− x)tg πx .
x →1					2
lim (1+ x)tg					πx .
x →−1					2
			1
lim x2e		x3		.
x →0
	1
lim	3x		−1 x .
x →∞

lim ex .

x →∞ x5

x1000

xlim 2x100 +1 .

→∞

lim x1+x .

x →∞

lim x1−x .

x→1

6.17. а)

lim

tg x −sin x

;

б)

lim

x −sin x

x→0

x →∞

x3 −3x2 + 2

6.18. а)

lim

;

б)

lim

x 2 sin x .

x →1 x3 − 4x2 + 3

x →∞

6.19. а)

lim

eαx − cos αx

;

б)

lim

ln x

eβx − cosβx

x →0

x →∞

x10

6.20.а) lim xm − am ;

x →a xn − an

6.21.а) lim e3x −23x −1 ; x →0 sin 4x

6.22. а)	lim	ex3	−1	;

	x →0 cos x −1

6.23.а) lim e5x + x −1 ; x →0 sin 2x

6.24. а)			1		1
	lim		1	−	1		;

					x
	x →0	tg x			x
6.25. а)	lim	ex −e−x				;
6.25. а)	lim		sin x			;
	x →0		sin x

З а д а ч а 7

б)

lim 1 tg x . x→0 x

lim x9 .

x →∞ 3x

lim	x sin a .
x →∞			x
		+	1
	ln 1	+	x
lim			x	.
lim	arctg x			.
x →∞	arctg x

lim (π− 2x)cos x .

x → π2

lim (cos 2x) x2 .

x →0

Написать формулу Тейлора третьего порядка с остаточным членом в форме Лагранжа для заданной функции в точке x0 .

−

7.1. xe

, x

= −1.

7.2.

+ e

= 0 .

7.3. ex ,

= −1.

7.4. 4x , x = 0 .

7.5.

= 4 .

7.6. x10 −3x

6 + x

2 +

2, x

=1.

7.7.

x = 0 .

7.8. x cos x,

= 0 .

x +8

7.9.

= 2 .

7.10. esin x ,

= 0 .

x −1

7.11.

1 (ex

+ e−x ),

x0 = 0 .

7.12. ln(1+ sin x),

x0 = 0 .

7.13. ln(5 − 4x),

= 0 .

7.14. 3x , x

= 0 .

7.15.

1 ,

=1.

7.16. e5x−1,

0 .

7.17.

= −3 .

7.18. arcsin x,

= 0 .

x + 2

7.19. x3 ln x,

1 .

7.20. ln x, x

=1.

7.21. x5 −5x

3 + x,

x = 2 .

7.22. ln(x + 5),

= 0 .

7.23.

sin

x0 = 0 .

7.24. xex , x0 = 0 .

7.25.

x0 = 0 .

3 − 2x

З а д а ч а 8

Исследовать функцию и построить ее график.

8.1. y =	1− x2	8.2.		x		8.3. y =	4x2 +1
	x2 .		y =		.		x	.
				(1+ x)3

8.4. y = x2x3−1 .

8.7. y = 4 +4xx2 .

8.10. y = 4x3 + 5 . x

8.13. y = 2 +x2x3 .

8.16.y = 14x33 .

−x

8.19.	y =	x3		.
		x2	− 4

8.22.y = 4x3 . x3 −1

8.25. y = x1− x2 .

8.5.		x3
	y =		.
		2(1+ x)2

8.8.y = x2 −1 . x2 +1

8.11.y = x3x4−1 .

8.14.y = x4x2+1 .

8.23.y = x2 −5 . x −3

8.6.	y =		x3		+	2	.
8.6.	y =			2x			.
				2x
8.9.	y =			x2		.
8.9.	y =		x −1			.
			x −1
8.12.	y	=		2 − 4x				2	.
8.12.	y	=		1−		4x2			.
				1−		4x2
8.15.	y =				x3		.
8.15.	y =			1− x2			.
				1− x2

8.18. y = 1−x4x2 .

8.21. y = x3 2−1 . x

8.24. y = x2e−x .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2211 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

б) y = x2 (a − x)2 .

в) y = x1/ x .