в) y = log2 3
1− x2 . г) y = 13 x2 
1− x2 + 23 
1− x2 + x arcsin x .
15.2. Показать, |
что функция y = c e2x + c e3x при любых |
|
|
1 |
2 |
постоянных c1 и c2 |
удовлетворяет уравнению y′′−5y′+6y = 0 . |
|
15.3. Найти производные 2-го порядка от функций, заданных неявно:
а) y =1+ xey . б) x3 + y3 = 3xy .
в) arctg y = y − x . г) y = x +ln y .
15.4. Найти производные 2-го порядка от функций, заданных параметрически:
|
|
2 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
а) |
x = t |
+ 2, y = |
t |
−1 . |
б) |
x = arcsin t, y |
= 1−t |
2 |
. |
|||||
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
x = a cos2 t, y = asin2 t . |
г) |
x = lnt, y = t2 −1. |
|
|
|||||||||
15.5. Найти |
дифференциалы |
1, |
2 и 3-го |
порядков функции |
||||||||||
y= (2x −3)3 .
15.6.Найти дифференциалы 2-го порядка функций:
а) y = e−x2 .
б) xy + y2 =1 .
15.7.Найти дифференциал 3-го порядка функции y = lnxx .
15.8.Найти приближенное значение 5
31 с точностью до двух знаков после запятой.
Домашнее задание
15.9. Найти производные второго порядка следующих функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) y = 1− x |
2 |
arcsin x . |
б) |
1 |
+ x |
2 |
||||
|
y = ln x + |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.10. Найти y(n) (x) , если y = e−x .
45
15.11. |
Найти |
d 2 y |
, если: |
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ex+y = xy . |
|
б) |
x = |
|
1 |
|
, y = tgt . |
|
|
|
cost |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
15.12. Вычислить |
значение |
производной второго |
порядка |
||||||
функции |
y , заданной уравнением x2 +2y2 − xy + x + y = 4 , |
в точке |
|||||||
M (1;1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.13. Доказать, |
что |
функция |
y = e4x + 2e−x удовлетворяет |
||||||
уравнению y′′′−13y′−12y = 0 . Записать для этой функции d3 y .
15.14. Вычислить приближенное значение функции y = 3
x2 −5x +12 при x =1,3 с точностью до двух знаков после запятой.
Ответы
15.9. а) − |
arcsin x + x |
|
1− x2 |
. |
б) − |
|
|
x |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(1− x |
2 )3 |
|
(1+ x2 )3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15.10. (−1)n e−x . |
|
|
|
|
15.11. а) |
− |
y((x −1)2 + (y −1)2 ) |
. |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 (y −1)3 |
|
15.11. б) − ctg3 t . |
|
|
|
|
15.12. –1. |
|
|
|
||||||
15.13. (64e4x − 2e−x )dx3 . |
|
15.14. 1,93. |
|
|
|
|
||||||||
З а н я т и е 1 6
Правило Лопиталя–Бернулли. Формула Тейлора
Аудиторная работа
16.1. Применяя правило Лопиталя–Бернулли, найти пределы:
а) lim |
ex − e−x |
. |
б) lim |
|
x4 |
. |
sin x |
|
+ 2cos x − 2 |
||||
x→0 |
|
x→0 x2 |
|
|||
46
в)
д)
lim |
|
|
ln(x − a) |
. |
|
|
|
|
|
||
x→a+0 ln(ex − ea ) |
|
||||
lim x |
2 1/ x2 |
. |
|
||
e |
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
|
|
г) |
lim |
|
π − 2arctgx . |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
x→∞ |
ln(1+ |
x |
) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
е) |
lim |
|
1 − |
1 |
|
|||
|
. |
|||||||
|
|
|
||||||
|
x→0 |
x |
ln(1+ x) |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
ж) |
lim (x +10 |
x 1/ x |
. |
з) lim x |
ln(e x −1) |
. |
) |
|
|||||
|
x→∞ |
|
|
x→0 |
|
|
и) lim (tg x)2x−π . |
к) |
|
|
1 |
x |
|||
lim 1 |
+ |
|
. |
|||||
x2 |
||||||||
x→ |
π |
|
|
x→+∞ |
|
|
||
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||
16.2. Разложить многочлен |
f (x) = x4 −2x2 +13x +9 по степеням |
|||||||||||||||||||||
двучлена x + 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
16.3. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для |
функции |
|||||||||||||||||||||
f (x) =10x |
в точке x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
||||
16.4. Вывести приближенную формулу sin x ≈ x − |
и оценить |
|||||||||||||||||||||
6 |
|
|||||||||||||||||||||
ее точность при | x |< 0,05 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
16.5. Вычислить с точностью до 10−4 |
cos10 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
16.6. Найти пределы, используя разложение по формулеТейлора: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
. |
|
|
|
|
1−cos x |
. |
|
|||||
а) |
lim |
|
1+ x |
1− x |
|
б) |
lim |
|
||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
x→0 |
|
x2+x3 |
|
|
|
||||||||
в) |
lim |
|
xe2x + xex − 2e2x + 2ex |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
(ex −1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
16.7. Найти |
|
|
|
|
|
Домашнее задание |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
пределы функций, применяя правило |
Лопиталя- |
||||||||||||||||||||
Бернулли: |
|
|
x + 2ln x |
|
|
|
|
|
|
|
x −sin x |
|
|
|
|
|
||||||
16.7. а) |
lim |
|
. |
|
б) |
lim |
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x→∞ |
|
x |
|
|
x→0 |
|
x3 |
|
|
|
||||||||
47
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||
в) |
|
|
|
|
− |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
x |
. |
|||||||
|
x→0 arctg x |
|
|
|
|||||||
д) |
lim(cos2x)3/ x2 . |
||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||||
16.8. Написать |
|
|
формулу Тейлора |
||||||||
f (x) = |
1 |
|
|
при x |
|
=1. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) lim ln x ln(x −1).
x→1
3-го порядка для функции
16.9. Вычислить приближенно sin1 с точностью до ∆ =10−4 .
16.10. Вычислить предел lim sin x − x |
, используя формулу |
x→0 x2 sin x |
|
Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
О т в е т ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16.7. а) 1. |
|
б) 1/6. |
|
|
|
|
|
в) 0. |
|
|
|
г) |
0. |
д) e−6 . |
|||||||
16.8. 1− |
1 |
(x −1) + |
1 3 |
|
(x − |
1) |
2 |
− |
1 3 |
5 |
(x −1) |
3 |
+ |
1 3 5 7 |
|
|
(x −1)4 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
22 |
2! |
|
23 |
3! |
|
|
24 4! |
|
(1+θ(x −1))9/2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 <θ <1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16.9. 0,0175. |
|
16.10. − |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а н я т и е 1 7
Монотонность функций. Экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторная работа |
|
|
|
|||||
17.1. Найти |
интервалы |
монотонности |
и точки экстремума |
||||||||||||
следующих функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) y = |
x4 |
−2x |
3 |
+ |
11 |
x |
2 |
−6x + |
9 |
. |
б) |
y = |
ln x |
. |
|
4 |
|
2 |
|
4 |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
48