2.2 Проверка значимости линейной модели

Линейная регрессионная модель называется значимой, если гипотеза 𝐻0: 𝛽₁=0 отклоняется.

Проверим гипотезу 𝐻₀. Если она верна, то статистика F имеет распределение Фишера с (k-1) и (n-k) степенями свободы, где n - число наблюдений, k - число параметров модели. Гипотеза 𝐻₀ принимается на уровне значимости α, если вычисленное значение F меньше квантили распределения Фишера порядка (1-α): F (k-1,n-k). В этом случае, говорят, что регрессионная модель незначима.

Вычисляем значение статистики F и коэффициента детерминации 𝑅². Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

= =0,1099

Проверим адекватность модели в целом с помощью F-критерия. Рассчитаем значение статистики F через коэффициент детерминации R² по формуле:

F=

≈

Зададим уровень значимости α = 0,05, по таблице находим квантиль распределения Фишера F_{(0,95;1; 56)} =4,007

> , т.к. 10,2>4,007

Следовательно, гипотеза : =0 отклоняется, а используемая линейная модель характеризуется своей значимостью.

2.3 Проверка адекватности линейной модели

Линейная регрессионная модель называется адекватной, если предсказанные по ней значения зависимой переменной согласуются с результатами наблюдений.

Для проверки адекватности полученной модели необходимо найти остатки , где i = 1,2,…n, где n - число наблюдений. Для адекватности модели должны выполняться следующие условия:

• D[ ]= =const : дисперсия остатков постоянна;

• cov( )=0, i≠j, остатки некоррелированны;

• ~N(0, ), остатки имеют нормальное распределение.

Проверим каждое условие по отдельности:

1. Первое условие. Для адекватности модели дисперсии ошибок наблюдений должны быть постоянны для всех наблюдений. В пакете «Microsoft Excel» оценка выполнимости этого условия проводится по графику остатков в зависимости от номера наблюдений. Если все остатки укладываются в симметричную относительно нулевой линии полосу, то дисперсию ошибок наблюдений можно считать постоянной. В нашем случае остатки не укладываются в симметричную относительно нулевой линии полосу шириной ±3S.Следовательно, первое условие не выполняется.

График 3. График остатков

2. Второе условие. Необходимо проверить гипотезу 𝐻₀: остатки некоррелированны (т.е. ρ=0) по критерию Дарбина-Уотсона. В качестве альтернативной выберем гипотезу 𝐻₁: ρ<0. Рассчитаем статистику В нашем случае, получаем d=2,02. Критические значения d₁ и d₂ определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m . Следовательно гипотеза H₀ принимается на уровне значимости α = 0,05.

3. Третье условие. Проверяем гипотезу о нормальном распределении остатков. Данное условие можно проверить в пакете «Microsoft Excel» с помощью вероятностной бумаги. С помощью вероятностной бумаги можно быстро определить, является ли распределение в данной выборке близким к нормальному

График 4. График нормального распределения остатков на вероятностной бумаге

По графику видно, что все точки расположены близко к прямой. Таким образом, остатки распределены по нормальному закону.

Следовательно, можно считать, что регрессионная модель адекватна результатам наблюдений и может использоваться для прогнозирования.