1 Если они не поименованы иначе.

2 От греческого бЫотоцла —разделение надвое.

158

объекта в этом случае можно представить в виде вектора А, начало

которого находится в начале координат, а конец —в точке

(ai, ..., а ,) . Компоненты А —те же числа а и ■■■, a q. Обычно

и точку, и вектор, представляющие состояние, обозначают тем

же символом А.

Таким образом, классификатор состояний должен отображать

точки из Ед в числа 1, 2, ..., Р, соответствующие именам

классов, а сами точки отделены друг от друга поверхностями,

которые и являются разделяющими.

Если размерность q пространства состояний больше двух,

применяют термин ≪гиперповерхность≫. При q = 2 имеем кривую.

Пусть дискриминантная функция g(a) такова, что для всех а,

принадлежащих одному классу, g ( a ) > 0, а для а второго класса

g ( a ) < . 0. Тогда множество точек g(a) = 0 —гиперповерхность.

Таким образом, задача классификации состояний самым тесным

образом связана с нахождением дискриминантных функций g

(при Р > 2) или дискриминантной функции ￡(Л)

(при Р = 2). Одним из методов, позволяющих решить эту задачу,

является метод обучения классификатора на априорной, например,

статистической информации, образующей обучающую

выборку. Дискриминантные функции, получаемые в результате

процесса обучения, называются обучающимся классификатором

объекта. Не рассматривая существующие методы обучения [59],

а также различные классификаторы, отметим, что наибольшее

распространение получили линейные относительно компонент

вектора g(a) дискриминантные функции вида

g(y4)=wiai + ... + о ) ,а ,+ ш,+ ia„ i (6.1)

и классификаторы по минимуму расстояния между произвольной

точкой А и некоторой точкой С, в пространстве Ея, в

котором задано р точек С\ , ..., Ср, определяющих классы состояний.

Точки С |, ..., Ср называют точками-эталонами, а классификатор

в этом случае относит каждую точку А к некоторому

классу г'о, если С,о ближайшая к точке А среди всех точек

Си ..., СР.

Каждая из классификаций для N состояний объекта

диагностирования, которая может быть получена с помощью

линейной дискриминантной функции, называется линейной дихотомией.

Число J (N, q) линейных классификаций для числа

Л^-мерных состояний равно удвоенному числу различных разбиений

1V точек, которые можно сделать плоскостью, имеющей

размерность q —. В табл. 6.1, заимствованной из [59],

приведены значения числа J(N, q) классификаций для различной

мерности состояний q. Так как для каждого отдельного разбиения

V

159

6.1. Таблица линейных классификаций

Число

с о с то я ний

N

Р а зм ерн о с ть q Число Р а зм ерн ос ть q

1 2 3 4 5 ний N 1 2 3 4 5

1 2 2 2 2 2 5 10 22 30 32 32

2 4 4 4 4 4 6 12 32 52 62 64

3 6 8 8 8 8 7 14 44 84 114 126

4 8 14 16 16 16 8 16 58 128 198 240

существуют две различные классификации, то эта таблица

определяет одновременно число разделяющих гиперповерхностей.

Если разделяющая гиперповерхность описывается уравнением

вида

gi( A ) - gi(A) = 0, (6.2)

где ￡,'(Л) и gj(A) —дискриминантные функции классов, участвующих в дихотомии,

то при разделении Р классов этим методом необходимо иметь:

а) dj,d2,dj,d^,ds

X

d2,djtdi,,ds

X

dj,di,d}

I

di

dr,d2,dj,di,

~ I

d2,dj,d^

I dj,d2,dj,ai

>■ ' ' I

4? I I dhd2,d^

B) I dj,d2,dj,dif,d^

I -----

db^Z d],d^,dg

di,dzidj,dbtds

X

1 «j

dr,d2,dj,dt

" T — \dr,dj

di.db

d>,dj,dt

djtd2,dj,dh

I

dj,d2,dj

dhd2,dj,d-,,ds

^ I

^dttjdf

dj,d2,dj,di,,di

X

[ dj,dj,df

Рис. 6.3. Дерево решений

160

J = - P ( P ~ l ) (6.3)

гиперповерхностей. Очевидно,

что даже при относительно небольшом

числе классов состояний

время на выполнение вычислительных

операций и объемы

памяти ЭВМ должны

быть достаточно велики.

Если под классом распознавания

подразумевать отдельные

дефекты объекта, то мы приходим

к образованию так называемого

дерева решений (рис.