1.2.2. Абстрактная графовая модель. Некоторые понятия теории

Решение проблемы разработки подходящей математической

модели сложного объекта в целях его диагностирования с учетом

определенных выше требований и условий использует определение

функции как частного случая соответствия элементов одного

множества элементам другого множества, применение теории графов

[3, 60, 80] и представление исследуемого объекта отношением

на множестве его свойств функционирования, на множестве

параметров или функциональных элементов. В терминах [84]

соответствие — это тройка множеств

Г = < 0 , X , У > ; G c z X X Y , (1.8)

где X— множество произвольной природы, определяющее область соответствия Г;

Y— множество произвольной природы, определяющее область значений соответствия

Г; G—график соответствия.

Выражение (1.8) определяет связь между множествами X

(множество отправления) и Y (множество прибытия), заданную

некоторым множеством пар (х, у), х ^ Х , у е У, т. е. подмножеством

(графиком соответствия) прямого произведения XX.Y. Каждая

такая пара означает, что элемент у соответствует элементу х или х

и у—соответствующие элементы, причем предполагается, что каждый

х ^ Х встречается в этих парах не менее одного раза.

Для построения модели используется следующая идея: функционирующий

объект представляется в виде ориентированного

графа. При этом используются описания существенных свойств

процесса функционирования объекта, а также множество параметров

и отношений на нем. Предполагается, что такая модель

поддается математической обработке с целью минимизации мощности

множества образующих ее элементов, выявления их наиболее

информативного подмножества и образования тем самым рабочего

признакового пространства.

Понятие графа G(X, U ) определяется следующим образом.

Рассматривается множество X точек, соединенных (или несоединенных)

определенным образом. X называется множеством вершин,

элементы х ^ Х —вершины. Пары вершин (/= < ;* „ */> ;

Xi, называют ребрами. Граф есть непустое множество вершин

с множеством пар С * ; , х ,> —ребер.

Если ребро, инцидентное вершинам дс, и х, (связывающее

их), имеет направление, оно называется ориентированным или

дугой. Так, если XiVXj, где v—символ бинарного отношения, то

20

<Х/, х ,> — дуга. Если положить x,vx, для каждой пары

X j> ^ U , получаем ориентированный граф. Следовательно,

граф может быть задан множеством бинарных отношений.

В принципе для любых двух несовпадающих (как вершины

графа или элементы отношения) точек а (а ^ Х ) , Ь (Ь^ Х ) , аф Ь

имеет место одно из следующих положений:

В (1.9) v* — символ обратного бинарного (инверсного) отношения;

v — символ отрицания бинарного отношения. Отметим,

что бинарное отношение удобно понимать как двухместный предикат.

Бинарные отношения из (1.9) представим в виде ориентированного

ребра графа, как это показано на рис. 1.3.

Окрестностью вершины х ориентированного графа называется

множество Q(x)eA', состоящее из самой вершины х и всех тех

вершин, к которым направлены ребра, выходящие из нее, т. е.

сама вершина и ее образы vx, где отношение понимается как

отображение.

Точкой прикосновения хм множества М а Х называется вершина,

окрестность которой содержит по крайней мере одну вершину

из М. Замыкание множества [Л1] — совокупность всех таких вершин

(рис. 1.4).

Важную роль в теории графов играет так называемое гомоморфное

отображение 0 графа G(X, U) в граф G'(X', U').

В соответствии с [29] это означает следующее: отображение

графа G в граф G' называется гомоморфным, если для каждой

вершины x 'g X ' графа G' и окрестности Q(x') существует такая

окрестность Q(x) в G, что образ c[<?(*)] окрестности Q(x) верши-

1) а\Ь\ Ь\*а\ 3) а\Ь\ Ь\а\

2) avb; bva\ 4) avb; bva. I (1.9)

"N

Рис. 1.3. Графы бинарных отношений

Рис. 1.4. Замыкание множества [М\ v_

21

ны х графа G образует окрестность Q(x') вершины х' на графе G'

таким образом, что

e[Q(x)]^Q(x'). (1.10)

Другими словами, если в графе G для вершин Х\, х ^ ^ Х существует

ребро U = < x 1, X2 > е (У , то в графе G' = 0(G) ребро

0 (и )е (/ ' направлено от образа * = 0(;ti) к образу х2 = R(х2),

(х'\, х'2 ^ Х ' ) . При этом различные вершины графа G могут в графе

G' иметь один и тот же образ (рис. 1.5) и рассматриваемые отношения

при таком отображении сохраняются.