Xе или множества неулучшаемых решений (множество Парето).

Для этого можно использовать модель f из [7], имеющую вид:

Xе = U Г ' Г т ах2 (7.3)

где х —множество допустимых решений; х = {-^*}, a = (ai, а2, а„ —некоторый

векторный параметр.

Параметр а определен на множестве:

п

А = { а , } , О < а ,< 1, 2 а г= 1 . (7.4)

i=i

В нашем примере множество х допустимых решений включает

13 Значений ркр, среди которых необходимо найти оптимальное

решение Х°, т. е. такое значение ркР, которое оптимально относительно

двух агрегированных критериев Wi и W2, таким образом,

/ = 1, 2.

Реализация модели (7.3) требует отыскания локальных максимумов

линейной формы вида

L ( Xk) = ' E a y l (Xk) (7.5)

i

монотонным варьированием значений а е Л в интервале [0, 1].

Принимая шаг варьирования а равным, например, 0,05 и

образуя пары a i= 0 ,0 5 , аг = 0,95 и cti =0 ,10, ОС2 = 0,90 и т. д.,

найдем область компромиссов %с по выражению (7.3), включающему

следующие Л^-решения (значения ркр): 7,5; 8,5; 9,1; 9,3;

9,8; 10,7.

Окончательное (оптимальное) решение Х% в области компромиссов

/ с ищется на основе модели справедливостей уступки с

использованием моделей:

Х| —АУ| (*" Х*) ■ ь = ДУг(Х" ^ ) ^ (7 6)

шах у, (X) шах у(Х

х, , х2 л-,. х 2

позволяющих сравнивать два решения Х\ и Х 2. Если | i > ^ 2, то

решение принимается в пользу Л"|. Смысл входящих в выражения

(7.6) членов виден из рис. 7.5.

181

Д ля отыскания оптимального решения можно использовать также и другие

модели. Используют модели вида:

Х“ = гТ max П {//(**)! (7.7) I 1 I

ИЛИ

Г 'Г max П <//'(**)1- (7.8)'

I I

где h играет роль весового коэффициента для оценки yi(Xk) k-ro двудольного

графа.

Вместо выражения (7.8) можно использовать-также линейную форму

*2 = Г ' max 2 Х1У1 (Х к) I . (7.9)

L**eXc/=i J

Модели (7.8) и (7.9) учитывают неодинаковый вес критериев и предполагают,

что окончательное решение Х к определяется при конкретно выбранных Х с для

соответствующей задачи.

Были обследованы возможные Х°к по всем четырем моделям

(7.6) —(7.9) при варьировании весовых коэффициентов А,/ в

пределах 0 , 7 ^ Х| ^ 0 , 3 ; 0,3 0,7. При этом в решениях в качестве

оптимальных Х°к были названы двудольные графы, полученные

при значениях ркр, равных 7,5; 8,5 и 9,1; 9,3. Эти значения

попадают в медианный класс (7,5—,5) гистограммы расстояний

маршрутов исходного графа с медианой МР = 9;1.

Таким образом, с целью повышения качества процедуры

диагностирования необходимо прежде всего обратить внимание на

обоснованность назначения критического расстояния на графе

Ркр-

Противоречивость требований к значению ркр, связанная

с необходимостью уменьшения ркр в целях повышения достоверности

диагностирования, с одной стороны, и увеличения ркр

с целью улучшения условий измерения диагностических параметров

—с другой, требует учета значимости Xi критериев

W\ и Г 2.

Такой учет целесообразно вести интерактивно, однако для

первой итерации значение ркр следует выбирать в пределах

медианного интервала гистограммы расстояний всех маршрутов

исходного графа.

Эти рекомендации могут быть положены в основу стандартизированной

методики выбора множества диагностических параметров,

рассматриваемых ниже.

182

7.3.4. О пр ед ел ен иеи нт ер ва лав ар ьи ро ва ни я к ри ти че ск ог о

р ас ст оя ни я

Лицо, принимающее решение (ЛПР ) , анализируя гистограмму

расстояний на графе, с учетом накопленного опыта приблизительно

назначает конкретную величину критического расстояния ркр.

Сужение области (интервала) варьирования определяется значением

медианного интервала исследуемой гистограммы. Используется

следующий алгоритм.

Алгоритм 7.1.

Шаг 1. Числовая последовательность исходных маршрутов

упорядочивается по возрастанию значений всех ее N элементов.

Шаг 2. Для гистограммы, построенной в прямоугольных координатах

(по оси абсцисс откладываются границы интервалов,

по оси ординат —соответствующие частоты), определяется количество

интервалов, например, по формуле Брукса-Каррузера [85]:

fe^51g N.

Шаг 3. Рассчитывается величина d r интервала для гистограммы

d = R/ k , (7.10)

где R pmax Pmin'

Шаг 4. Устанавливается четность —нечетность числа N.

Если N —нечетное, значение медианы определяется как значение

/ N + 1 , р( ~2 ) элемента. Если N —четное, оно приравнивается к

среднему арифметическому значений и (^--(-1) элементов.

Шаг 5. Осуществляется перебор значений элементов числовой

последовательности относительно границ интервалов. Вычисляются

абсолютные частоты, инцидентные каждому интервалу, и

соответствующие им значения накопленных частот для построения

кумулянты —ступенчатой кривой, где по оси ординат откладываются

найденные величины накопленных частот. При подсчете

частот учитывается верхняя граница интервала, нижняя (за исключением

первого интервала) не учитывается.

Шаг 6. Определяется медианный интервал и значения его

границ: ркр . ->-л . ; ркр -*~л ; ркр. . , Ркр. —соответственно * ~ ^ min min r н max max r v min ' v max минимальное и максимальное допустимые значения критического

расстояния, а л и л —соответствующие им минимальные r min max J и максимальные значения границ медианного интервала

[л . , л 1. 1 min maxJ

Шаг 7. Формируется множество вершин, инцидентных медианному

интервалу, и выделяются соответствующие им маршруты.

183

ЛПР получает информацию о максимальных и минимальных

границах усечения. Определенные границы варьирования ркр

позволяют ему проанализировать рациональность удаления отдельных

маршрутов и вершин, на базе чего ЛПР разрабатывает

варианты предполагаемых альтернатив.

В качестве дополнительных сведений ЛПРу предлагаются

результаты работы алгоритма индивидуально для каждой компоненты

достижимости. В том случае, если нет необходимости в

более тщательном отборе решения, значение критического расстояния

принимается эквивалентным значению медианы исследуемой

последовательности.

На этом определение интервала варьирования критического

расстояний завершается.

7.3.5. И нт ер ак ти вн аяп ро це ду рао це нк и

д ву до ль но гог ра фа Для проверки альтернатив и выбора наилучшей с точки зрения

ЛПР в решении конкретной задачи применяется интерактивная

процедура оценки двудольного графа. Варьирование критического

расстояния ограничивается медианным интервалом гистограммы

расстояний маршрутов лт .п р.кр ^ лтах . При этом реализуется

следующий алгоритм.

Алгоритм 7.2.

Шаг 1. ЛПР задает h-e значение критического расстояния

Р кр Л-

Шаг 2. Исходный граф усечен по значению р . Производится

перерасчет весовых коэффициентов для оценок оптимального

решения h , XmjnA для рк , а также количества параметров,

числа суженийс,Р подсчитываются дефекты, характеризующиеся

отклонениями собственных параметров, вычисляются оценки

РсР.Л’ PminA

Шаг 3. ЛПР визуально оценивает сложность полученного

графа. Если сложность его велика и граф неприемлем, реализуется

возврат к шагу 1, иначе —переход к шагу 4.

Шаг 4. Вычисляются оценки двудольного графа по критериям

W1 и W2 методом взвешенных сумм. Для этого ЛП Р задает

коэффициенты ft, значимости факторов в выражениях:

з

y w = 2 м ’(*рА); (7.Ц)

/= 1

184

y W2= 2 М , ’ (* рА)> (7-12)

;=4

определяющих оценку интегральных критериев, где uf (Л'рл) — нормированные оценки /г-го двудольного графа по /-му критерию.

Нормировка заключается в делении каждой /-й оценки

критерия на его максимальное значение. Определяется с использованием

(7.2) оценка критерия

v l (Xph) = v \ max(Xph) + v \ min(^pft) —v \ (-^p/i ) •(7-13)

Шаг 5. Выбирается оптимальное Xp с использованием модели

вида (7.3). С помощью (7.5) ищутся локальные максимумы

линейной формы с учетом условий (7.4).

Шаг 6. Из максимума L(Xрл) формируется множество, образующее

область компромиссов Хр- В зависимости от особенностей

решаемой задачи диагностирования ЛПР принимает решение

о повторе шага 5 или о переходе к определению Х% — шагу 7.

Шаг 7. Выбирается правило определения оптимального решения

относительно Х%. Используется в зависимости от выбранного

правила одна из моделей (7.6) —(7.9).

Шаг 8. ЛПР задает коэффициенты значимости Х| и к2 — весовых коэффициентов для оценок оптимального решения с

использованием выражения (7.9), учитывающего неравнозначность

факторов конкретной задачи. При этом он руководствуется

спецификой решаемой задачи, накопленным опытом и рекомендациями

§ 7.2, с учетом, что Л-i -f- Л.2 == 1 -

Шаг 9. Анализ решения со стороны ЛПР. Если с точки зрения

ЛПР получено решение, максимально удовлетворяющее предъявленным

требованиям,—переход к шагу 10. В противном случае

ЛПР, привлекая свои критерии и соображения, может повторить

процедуру, начиная с восьмого, седьмого, пятого или, наконец,

с первого шага.

Шаг 10. Конец процедуры.

Таким образом реализуется выбор оптимизированного значения

критического расстояния на графе. Правильность выбора

проверяется при дальнейшей обработке графа, в частности, по

значению показателя эффективности. Учет статистики результатов

распознавания позволяет корректировать значение этого показателя

для тех или иных диагностических параметров и тем самым

реализовать в системе распознавания обратную связь в целях ее

обучения.

и 7

185

7.3.6. П ер ер ас че т з на че ни й о це но к п ар ам ет ро в

п риpKp=var

Вычисление значений оценок параметров по информативности

й, и разделительной способности гр, согласуется с методикой

обработки граф-модели и, следовательно, непосредственно

зависит от выбранного критического расстояния на графе.

Определение максимального и минимального возможных значений

критического расстояния позволяет условно представить граф-

модель в виде двух частей —статической и динамической [56].

Статическая часть —вершины —параметры, не инцидентные медианному

интервалу. Динамическая часть характеризуется переменным

набором вершин вследствие различной степени усечения

графа по отношению к максимально допустимому для ркр =

= р тах и минимально допустимому критическому расстоянию

*Р кр —т-, Р к р .т т Допустимые значения критического расстояния не превышают

р , что позволяет априори изъять маршруты р , -> я •п р -та х r r г г J г * ^кр.тах

и отсортировать часть вершин. Такое преобразование значитель-

но уменьшает обрабатываемые массивы и сокращает объемы

перебора элементов графа.

Дальнейшее уменьшение затрат на вычисление значений

тесноты связи р, /, оценок Q, и гр,- связано с внедрением

рационального пересчета: все упомянутые величины даже на

быстродействующей ЭВМ вычисляются не менее чем за 1,5— десятка

минут —это объясняется необходимостью совершить большие

объемы переборов. Следовательно, применением интерактивного

режима для выбора ркр не обеспечиваются условия

оперативного диалога, и это отрицательно сказывается на работе

ЛПРа .

Устранить отмеченный недостаток удается следующим путем.

ЛПР определяет верхнюю границу вариабельности критического

расстояния qKp = q max •Вновь избранное значение критического

расстояния обязательно удовлетворяет условию

Р КР Р кр.тах

и, следовательно, оно будет вычисляться как

Р КР Р к Р.тах АРкр->

где Дркр —величина, на которую ркр тах превышает ркр.

Если теснота связи р.. при р = р к Р вычисляется как Чmax кр .та х

Р j'/'max Pmin Р кр .max Р*7≫

186

то для любого значения критического расстояния будет справедливо

и соотношение

Pi; = Pmin + P-ф - РЧ = P -im a x - АРкр- (7-14)

Отсюда следует, что достаточно вычислить значения ≪близости

≫ для максимального критического расстояния, а затем произвести

перерасчет с поправкой на величину Аркр.

Медианный интервал состоит из двух интервалов [pKpmin, ркр]

и [ркр, ркр.тах ]. Формулы перерасчета для статической части и

интервала [pKp.min, ркр] тождественны, так как соответствуют

маршрутам с расстоянием р ,у ^ р кр.

Оценка параметра \|з, —вершины для этого интервала инварианта

и число дефектов, от которых достижима /-вершина,— tj = const. Перерасчет оказывается необходимым лишь для оценки

параметра по информативности

й ,= т а х й ,—/,Л рКр, (7.15)

где maxQi —значение оценки по информативности г-го параметра при ркр тах.

Вычисление й, сводится к элементарной операции вычитания,

что сокращает расчетное время.

Для вершин, которые принадлежат другому интервалу [ркр,

n 1, вычисление значений Q, несколько сложнее, но все же KKP maxJ ’ „проще, чем при полном объеме данных:

'i

й ;= ш а х й ,- 2 Р цт ах { t j—ti )А р к Р. (7.16)

/'=р,

Здесь t\ —число путей, отсекаемых при рассматриваемом ркр.

При условии, что максимальное число путей t не варьируется,

разделительная способность в указанном интервале определяется

как:

ф,= т а хф ,+ *■'_ , (7.17)

max

где тахг|>, —значение оценки параметра по фактору разделительной способности

при ркр = р≪р max; / max —как и ранее, максимальное число дефектов, от

изображения которых достижима рассматриваемая вершина графа.

При изменении значения / вычисление оценки г|з￡ осуществляется

по базовой формулеа|5 . 15), а новые значения вычисляются

параллельно с пересчетом Q —оценки параметров по

фактору чувствительности и информативности.

Рассмотренные процедуры, не внося существенных погрешностей,

упрощают условия работы ЛПР, значительно сокращая

187

объем вычислений. Это позволило создать эффективную интерактивную

процедуру вычисления соответствующих оценок путем

оперативного диалога лица, принимающего решение, с ЭВМ

(программа ROKR).

7.3.7. И нт ер ак ти вн аяп ро це ду рав ыч ис ле ни я о це но к п ар ам ет ро в

п рив ар иа ци яхр кр Уже отмечалось, что показатель эффективности Ф, является

важнейшей характеристикой параметра: чем выше его значение,

тем больше оснований для включения параметра в эффективный

набор диагностических параметров. Но сам показатель Ф,

зависит от локальных оценок A,,-, Q,-, г|з,- и учитывает их относительную

важность посредством коэффициентов значимости

а, р, у, которые могут варьироваться при условии, что об -)- р -)- v =

= 1.В свою очередь величины оценок Я, и подсчитываются с

учетом критического расстояния ркр. Следовательно, ЛПР, варьируя

значения ркр, а, |3 и 7 , может проверить допустимые альтернативы

и выбрать альтернативу, наилучшим образом согласующуюся

с требованием ЛПР. Привлекая дополнительные критерии

и свой опыт, он может оценить как количественный, так и

качественный состав набора параметров и проверить правильность

оценки важности параметров относительно друг друга исходя

из своей практики. При этом он использует следующий

алгоритм.

Алгоритм 7.3.

Шаг 1. ЛПР анализирует упорядоченную по возрастанию

значений элементов последовательность длин маршрутов pi;-,

значения границ интервала варьирования величины ркр и конкретное

значение ркр = р .■

Шаг 2. Выбор ЛПРом конкретного значения величины критического

расстояния ркр:

а) ркр = pmed —если нет дополнительных соображений;

б) Ркр = Р кртах —если предполагается варьировать значения

критического расстояния с ускоренным перерасчетом оценок;

в) ркр приравнивается любому выбранному значению из интервала

р . ^ Р к р ^ Р , если имеются какие-либо сведения r г кр .тш „г к г кр .та х

о его вероятной величине.

Шаг 3. Значение ркр определено. Последовательность

значений р,; перебирается, отбрасываются элементы, значения

которых р,у > ркр. Вычисляются показатели тесноты связи

pi, (7.14).

Шаг 4. Вводится набор экспертных оценок по фактору измеримости

и контроля Xi, вычисляются оценки параметров ￡2,

188

и гр,. Выделяются максимальные значения оценок А,тах, й тах -

гЬ . Относительно вычисленных максимальных оценок произ- 'ш а х водится нормировка.

Шаг 5. ЛПР задает значения коэффициентов значимости

факторов а, р, у.

Шаг 6. Вычисляются значения показателя эффективности параметров

Ф,. Последовательность значений упорядочивается по

их убыванию. ЛПР анализирует результаты. Если решение не

удовлетворяет требованиям и выдвинутым условиям, то ЛПР может

предпринять следующее:

а) варьировать коэффициенты значимости факторов а , (3, у

(шаг 5);

б) варьировать значение критического расстояния ркр. (шаг 2);

в) варьировать значения критического расстояния ркр и

коэффициентов а, р, у;

г) уточнить исходную граф-модель;

д) пересмотреть экспертные значения весов ребер и вершин

граф-модели.

Выполнение двух последних действий возможно лишь по за вершению

работы процедуры, т. е. шага 7.

Если ЛПР считает полученное решение удовлетворительным и

допустимым, осуществляется переход к шагу 7.

Шаг 7. Завершение работы.

Завершение стадии первоначальной обработки граф-модели

позволяет перейти к следующей стадии —выбору эффективного

множества диагностических параметров.