2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ государственное БЮДЖЕТНОЕ

образовательное учреждение

высшего образования

«НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

__________________________________________________________________

Кафедра вычислительной техники

ОТЧЁТ

по лабораторной работе №2

«Численные методы решение систем линейных алгебраических уравнений»

по дисциплине: «Вычислительная математика»

Выполнили: Проверил:

Студенты гр. АВТ-341, АВТФ

Калмыкова В. С. Шелудько В. И.

Кардаполова В. С.

«14» марта 2025 г. «14» марта 2025 г.

_________________ _________________

(подпись) (подпись)

Новосибирск 2025

Цель работы

1. В соответствии с вариантом контрольного задания исследуйте существование и найдите решение системы уравнений от значений a, b, c, d (a, b, c, d - последние цифры номера зачетной книжки студента) с точностью , не ниже 0,00001, тремя методами из таблицы1, например:

• методом Крамера;

• методом Гаусса;

• методом итераций.

2. Написать программы, реализующие алгоритмы решения СЛАУ прямым и итерационным методом согласно варианту Табл. 1.1

3. Для дублирования решений систем линейных алгебраических уравнений применить существующие стандартные функции МСАД, аналогичные заданным методам.

4. Для каждого метода и способа решения исследовать ресурсоемкость программ вычислений и факторы, влияющие на точность результатов.

5. Сравнить методы и способы решения СЛАУ по быстродействию и точности, выбрать наиболее эффективный вычислительный процесс поставленной задачи.

6. Проанализировать результаты работы и сделать выводы.

Исходные данные

Номер набора методов	Методы
2	Метод Гаусса, метод Зейделя, по выбору

Система уравнений:

2х₁+14х₂-15х₃+23х₄=5

16х₁+8х₂-22х₃+29х₄=8

18х₁+20х₂+8х₃+32х₄=9

10х₁+12х₂-16х₃+3х₄=4

Описание численных методов

1. Метод Гаусса

Относится к прямым методам решения СЛАУ.

Метод Гаусса состоит в преобразовании системы уравнений последовательным исключением переменных к равносильной системе с треугольной матрицей.

Метод Гаусса состоит из двух этапов:

Прямой ход. С помощью элементарных преобразований приводят расширенную матрицу системы к «треугольному» ступенчатому виду: элементы матрицы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю (ход «сверху-вниз»).

Некоторые преобразования, которые можно применять:

переставлять строки матрицы местами;

удалять из матрицы все пропорциональные строки, кроме одной;

умножать или делить строку на любое число, отличное от нуля;

прибавлять к строке матрицы другую строку, умноженную на число, отличное от нуля.

Обратный ход. Получают решение системы линейных алгебраических уравнений (ход «снизу-вверх»). Сначала вычисляют переменные, находящиеся ближе всего к низу системы уравнений или матрицы, затем полученные значения подставляют выше и таким образом находят ещё одну переменную и так далее.

Рис 1. Реализация метода Гаусса в MathCad

2. Метод Крамера

Метод Крамера требует вычисления определителей размерности . При использовании метода Гаусса для вычисления определителей, метод имеет сложность по элементарным операциям сложения-умножения порядка , что сложнее чем метод Гаусса при прямом решении системы. Поэтому метод, с точки зрения затрат времени на вычисления, считался непрактичным.

Рис 2. Реализация метода Крамера в MathCad

3. Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итераций. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k +1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k +1)- -е приближения неизвестных x1, x2,…, xi-1 .

Условие сходимости для метода Зейделя:

Система уравнений должна быть строго диагонально доминирующей. Это означает, что модуль диагонального элемента должен быть больше суммы модулей остальных элементов в строке.

В данном случае условие сходимости не выполняется. Это означает, что метод Зейделя может расходиться или сходиться очень медленно.

Рис 3. Реализация метода Зейделя в MathCad

Выводы

В ходе выполнения лабораторной работы были исследованы три метода решения систем линейных алгебраических уравнений: метод Гаусса, метод Крамера и метод Зейделя. Метод Гаусса продемонстрировал большую эффективность и точность. Метод Крамера оказался менее практичным из-за высокой вычислительной сложности, а метод Зейделя не обеспечил сходимости для данной системы.