Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский государственный технический университет»

Факультет Автоматики и вычислительной техники

Кафедра Вычислительной техники

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Методические указания к лабораторной работе № 7

для студентов II курса дневного отделения АВТФ

Образовательные программы:

09.03.01 «Информатика и вт»;

09.03.04 «Программная инженерия»;

12.03.01 «Приборостроение»

НОВОСИБИРСК

2017

Содержание

1 Описание лабораторной работы 3

2 Варианты контрольных заданий 4

3 Краткая теория к лабораторной работе 5

3.1 Метод Эйлера 5

3.2 Неявный метод Эйлера 7

3.3 Метод Рунге-Кутта 8

3.3.1 Метод Рунге-Кутта 2-ого порядка (модифицированный метод Эйлера) 8

3.3.2 Метод Рунге-Кутта 4-ого порядка 8

3.4 Метод Адамса 9

4 Вопросы самоконтроля 10

Литература 11

Приложение. 12

1 Описание лабораторной работы

Цель работы: На основе заданного дифференциального уравнения приобрести опыт, практические навыки численного решения ОДУ и исследования на основе вычислительных экспериментов основных свойств вычислительных процессов и результатов применения численных методов.

Задание.

Задано одно ОДУ 1-го порядка y’ = f(x, y) с известной функцией f(x, y) . Найти численное решение задачи Коши для этого уравнения на отрезке 0 ≤ x ≤ 1, при y(0) = 1 с помощью системы MathCad, используя три разных метода:

1. Метод высокого порядка (Рунге-Кутта);

2. Метод Эйлера;

3. Неявный метод Эйлера.

Порядок решения.

По п.1 записать программу вычисления f(x, y) MathCad и использовать стандартные процедуры решения ОДУ в этой системе (например, rkadapt, rkadart, rkfixed). Найти шаг, обеспечивающий абсолютную погрешность решения ε ≤ 0.01÷0.001 при x = 1 и относительную погрешность ε / y < 0.1.

По п.2 записать формулы метода Эйлера и запрограммировать их в MathCad. Записать условия устойчивости численного решения и найти шаг, обеспечивающий устойчивость и погрешность п.1.

По п.3 записать формулы неявного метода Эйлера и запрограммировать их в MathCad. При этом для решения нелинейного уравнения на каждом шаге интегрирования использовать стандартную процедуру поиска корня вычисления уравнения в системе MathCad (root). Уменьшая шаг, найти его величину, обеспечивающую ту же погрешность, что и в п.1. Записать условие устойчивости численного решения, убедится, что они выполняются при любом шаге.

По п. 4 на метода основе Рунге-Кутта 4-го порядка решить ОДУ заданного варианта , используя стандартные процедуры решения и параметры ОДУ MathCad, затем запрограммировать соответствующий численный метод в MathCad.

Исследовать влияние шага интегрирования на точность решения, добиться получение решения с заданной точностью.

Отчет по работе.

Привести:

- общие формулы всех трех методов численного интегрирования, их конкретный вид для заданного уравнения;

- общие условия устойчивости для методов Эйлера, их конкретный вид для заданного уравнения и величину шага, обеспечивающего устойчивость;

- результаты расчета функции f(x) по всем трем методам в виде таблиц и графиков;

- выводы по сравнительной величине шага, обеспечивающего заданную точность по трем методам;

- провести сравнительный анализ рассмотренных способов решения поставленной задачи и сформулировать рекомендации по их использованию.

2 Варианты контрольных заданий

Для студентов групп АВТ-*9 и *10, номера вариантов от 1 до 30 выбираются согласно номера фамилии в списке журнала контроля за посещением занятий, для студентов групп АВТ-*15, АВТ-*18 и *19 номера вариантов - от 31 до 60

Вариант	f(x,y)		Вариант	f(x,y)
1			31
2			32
3			33
4			34
5			35
6			36
7			37
8			38
9			39
10			40
11			41
12			42
13			43
14			44
15			45
16			46
17			47
18			48
19			49
20			50
21			51
22			52
23			53
24			54
25			55
26			56
27			57
28			58
29			59
30			60