Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / граф_снежинск

 Теория графов

1

Неформальное определение

графа

Графом называется непустое множество точек (вершин) и отрезков (ребер), оба конца которых принадлежат заданному множеству точек.

2

Формальное определение

Граф G - совокупность двух множеств: вершин V и ребер E, между которыми определено отношение инцидентности. Каждое ребро e из E инцидентно ровно двум вершинам v', v'', которые оно соединяет. При этом вершина v' и ребро e называются инцидентными друг другу, а вершины v'

иv'' называются смежными. Часто пишут v', v'' из G

иe из G. Если |V(G)|=n, |E(G)|=m, то граф G есть

(n,m) граф, где n - порядок графа, m - размер графа.

Инцидентность — понятие, используемое только в отношении ребра и вершины. Две вершины или два ребра не могут быть инцидентны.

3

Ориентированный конечный граф (орграф)

Ориентированный граф (кратко орграф) — (мульти) граф, рѐбрам которого присвоено направление. Направленные рѐбра именуются также дугами, а в некоторых источниках и просто рѐбрами.

G* – пара множеств (V,E*), где V – непустое конечное множество вершин, а E* – множество упорядоченных пар различных вершин.

|V| – число вершин графа G*.

E* – множество дуг графа. |E*| – число дуг графа G*.

Синоним понятия "вершина" – "узел". Дуга – ориентированное ребро.

Геометрическая (графическая) интерпретация орграфа G*=(V,E*), где множество вершин V={a,b,c,d}, а множество дуг E*={<a,c>,<d,c>,<d,a>,<b,a>}

орграф

4

Смешанный граф

Смешанный граф – граф, содержащий как ребра, так и дуги.

Ребра смешанного графа представляются парой противоположно направленных дуг (или биориентированной дугой), следовательно, смешанный граф преобразуется в орграф

1 - Смешанный граф.

2 - Ориентированный граф с противоположно направленными дугами.

5

Взвешенный граф

Взвешенный граф – граф, каждому ребру которого сопоставлено какое-либо значение, называемое весом ребра (дуги).

Взвешенный граф

6

подграфы

7

Нуль-граф – граф, если ().

Тривиальный граф – граф, состоящий из одной вершины .

Петля – ребро (дуга), у которого начальная вершина и конечная вершина совпадают .

петля

8

Мультимножество – множество, элементы которого могут встречаться в нем несколько раз. Кратность элемента – количество экземпляров элемента в мультимножестве.

Кратные ребра (кратные дуги) соединяют одну и ту же пару вершин.

Мультиграф – граф, у которого могут быть кратные ребра.

Мультиорграф – орграф, у которого могут быть кратные дуги.

Ребра в мультиграфе задаются мультимножеством E, а дуги в мультиорграфе – мультимножеством E*.

Мультиграф.

9

Псевдограф – граф, у которого могут быть кратные ребра и/или петли .

Псевдоорграф – орграф, у которого могут быть кратные дуги и/или петли.

Простой псевдограф – граф, у которого могут быть петли .

Простой псевдоорграф – орграф, у которого могут быть петли.

Примечание: в графе (орграфе) не может быть ни кратных ребер (дуг), ни петель.

10