3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ государственное БЮДЖЕТНОЕ

образовательное учреждение

высшего образования

«НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

__________________________________________________________________

Кафедра вычислительной техники

ОТЧЁТ

по лабораторной работе №3

«Численные методы решения систем нелинейных уравнений»

по дисциплине: «Вычислительная математика»

Выполнили: Проверил:

Студенты гр. АВТ-341, АВТФ

Калмыкова В. С. Шелудько В. И.

Кардаполова В. С.

«28» марта 2025 г. «28» марта 2025 г.

_________________ _________________

(подпись) (подпись)

Новосибирск 2025

Цель работы: сформировать представление о методах решения систем

нелинейных уравнений, привить умения составлять и применять алгоритмы для решения таких систем уравнений, выработать навыки в использовании программных средств для

решения систем уравнений.

Постановка задачи

1.В соответствии с вариантом контрольного задания исследуйте существование и найдите

решение системы нелинейных уравнений с точностью  не ниже 0,00001 тремя методами из

таблицы1, например:

• методом итераций;

• методом Ньютона;

• по выбору студента или с модификацией одного из обязательных 1-3.

2.Написать программы, реализующие алгоритмы решения систем нелинейных уравнений методами согласно варианту Табл. 1

3. Для дублирования решений заданной системы нелинейных уравнений применить существующие стандартные функции МСАД.

4. Для каждого метода и способа решения исследовать ресурсоемкость программ вычислений, а также факторы, влияющие на точность результатов и устойчивость

вычислений.

5. Сравнить способы решения систем уравнения по быстродействию, точности и зависимости от начальных условий; выбрать наиболее эффективный вычислительный процесс поставленной задачи.

6. Проанализировать результаты работы, сделать выводы и дать рекомендации.

Исходные данные

Вариант	Уравнение	Методы
16		1, 2, по выбору

Описание численных методов

1. Метод простых итераций

Условия метода: требует, чтобы исходное уравнение f(x) = 0 было приведено к форме x = ϕ(x)

Алгоритм метода:

1. Инициализация:

Задайте начальное приближение x^(0).

2. Итерации:

Для каждой итерации k вычисляйте новое приближение: x^(k+1)=g(x^(k))

Здесь g(x^(k)) — вектор функций, полученный из системы.

3. Проверка сходимости:

Проверяйте, достигнуто ли требуемое значение точности: 

∥ x^(k+1)−x^(k)∥<ϵ

Если условие выполнено, завершите итерации.

4. Вывод результата:

После завершения итераций выводите найденное приближение x^(k+1)

Рис 1. Реализация метода простых итераций в MathCad

Для получения корня по методу простых итераций понадобилось 7 итераций.

2. Метод Зейделя

Алгоритм метода:

1. Инициализация:

Задайте начальное приближение x(0).

2. Итерации:

Для каждого уравнения i от 1 до n (где n — количество уравнений):

Здесь k — номер итерации.

3. Проверка сходимости:

Проверяйте, достигнуто ли требуемое значение точности: ∥x^(k+1)−x^(k)∥<ϵ

Если условие выполнено, завершите итерации.

4. Вывод результата:

После завершения итераций выводите найденное приближение x^(k+1).

Рис 2. Реализация метода Зейделя в MathCad

Для получения корня по методу Зейделя понадобилось 5 итераций.

3. Метод Ньютона

Условие метода:

1. Непрерывность и дифференцируемость:

Функции F(x)= должны быть непрерывными и дифференцируемыми в окрестности корня.

2. Наличие корня:

   • В интервале, где мы ищем корень, функции должны менять знак, что может быть проверено с помощью начальных приближений.

3. Обратимость Якобиана:

   • Якобиан J(x) функции F(x) должен быть невырожденным (т.е. его определитель не должен равняться нулю) в окрестности корня.

Алгоритм метода:

1. Инициализация:

   • Выберите начальное приближение x⁽⁰⁾

2. Итерации:

   • Для каждой итерации k вычисляйте новое приближение по формуле:

 

• Здесь J(x^(k) )— матрица Якоби, а F(x^(k) )— вектор значений функций.

Проверка сходимости:

• Проверяйте, достигнуто ли требуемое значение точности: 

∥x^(k+1) −x^(k))∥<ϵ

• Если условие выполнено, завершите итерации.

Вывод результата:

• После завершения итераций выводите найденное приближение x^(k+1)

Рис 2. Реализация метода Ньютона в MathCad

Для получения корня по методу Ньютона понадобилось 2 итерации.

Вывод:

Самым быстрым оказался метод Ньютона, на поиск решения ему понадобилось 2 итерации. Наиболее точным также оказался метод Ньютона. Метод Зейделя как модификация метода простых итераций показал результат по количеству итераций лучше, что и требовалось ожидать