Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / граф_снежинск

Условие связности

•Чтобы граф с n вершинами был связным, он должен иметь не менее (n-1) рѐбер.

•Если граф имеет не менее (n*n - 3n + 4)/2 рѐбер, то он гарантированно связный.

•Если граф связный, у него обязательно есть вершины степени не менее 2, то есть вершины, каждая из которых имеет не менее двух смежных вершин.

•Если граф связный и без циклов (то есть это дерево), то удаление любого ребра приведѐт к потере связности.

41

Компоненты связности

Несвязный граф состоит из компонентов связности. Компонента связности - множество вершин такое, что из любой вершины этого множества есть путь в любую другую вершину этого множества, но ни из какой вершины этого множества нельзя попасть в некоторую вершину вне этого множества. Очевидно, что сумма количеств вершин компонент связности равна количеству вершин графа.

На рисунке приведѐн граф с двумя компонентами связности.

42

Как определить, является ли граф связным?

43

Как определить, является ли граф связным?

Выбрали некоторую вершину (1). Дальше помечаются три смежных с ней вершины (2, 3, 4). Текущей вершиной теперь становится (2). Рекурсия: помечаем две ещѐ не посещѐнные смежные вершины (номера 5 и 6). Для (5) рекурсия не нужна - у неѐ нет непосещѐнных смежных вершин, для (6) рекурсия нужна: помечаем номер 7. У номера 7 есть ещѐ не посещѐнный "сосед" - номер 8, а вот у номера 8 нет непосещѐнных смежных вершин. Все рекурсивные вызовы, порождѐнные из вершины (2), завершены. Теперь на очереди вершина (3), но тут нет необходимости рекурсии. Осталась вершина (4). Одна из еѐ смежных вершин (9) ещѐ не помечена, исправляем это. Итого:

Вывод: не все вершины посетили, граф оказался несвязным.

45

Предположим, что нам надо попасть из А1 в А5. Какими путями это можно сделать? А3 Например, мы получили следующие ответы.

•(А1 А4); (А4 А5).

•(А1 А2); (А2 А4); (А4 А5).

•(А1 А4); (А4 А2); (А2 А1); (А1 А4); (А4, А5).

•(А1 А4); (А4 А2); (А2 А1); (А1 А3); (А3 А4); (А4, А5).

В одних последовательностях – ребра повторяются, в других — не

повторяются. Можно указать маршрут от А1до А5, содержащий все вершины графа. Таков, например, четвертый маршрут. Но не всякую последовательность ребер, ведущих из А1 в А5, называют путем из А1 в А5.

46

Путем от А1 до Аn в графе называется такая последовательность ребер, ведущая от A1 к Аn, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину и никакое ребро не встречается более одного раза.

Вершина А1 — начало пути, вершина Аn— конец.

Из определения следует, что третья и четвертая последовательность ребер не является путем в графе.

Заметим, что согласно определению вершины пути могут повторяться, т. е. путь может быть самопересекающимся.

47

Цикл

Циклом называется путь, в котором совпадают его начальная и конечная вершины.

Простым циклом в графе называется цикл, не проходящий ни через одну из вершин графа более одного раза.

Длиной пути называется число ребер этого пути. Аналогично длиной цикла называется число ребер в этом цикле.

48

пример

Назовите в графе на рис. 17 циклы, содержащие a) 4 ребра; б) 6 ребер; в) 5 ребер; г) 10 ребер. Какие из этих циклов являются простыми?

Решение. а) (AB, BC, CE, EA), (CD, DA, AB, BC), (EB, BC, CD, DE) и т.д. –

простые циклы.

б) (DB, BE, EA, AB, BC, CD), (EC, CA, AB, BC, CD, DE) и т.д. – циклы. в) (AB, BC, CD, DE, EA), (AC, CE, EB, BD, DA) и т.д. – простые циклы.

г) (AC, CE, EB, BD, DA, AB, BC, CD, DE, EA), (EB, BD, DA, AC, CE, EA, AB, BC, CD, DE) и т.д. – циклы.

49

Расстояния в графе, диаметр, центр, радиус графа

Расстояние между вершинами — длина кратчайшей цепи (в

орграфе пути), соединяющей заданные вершины. Если такой цепи (пути) не существует, расстояние полагается равным бесконечности.

Диаметром связного графа называется максимально возможное расстояние между двумя его вершинами.

Определение.

Центром графа называется такая вершина, что максимальное расстояние между ней и любой другой вершиной является наименьшим из всех возможных; это расстояние называется радиусом графа.

50