МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ государственное БЮДЖЕТНОЕ

образовательное учреждение

высшего образования

«НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

__________________________________________________________________

Кафедра вычислительной техники

ОТЧЁТ

по лабораторной работе №5

«Сплайн-аппроксимация и обработка экспериментальных данных»

по дисциплине: «Вычислительная математика»

Выполнили: Проверил:

Студенты гр. АВТ-341, АВТФ

Калмыкова В. С. Шелудько В. И.

Кардаполова В. С.

«25» апреля 2025 г. «25» апреля 2025 г.

_________________ _________________

(подпись) (подпись)

Новосибирск 2025

Цель и задачи работы

Целью работы является изучение и приобретение практических навыков численного решения задач приближения (аппроксимации) функций аналитическим выражением, оценки достигаемой точности и необходимых ресурсов, применения изучаемых методов для обработки экспериментальных данных методами восстановления сеточных функций.

Задачи:

- изучение методов кусочно-глобальной аппроксимации сплайнами, оценок точности получаемых приближений, границ применимости;

- изучение и применение алгоритмов обработки экспериментальных данных и глобальной аппроксимации функций, заданных таблично, на основе метода наименьших квадратов, оценок точности получаемых приближений, границ применимости. Исходные данные

№ вар.	[a, b]	f(x)
19	[1; 3]

1. Создание псевдоэмпирических исходных данных

Псевдоэмпирические данные — это данные, которые создаются на основе теоретической модели или функции, а не получаются непосредственно из экспериментов или наблюдений

Равноотстоящие точки: Точки, распределённые равномерно по заданному интервалу. Это позволяет легко анализировать изменения функции.

Неравноотстоящие точки: Точки, распределённые неравномерно, что может быть полезно для более точного моделирования функций, имеющих особенности (например, экстремумы, разрывы).

2. Моделирование эмпирических данных путем наложения случайных величин на значения функции. Равностоящие Xi

Не равностоящие Xi

3. Сглаживание

При сглаживании часто используется метод наименьших квадратов и аппроксимирующие многочлены различных степеней. Если используется многочлен первой степени, сглаживание называется линейным, в противном случае – нелинейным.

Количество точек для сглаживания берут нечетным, а группы точек – «скользящими» вдоль всей таблицы.

4. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов (МНК) — это статистический метод, используемый для нахождения наилучшей аппроксимации функции, которая минимизирует сумму квадратов отклонений между наблюдаемыми и предсказанными значениями.

5. Интерполирование сплайнами

Одним из способов кусочно-глобальной аппроксимации на всем отрезке является интерполирование с помощью сплайн-функций. Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, опре­деленную на отрезке [a, b] и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.

Преимуществом сплайнов перед обычной интерполяцией явля­ется, во-первых, их сходимость и, во-вторых, устойчивость процесса вычислений.

6. Апроксимация с помощью функции infinit

Апроксимация с помощью функции infinit (или инфинит) может относиться к использованию различных типов функций для моделирования данных

Среднеквадратическое приближение функции — это метод, используемый для нахождения функции, которая минимизирует среднеквадратическую ошибку между наблюдаемыми значениями и значениями, предсказанными моделью.

7. Исследование среднеквадратичного приближения функций

Вывод: Среднеквадратичное приближение может увеличиваться в зависимости от внесение возмущения в исходные данные и порядок интерполяционного полинома.