1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ государственное БЮДЖЕТНОЕ

образовательное учреждение

высшего образования

«НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

__________________________________________________________________

Кафедра вычислительной техники

ОТЧЁТ

по лабораторной работе №1

«Численные методы решения нелинейных уравнений»

по дисциплине: «Вычислительная математика»

Выполнили: Проверил:

Студенты гр. АВТ-341, АВТФ

Калмыкова В. С. Шелудько В. И.

Кардаполова В. С.

«14» марта 2025 г. «14» марта 2025 г.

_________________ _________________

(подпись) (подпись)

Новосибирск 2025

Цель работы

Уметь решать нелинейные уравнения на ЭВМ в соответствии с заданными требованиями.

Постановка задания

1. В соответствии с вариантом контрольного задания найти корни заданного нелинейного уравнения с точностью тремя методами из 5 или иным по выбору, например :

• методом хорд (2); • методом касательных (метод Ньютона) (3); • методом простых итераций (4). 2. Для каждого метода исследовать обусловленность задачи (численного метода) и влияние заданной точности ε на число потребовавшихся итераций. 3. Сравнить методы по скорости сходимости и выбрать наиболее быстро сходящийся вычислительный процесс

4. Применить и сформулировать рекомендации по использованию средств МСАД для решения нелинейных уравнений. 5. Проанализировать результаты работы и сделать выводы.

Исходные данные

Вариант	Уравнение	Методы
49		1, 2, 4

Описание численных методов

1. Метод половинного деления

Условия метода: функция определена и непрерывна для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка.

Алгоритм метода:

1. Найти середину отрезка [a; b]: c = (a + b) / 2.

2. Вычислить значения функции в точках a и c и найти произведение полученных значений: d = f(c) * f(a). 

3. Если d > 0, то точкой a станет c: a = c. Если d < 0, то точкой b станет c: b = c. 

4. Вычислить разность a и b, сравнить её с точностью ε. Если |a - b| > ε или |a - b| / 2 > ε, то перейти к пункту 1. Если нет, то корень с нужной точностью найден, и он равен: x = (a + b) / 2. 

Процесс повторяется до тех пор, пока длина интервала [a; b] не станет меньше заданной погрешности нахождения корня ε.

Рис 1. Реализация метода половинного деления в MathCad

Для получения корня методу половинного деления понадобилось 13 итераций.

2. Метод хорд

Условие метода: функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка.

Алгоритм метода:

1. Перевести выражение к виду F(x) = 0 и задать погрешность. 

2. Определить начальное приближение [a, b], при этом F(a) и F(b) обладают разными знаками. На концах отрезка функция должна иметь разные знаки. 

3. Рассчитать первое приближение к корню, используя формулу для секущей. 

4. В качестве следующего приближения выбрать тот из отрезков [а, c] или [c, b], на концах которого F имеет разные знаки. 

5. Повторять пункт 2 до тех пор, пока |𝐶𝑛 − 𝐶𝑛−1| > 𝜀, где ε — заданная погрешность. 

Рис 2. Реализация метода хорд в MathCad

Для получения корня методу хорд понадобилось 3 итерации.

3. Метод итерации

Условия метода: функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка.

Алгоритм метода:

1. Записать уравнение в виде x = g(x), где g(x) — некоторая функция. Если уравнение уже имеет такой вид, перейти к следующему шагу. 

2. Задать начальное приближение x_0. Это значение выбирается из каких-либо условий конкретной задачи или берётся произвольно. 

3. Начать итерационный процесс:

   • подставить x_0 в функцию g(x) и вычислить x_1 = g(x_0); 

   • подставить x_1 в функцию g(x) и вычислить x_2 = g(x_1); 

   • продолжать подставлять найденные значения в функцию g(x) до достижения нужной точности или заданного числа итераций. 

4. Остановить итерационный процесс, если выполняется одно из следующих условий:

   • |x_{n+1} - x_n| < ε, где ε — заданная точность; 

   • достигнуто максимальное число итераций. 

5. Вернуть полученное значение x_{n+1} как приближённое решение нелинейного уравнения. 

Рис 3. Реализация метода итераций в MathCad

Для получения корня методу итераций понадобилось 7 итераций.

Выводы

Наиболее быстрым по сходимости процессом оказался метод хорд, так как ему понадобилось всего 3 итерации для получения корня уравнения.