5.1. Определение компонент достижимости

И ВЫЯВЛЕНИЕ СИНДРОМОВ

Будем считать, что у графа с множеством вершин X и множеством

ребер U условие достижимости вершины xi из вершины х0

выполнено, если существует по крайней мере один ориентированный

маршрут Р(хо, xi) из вершины хо в вершину ди.

Определение 5.1. Конечную чередующуюся последовательность

вершин x e l и ориентированных ребер u e i7 :

называют маршрутом из вершины хо в вершину хt или маршрутом,

соединяющим хо с xi. Вершину хо называют начальной вершиной

маршрута Р(х0, */), вершину Xi —конечной вершиной

маршрута. Маршрут, у которого x0=xt, называют циклом.

Определение 5.2. Совокупность маршрутов с начальной вершиной

дго, соединяющих вершину х0 с другими вершинами графа,

называют компонентой достижимости Р(хо) для хо.

Определение 5.3. Совокупность маршрутов с конечной вершиной

XI, соединяющих другие вершины графа с вершиной XI, называют

компонентой достижения R(xi) для xi.

Определение 5.4. В соответствии с данным ранее определением

1.4 Будем множество вершин компоненты достижимости

Р(хо) называть синдромом, порожденным вершиной хо, и обозначать

его D(x0) , если выполняется условие

где D'(xо) —любое другое множество вершин компоненты Р(х0).

В общем случае ￡)(*,) f\D (X j ) ф 0 ; в случае ориентированного

цикла

где xi, хг, ..., хг —вершины цикла.

Компоненты достижимости P(xi) и синдром D(x,) могут быть

получены по следующему алгоритму.

Алгоритм 5.1.

1. Граф представляется матрицей смежности А = [а (/].

2. Вектор-строка AXi матрицы А, соответствующая вершине

Xi, логически складывается с теми вектор-строками АХ/, /’= 1,

..., k, которым соответствуют единицы в АХ[, т. е.:

P(XoXi)= < Х 0, U\, Х\, 1/2,..., X i- 1, М/, X l> (5.1)

D(x0) <￡D\xo), (5.2)

(5.3)

(5.4)

109

Рис. 5.1. Компоненты граф-модели:

а—достижимости; б—достижения

3. Полученная вектор-строка Л*, логически складывается с

теми строками, которым соответствуют единицы в Акх. и т. д., пока

результат не перестанет изменяться, т. е. пока прибавление очередных

вектор-строк не изменяет числа единиц в результирующей

вектор-строке. Синдром D(xi) составляют все те вершины, на

соответствующих позициях которых в результирующей вектор-

строке находятся единицы.

4. Компонента достижимости Р(jc,) определяется в ходе выявления

синдрома D(Xi). Для ее выявления отмечаются последовательно

вершины по мере появления единиц на соответствующих

позициях вектор-строк АХ в процессе их логического сложения.

5. В том случае, если вектор-строка матрицы, прибавляемая

к АХ/, содержит несколько единиц, что означает разветвление

компоненты Р(х,-) и появление новых маршрутов, вершины,

соответствующие единицам, подсоединяются к предыдущей

параллельно.

6. Вершины компоненты Р(х/) соединяются с ребрами в направлении

от Xi к хj. Компонента достижения R(xj) находится аналогично

компоненте P(xi) по матрице, в которой вместо столбцов

рассматриваются строки. При этом ребра ориентированы к х;.

Если определить синдромы всех вершин, содержащихся в

матрице смежности, получим новую матрицу, в которой единицы

в строках указывают на элементы множества вершин компонент

достижимости Р(х), т. е. синдромы D(x).

Единицы в столбцах такой матрицы указывают на элементы

множества вершин компонент достижения R(x).

На рис. 5.1, а в качестве примера показана компонента

достижимости, состоящая из трех маршрутов:

Р(Х|, Хъ), Р{Х|, х6), Р(х 1, х7).

Соответствующий ей синдром образуется как

D(xi) = )x2, х3, Х\, Хъ, х6, х7\.

110

Вершина Х\ синдрома D(x\) ключевая. Компонента достижения

R(xб), состоящая из трех компонент

Р(Х|, *(,), Р(х2, хв), Р(х4, х6),

показана на рис. 5.1,6.

Определение 5.5. В соответствии с определением 1.5 асиндро-

мом S(x,) вершины х, назовем подмножество множества X вершин

графа, являющееся дополнением синдрома до множества X, т.

S(Xi) —X\D(xi). (5.5)

Определение 5.6. Длиной маршрута из вершины *,•в вершину